Leyes de los exponentes y por qué a⁰ es 1

Elige una base y dos exponentes. Las tres leyes de los exponentes se resuelven una junto a la otra. La escalera de abajo muestra de dónde salen a⁰ y a⁻ⁿ; puedes poner un número distinto en el peldaño cero y ver cómo la columna deja de ser una escalera.

Ejemplo resuelto — Leyes de los exponentes y por qué a⁰ es 1

El peldaño en 0	1
El peldaño en −1	1/2
Pasos que dividen por la base	6 / 6
Valores que mantienen cada paso igual	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Nadie decidió que a⁰ sea 1 🖖

Pulsa Imagina que 2⁰ = 7. Las potencias de 2 bajan en columna: 8, 4, 2, luego un hueco, y después 1/2, 1/4, 1/8. Cada escalón de descenso divide entre 2. Coloca un 7 en el hueco y se romperán dos saltos a la vez. El salto de entrada divide entre 2/7 y el de salida entre 14. Solo un número mantiene constante el tamaño de cada salto. Prueba los demás botones. Cambia la base a 10 o a 20. El resultado es 1 cada vez. Un barrido de nueve valores posibles contra las veinte bases encuentra exactamente un ganador en las veinte. Fíjate ahora debajo del hueco, donde continúa la misma división: 1/2, luego 1/4, después 1/8. Allí no se introdujo ninguna segunda regla ni hizo falta. Eso es en el fondo todo lo que significa un exponente negativo.

Tres leyes en el libro, una idea en la página 🖖

La fila superior escribe 2³ × 2² como factores, porque ese es todo el argumento: tres doses junto a dos doses son cinco doses. Dividir los cancela en lugar de agruparlos, por lo que los exponentes se restan. Elevar una potencia a otra potencia cuenta las cuentas, de modo que se multiplican. Esto se vuelve útil más allá del dibujo. Configura m y n como negativos y «contar las a» ya no significa nada; sin embargo, las tres leyes se siguen cumpliendo sobre bases del 2 al 12 y exponentes del −6 al 6. Esto ocurre en cada uno de los 5229 estados donde ambos lados siguen siendo exactamente computables. Contar justifica la regla para los números enteros, y luego la regla te dice obligatoriamente cómo deben ser los casos que no puedes dibujar.

El único rincón donde la lógica se agota 🖖

Pulsa Base cero. Dos de las tres leyes sobreviven: 0³ × 0² es 0⁵ y (0³)² es 0⁶, todos ellos 0. La fila de división no imprime ninguna respuesta, porque 0³ ÷ 0² pide 0 ÷ 0, y ahí asoma por primera vez la objeción que frena la escalera más abajo. La columna desciende 0, 0, 0 y se detiene, pues cada uno de sus pasos era una división y este divide por 0, de modo que el argumento que obligaba a que a⁰ fuese 1 nunca llega al peldaño. Dos reglas válidas confluyen en esa esquina con respuestas distintas. a⁰ = 1 se cumple para cualquier base excepto 0. 0ⁿ = 0 se cumple para cualquier exponente excepto 0. Acércate a la esquina por un eje y xᵞ tiende a 1; hazlo por el otro y tiende a 0. El límite no existe, así que un texto referido a un límite deja el símbolo tal cual. Tanto JavaScript como Python responden 1, porque un producto vacío es 1 y porque el teorema del binomio necesita que x⁰ sea 1 en x = 0 o deja de funcionar. Nadie en ese debate peca de descuido; simplemente buscan que la esquina cumpla funciones distintas.

Problema resuelto al detalle

¿Qué es a½, y quién lo decidió? La herramienta solo acepta exponentes enteros. La regla que fuerza el valor de a⁰ no se detiene ahí. Deduce entonces el significado que le impone a un medio.

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza por la ley que muestra la herramienta en su tercera fila. Compruébala en un caso visible: al elevar una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican.
  
  $(a^{m})^{n} = a^{mn} ⟹ (3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$
2. Aplica ahora a esa misma ley un exponente de un medio, con una potencia exterior de 2. El lado derecho se reduce a a¹, que es a.
  
  $(a^{1/2})^{2} = a^{\frac{1}{2} \times 2} = a^{1} = a$
3. Lee lo que dice el resultado. a½ es un número cuyo cuadrado es a, y eso es exactamente una raíz cuadrada. No se definió nada. La ley no dejó margen para ninguna otra opción.
  
  $a^{1/2} = a$
4. Ese mismo paso resuelve cualquier raíz. Una potencia exterior de 3 da un número cuyo cubo es a.
  
  $(a^{1/3})^{3} = a^{1} = a ⟹ a^{1/3} = 3 a$
5. Y además soluciona los casos mixtos sin reglas adicionales. 16 elevado a tres medios es el cubo de la raíz cuadrada o la raíz cuadrada del cubo. La ley afirma que ambas opciones coinciden: tanto 4³ como √4096 dan 64.
  
  $1 6^{3/2} = (1 6^{1/2})^{3} = 4^{3} = 64, (1 6^{3})^{1/2} = 4096 = 64$
6. Donde el sistema se frena no es en el álgebra, sino al elegir la raíz. −8 tiene una raíz cúbica real de −2, pero también tiene dos raíces complejas. Pregunta a tres máquinas y obtendrás tres respuestas: −2 según la convención real, NaN en JavaScript, y 1 + i√3 en Python, que prefiere extraer la raíz principal.
  
  $(- 8)^{1/3} \in {- 2, 1 + i 3, 1 - i 3}$
Respuesta

La misma ley que fuerza que a⁰ = 1 obliga a que a^(1/q) sea una raíz q-ésima. No se inventa ninguna definición nueva entre los números enteros y las fracciones. Por eso los exponentes fraccionarios obedecen exactamente las mismas reglas que los enteros. Lo que sí se elige de verdad es a qué raíz q-ésima te refieres cuando un número tiene varias. Esa elección explica por completo el desacuerdo sobre (−8)^(1/3). Para una base positiva existe una única raíz positiva y no hay discusión posible. Por ese motivo los libros de texto enuncian la regla del exponente fraccionario para a > 0 y dejan el caso negativo para el capítulo sobre números complejos.

$a^{p / q} = q a^{p} = (q a)^{p} (a > 0)$

Referencias (2)

Where the two answers at 0⁰ come from, and why neither camp is careless: Donald E. Knuth, "Two Notes on Notation", The American Mathematical Monthly 99(5), 403–422, 1992. doi:10.2307/2325085
What the machines named in the same block actually do, measured rather than assumed: Measured in this repo: Node 22 gives Math.pow(0,0) = 1 and 0 ** 0 = 1; CPython gives 0 ** 0 = 1 and (-8) ** (1/3) = 1 + i√3, while JavaScript's Math.pow(-8, 1/3) is NaN. Asserted in scripts/check-compute.mjs.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.