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El método de Newton puede duplicar su error en cada paso, y la respuesta estaba a 0,01 de distancia
Comience a 0,01 de la respuesta. Veinte pasos más tarde estará en −5.242,88, y cada paso se habrá calculado correctamente.
Resuelva x³ − x − 2 = 0. No existe una fórmula sencilla que valga la pena recordar, así que haga lo que hace cualquier software numérico: proponga una estimación inicial y deje que el método de Newton la corrija.
Comience en 1,5. Tres iteraciones más tarde se obtiene 1,52138, y la función evaluada ahí vale 5,89387 × 10⁻⁷, a menos de una millonésima del cero. Tres pasos. Cada paso duplica aproximadamente el número de dígitos correctos, razón por la cual este método se encuentra en su calculadora, en su programa de CAD y en el resolvedor de su hoja de cálculo.
Pídale ahora algo más sencillo. Resuelva ∛x = 0.
Usted conoce la respuesta. Es cero, y es la única. Comience en 0,01 —ya a menos de una centésima— y observe:
0,01 → −0,02 → 0,04 → −0,08 → 0,16 → −0,32 → 0,64 → −1,28 → 2,56 → …
Tras veinte iteraciones, la estimación es −5242,88. El residuo, que comenzó en 0,215, es ahora 17,37. El método no se ha atascado ni se ha desviado; se ha alejado de la respuesta siguiendo una línea de razonamiento perfectamente recta, duplicando el error y cambiando el signo en cada uno de los pasos.
Nada ha salido mal
La tentación es buscar un fallo. No lo hay, y vale la pena hacer el cálculo porque es muy breve.
El paso de Newton es x − f(x)/f′(x). Para f(x) = x1/3, la derivada es (1/3)x−2/3, de modo que
f(x)/f′(x) = x1/3 ÷ ⅓x−2/3 = 3x
y la siguiente estimación es x − 3x = −2x. No de forma aproximada: exactamente. Cada iteración multiplica la estimación por −2, desde cualquier punto inicial, para siempre. De ahí proviene el −5242,88: es 0,01 × (−2)19, y se puede consultar la progresión geométrica completa en la tabla de iteraciones del Newton's Method Explorer bajo su ajuste predeterminado diverge.
Lo que ha hecho la raíz cúbica es romper la suposición sobre la que se fundamenta el método. El método de Newton sustituye la curva por su recta tangente y salta al punto en que esa recta cruza el cero. Cerca de una raíz, esa es una aproximación excelente: es el primer término del desarrollo de Taylor, y los términos ignorados se reducen cuadráticamente, que es exactamente la razón por la que los dígitos se duplican. Pero ∛x tiene una tangente vertical en el cero. Su derivada no solo se vuelve pequeña allí, sino que se hace infinita, y la curva no es localmente recta a ningún nivel de aumento. Las rectas tangentes cerca del cero apuntan casi verticalmente hacia arriba, por lo que el lugar donde cruzan el eje está casi tres veces más lejos de donde se comenzó.
Observe las dos columnas adyacentes en la tabla: f(x) crece mientras f′(x) disminuye hacia 0,001. El paso es su cociente, por lo que crece por partida doble.
El segundo fallo es peor, porque parece un éxito
La divergencia, al menos, se anuncia a sí misma. Este es el caso que no lo hace.
Considérese f(x) = x³ − x, cuyas raíces son −1, 0 y +1. Comience en 0,57. El método converge limpiamente, trece iteraciones, residuo de 2,3 × 10⁻¹¹, y la raíz que devuelve es −1.
Observe dónde se ubica el 0,57. Dista 0,43 de +1 y 1,57 de −1. Además, está a solo 0,57 de la raíz en el cero. El método de Newton devuelve la que está más alejada, tras haber pasado de largo ante dos raíces más cercanas, e informa de un éxito total con once cifras decimales correctas.
Comience ahora en 0,58. Quince iteraciones, y la respuesta es +1.
Un cambio de una centésima en la estimación inicial, y el resolvedor va a parar al extremo opuesto de la función. Entre esos dos puntos iniciales se encuentra 1/√3 ≈ 0,5774, donde la derivada de x³ − x es cero. La tangente allí es horizontal y cruza el eje muy lejos; si se aproxima a ese punto desde cualquiera de los dos lados, el primer paso es enorme, en direcciones opuestas. Cada punto llano de una curva es una plataforma de lanzamiento, y la región a la que catapulta no tiene nada que ver con la proximidad.
Esta es la propiedad que hace que «¿qué raíz obtendré?» sea una pregunta sin respuesta en general. Para polinomios sobre los números complejos, los conjuntos de puntos iniciales que conducen a cada raíz se denominan cuencas de atracción, y sus fronteras son fractales: arbitrariamente cerca de un punto que converge a una raíz se encuentra un punto que converge a otra. Hubbard, Schleicher y Sutherland demostraron en 2001 que, sin embargo, se puede construir un conjunto finito de puntos iniciales con la garantía de encontrar todas las raíces de un polinomio dado: un resultado de calado y una muestra de cuánto trabajo oculta discretamente la frase «solo hay que usar el método de Newton».
Qué cambia esto en su uso práctico
De esto se derivan tres consecuencias prácticas, y las tres resultan visibles en la página.
En primer lugar, un residuo pequeño no es un certificado de garantía. En la ejecución del ajuste diverge anterior, el residuo es 17,37 y sigue aumentando, por lo que ese caso queda al descubierto. Pero en la ejecución con 0,57, el residuo es 2 × 10⁻¹¹ y la respuesta es una raíz perfectamente válida, solo que no es la que se buscaba. Las pruebas de convergencia pueden indicar que se ha encontrado una solución. Nada en el método puede asegurar que sea la solución.
En segundo lugar, los límites de iteraciones son fundamentales. El explorador se detiene en veinte de forma predeterminada, lo cual es la única razón por la que la ejecución divergente tiene un final en lugar de un desbordamiento. Los resolvedores en entornos de producción hacen lo mismo, y la cifra no es arbitraria: una iteración de Newton adecuada sobre una función de buen comportamiento alcanza la precisión de la máquina en un intervalo de cinco a diez pasos, de modo que cualquier proceso que siga ejecutándose en el paso veinte no está convergiendo lentamente: no está convergiendo.
En tercer lugar, la solución para un mal punto de partida no suele ser un algoritmo mejor, sino acotar el intervalo. El método de bisección no puede divergir —si la función cambia de signo en un intervalo, la regla del punto medio no puede salir de él— y no puede elegir la raíz equivocada, porque solo hay una dentro del intervalo acotado. Es simplemente lento, ya que gana un bit por paso en lugar de duplicar las cifras. Por ello, la mayoría de los resolvedores reales ejecutan un método híbrido: aplican bisección hasta que la estimación esté demostrablemente cerca y dejan que Newton termine en tres pasos. Se obtiene así la rapidez allí donde se cumplen las premisas y la garantía donde no es así.
Existe una nota al pie sobre el nombre. El método del propio Newton, de hacia 1669, no utilizaba derivadas y fue formulado para polinomios como una secuencia de sustituciones; Raphson lo simplificó en 1690; la forma que se enseña hoy, con f′ y una función diferenciable f cualquiera, es la de Simpson de 1740. Ypma rastreó toda esa evolución en 1995. Lo que falla de manera tan instructiva con la raíz cúbica es una simplificación del siglo XIX de una receta del siglo XVII, y ha estado en todas las herramientas numéricas desde entonces, motivo por el cual conviene saber con precisión en qué punto se quiebra.