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El método de Newton puede duplicar su error en cada paso, y la solución estaba a 0,01 de distancia
Empieza a 0,01 de la solución. Veinte pasos después estás en −5242,88, y cada paso se calculó correctamente.
Resuelve x³ − x − 2 = 0. No existe una fórmula cómoda que merezca la pena recordar, así que haz lo que hace cualquier software de cálculo numérico: tantea una estimación inicial y deja que el método de Newton la corrija.
Comienza en 1,5. Tres iteraciones después tienes 1,52138, y la función evaluada en ese punto da 5,89387 × 10⁻⁷, a menos de una millonésima de cero. Tres pasos. Cada paso duplica aproximadamente el número de cifras correctas, razón por la cual este método está integrado en tu calculadora, en tu paquete de CAD y en el solucionador de tu hoja de cálculo.
Ahora pídele algo más fácil. Resuelve ∛x = 0.
Ya sabes la respuesta. Es cero, y es la única. Comienza en 0,01 —ya a menos de una centésima— y observa:
0,01 → −0,02 → 0,04 → −0,08 → 0,16 → −0,32 → 0,64 → −1,28 → 2,56 → …
Tras veinte iteraciones, la estimación es −5242,88. El residuo, que empezó en 0,215, es ahora 17,37. El método no se ha atascado ni ha dado rodeos; se ha alejado de la solución siguiendo una línea de razonamiento perfectamente recta, duplicando el error e invirtiendo el signo en cada paso.
No ha fallado nada
La tentación es buscar un fallo de programación. No lo hay, y merece la pena hacer los cálculos porque son muy breves.
El paso de Newton es x − f(x)/f′(x). Para f(x) = x1/3, la derivada es (1/3)x−2/3, de modo que
f(x)/f′(x) = x1/3 ÷ ⅓x−2/3 = 3x
y la siguiente estimación es x − 3x = −2x. No de forma aproximada: con total exactitud. Cada iteración multiplica la estimación por −2, desde cualquier punto de partida, indefinidamente. De ahí procede −5242,88: es 0,01 × (−2)19, y puedes consultar toda la progresión geométrica en la tabla de iteraciones de Newton's Method Explorer bajo su preajuste diverge.
Lo que ha hecho la raíz cúbica es romper la hipótesis en la que descansa el método. El método de Newton sustituye la curva por su recta tangente y salta al punto donde dicha recta corta el cero. Cerca de una raíz, esa es una aproximación excelente: es el primer término del desarrollo de Taylor, y los términos omitidos decrecen de forma cuadrática, que es exactamente la razón por la que las cifras se duplican. Pero ∛x tiene una tangente vertical en el cero. Su derivada no se limita a hacerse pequeña allí: se hace infinita, y la curva no es localmente recta con ningún aumento. Las rectas tangentes cerca del cero apuntan casi en vertical, y el punto de corte con el eje sigue cayendo en −2x: al doble de distancia de la raíz que el punto de partida, en el lado opuesto.
Observa las dos columnas contiguas en la tabla: f(x) crece mientras f′(x) disminuye hacia 0,001. El paso es su cociente, por lo que crece por partida doble.
El segundo fallo es peor, porque parece un éxito
La divergencia, al menos, se hace notar.
Tomemos f(x) = x³ − x, cuyas raíces son −1, 0 y +1. Comienza en 0,57. El método converge limpiamente, trece iteraciones, residuo 2,3 × 10⁻¹¹ —y la raíz que devuelve es −1.
Fíjate en dónde se sitúa 0,57. Está a 0,43 de +1 y a 1,57 de −1. También está a solo 0,57 de la raíz en cero. El método de Newton devuelve la que está más lejos, tras haber pasado de largo ante dos raíces más cercanas, e informa de un éxito rotundo con once decimales correctos.
Ahora comienza en 0,58 en su lugar. Quince iteraciones, y la solución es +1.
Una centésima de diferencia en la estimación inicial, y el método va a parar al extremo opuesto de la función. Entre esos dos puntos de partida está 1/√3 ≈ 0,5774, donde la derivada de x³ − x es cero. La tangente allí es horizontal y corta el eje en un punto sumamente alejado; al aproximarse a ese punto desde cualquiera de los dos lados, el primer paso resulta descomunal, en sentidos opuestos. Cualquier zona plana de una curva es una plataforma de lanzamiento, y la región a la que te arroja no guarda ninguna relación con la proximidad.
Esta es la propiedad que hace que «¿a qué raíz llegaré?» sea una pregunta sin respuesta en el caso general. Para polinomios sobre los números complejos, los conjuntos de puntos de partida que conducen a cada raíz se denominan cuencas de atracción, y sus fronteras son fractales: a una distancia arbitrariamente próxima de un punto que converge a una raíz se encuentra otro que converge a una distinta. Hubbard, Schleicher y Sutherland demostraron en 2001 que, a pesar de ello, se puede construir un conjunto finito de puntos de partida que garantiza encontrar todas las raíces de un polinomio dado. Un resultado auténtico, y una muestra de cuánto trabajo oculta discretamente la frase «basta con aplicar el método de Newton».
Qué cambia esto en la práctica
De aquí se desprenden tres consecuencias prácticas, y las dos primeras son visibles en la página.
En primer lugar, un residuo pequeño no es una garantía. En la ejecución con diverge de arriba el residuo es 17,37 y sigue subiendo, de modo que ese caso queda al descubierto. Pero en la ejecución con 0,57 el residuo es 2 × 10⁻¹¹ y la respuesta es una raíz perfectamente válida, solo que no es la que buscaba quien formuló el problema. Las pruebas de convergencia pueden decirte que has encontrado una solución. Nada en el método puede asegurarte que sea la solución.
En segundo lugar, los límites de iteraciones son fundamentales para sostener el proceso. El explorador se detiene en veinte por defecto, y esa es la única razón por la que la ejecución divergente tiene un final en lugar de provocar un desbordamiento. Los programas de cálculo en producción hacen lo mismo, y la cifra no es arbitraria: una iteración de Newton adecuada sobre una función bien condicionada alcanza la precisión de la máquina en un intervalo de cinco a diez pasos, por lo que cualquier cálculo que siga corriendo tras veinte pasos no es que converja despacio, es que no converge.
En tercer lugar, la solución ante un mal punto de partida no suele ser un algoritmo mejor, sino un intervalo de acotación. El método de bisección no puede divergir —si la función cambia de signo en un intervalo, la regla del punto medio no puede salirse de él— y tampoco puede elegir la raíz equivocada, porque solo hay una dentro de ese intervalo. Es simplemente lento: gana un bit por paso en lugar de duplicar las cifras. Por ello, la mayoría de los programas reales emplean un esquema híbrido: aplican bisección hasta que la estimación es demostrablemente cercana y luego dejan que Newton remate en tres pasos. Se obtiene así la rapidez donde se cumplen las hipótesis y la garantía donde no.
Conviene añadir una nota al pie sobre el nombre. El método original de Newton, hacia 1669, no utilizaba derivadas y estaba formulado para polinomios como una sucesión de sustituciones; Raphson lo simplificó en 1690; la forma que se enseña hoy, con f′ y una función diferenciable f arbitraria, se debe a Simpson en 1740. Ypma reconstruyó toda su genealogía en 1995. Lo que falla de forma tan instructiva con la raíz cúbica es una depuración del siglo XVIII de una receta del siglo XVII, y ha estado en toda caja de herramientas numéricas desde entonces; de ahí el valor de saber con exactitud dónde se rompe.