Reloj de aritmética modular

Elige el módulo n y la operación. Observa el resultado en un reloj modular y examina las tablas de suma/multiplicación.

Ejemplo resuelto — Reloj de aritmética modular

Expresión	7 x 5 (mod 12)
Resultado	11

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un módulo primo te devuelve la división 🖖

La aritmética modular trabaja con enteros bajo un módulo cíclico n, expresado como a ≡ b (mod n). Este sistema algebraico forma un anillo conmutativo Z/nZ. Si el módulo p es primo, el anillo se convierte en un cuerpo, lo que significa que cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo.

Por qué se llama aritmética del reloj 🖖

En un reloj de 12 horas, 4 horas después de las 11 son las 3, no las 15: los números vuelven al inicio al pasar de 12. Eso es exactamente la aritmética modular: a ≡ b (mod n) significa que a y b dejan el mismo resto al dividirlos entre n. Así, 15 ≡ 3 (mod 12). La idea clave: la aritmética modular solo conserva el resto de la división, y el reloj de esta herramienta te deja ver cómo giran los números.

La regla del 9 es aritmética modular oculta 🖖

La vieja regla «un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras lo es» es pura aritmética modular. Como 10 ≡ 1 (mod 9), toda potencia de 10 también es ≡ 1, de modo que un número es congruente con la suma de sus cifras (mod 9). El mismo hecho sostiene la prueba del nueve, un método con siglos de antigüedad para verificar cuentas a mano.

ARITMÉTICA MODULAR — ¿CUÁNDO SE PUEDE DIVIDIR Y CUÁNDO NO?

¿En qué caso de aritmética modular está?

Trabajar módulo n significa quedarse solo con el resto, y la suma, la resta y la multiplicación salen ilesas de eso. La división no. Que se pueda dividir por un número —que tenga inverso— depende únicamente de si comparte un factor con n, y por eso un módulo primo se comporta de forma tan distinta a uno compuesto. El caso depende de la operación y de qué clase de número es n.

Suma: siempre se porta bien, sea cual sea n 13 + 5 ≡ 6 (mod 12)

Módulo primo: se puede dividir por todo elemento no nulo φ(7) = 6 ⇒ gcd(a, 7) = 1 ∀a ≠ 0

Módulo compuesto: por casi ningún elemento se puede dividir 2 × 3 ≡ 0, φ(6) = 2

Potencias repetidas: giran en ciclo, y Fermat dice dónde a^p−1 ≡ 1 (mod p)

Suma: siempre se porta bien, sea cual sea n

Lo que sabe: Cualquier módulo. Sumar, restar y multiplicar módulo n están siempre definidos, y todo elemento tiene su opuesto aditivo.

Qué comprobar: 13 + 5 ≡ 6 (mod 12)

Ejemplo resuelto: Un reloj de 12 horas: 13 + 5 = 18, y 18 mod 12 = 6. Cinco horas después de la una es las seis.

Abrir este caso: reloj mod 12

Suma: siempre se porta bien, sea cual sea n. La tabla de sumar módulo 12: cada fila es la anterior desplazada una posición, y cada valor aparece exactamente una vez. Cualquier módulo. Sumar, restar y multiplicar módulo n están siempre definidos, y todo elemento tiene su opuesto aditivo. — La tabla de sumar módulo 12: cada fila es la anterior desplazada una posición, y cada valor aparece exactamente una vez.

Módulo primo: se puede dividir por todo elemento no nulo

Lo que sabe: n es primo. Entonces ningún elemento no nulo comparte factor con n, así que todos tienen inverso multiplicativo.

Qué comprobar: φ(7) = 6 ⇒ gcd(a, 7) = 1 ∀a ≠ 0

Ejemplo resuelto: Módulo 7: 3 × 4 = 12 ≡ 5. Los seis valores no nulos 1…6 son invertibles, de modo que la tabla de multiplicar no tiene ceros fuera de la primera fila.

Abrir este caso: primo mod 7

Módulo primo: se puede dividir por todo elemento no nulo. La tabla de multiplicar módulo 7: ningún cero por debajo de la primera fila, y cada fila una permutación de 1 a 6. n es primo. Entonces ningún elemento no nulo comparte factor con n, así que todos tienen inverso multiplicativo. — La tabla de multiplicar módulo 7: ningún cero por debajo de la primera fila, y cada fila una permutación de 1 a 6.

Módulo compuesto: por casi ningún elemento se puede dividir

Lo que sabe: n es compuesto. Solo los valores coprimos con n tienen inverso; el resto son divisores de cero, y dividir por ellos no significa nada.

Qué comprobar: 2 × 3 ≡ 0, φ(6) = 2

Ejemplo resuelto: Módulo 6: 2 × 4 = 8 ≡ 2. Ni 2 ni 4 son invertibles, pues mcd(2,6) = 2 y mcd(4,6) = 2. Solo 1 y 5 son unidades: dos de seis.

Abrir este caso: compuesto mod 6

Módulo compuesto: por casi ningún elemento se puede dividir. La tabla de multiplicar módulo 6, salpicada de ceros y con solo dos filas que son permutaciones. n es compuesto. Solo los valores coprimos con n tienen inverso; el resto son divisores de cero, y dividir por ellos no significa nada. — La tabla de multiplicar módulo 6, salpicada de ceros y con solo dos filas que son permutaciones.

Potencias repetidas: giran en ciclo, y Fermat dice dónde

Lo que sabe: Elevar a una potencia módulo n. Para p primo y a no divisible por p, los exponentes se repiten con periodo divisor de p − 1.

Qué comprobar: a^p−1 ≡ 1 (mod p)

Ejemplo resuelto: Módulo 13: 7¹² ≡ 1. El pequeño teorema de Fermat lo garantiza para toda base de 1 a 12, sin calcular ni una sola potencia grande.

Abrir este caso: fermat mod 13

Potencias repetidas: giran en ciclo, y Fermat dice dónde. Las potencias de cada base módulo 13; la columna del exponente 12 vuelve a 1 para toda unidad. Elevar a una potencia módulo n. Para p primo y a no divisible por p, los exponentes se repiten con periodo divisor de p − 1. — Las potencias de cada base módulo 13; la columna del exponente 12 vuelve a 1 para toda unidad.

Problema resuelto al detalle

Evaluando 7 12 mod 13 en la cuadrícula completa 5 pasos
Calcular 7¹² mod 13 sin escribir nunca 7¹². Se trata de la operación a^k con n = 13, a = 7 y k = 12, y la cuadrícula es la tabla completa de a^k mod 13.
1. 7¹² es 13 841 287 201: once cifras para una respuesta que debe estar comprendida entre 0 y 12. La reducción se conserva tras la multiplicación: el resto de un producto depende únicamente de los restos de sus factores, por lo que es posible reducir tras cada paso en lugar de hacerlo al final.
  
  $7^{12} = 13841287201, x y mod n = ((x mod n) (y mod n)) mod n$
2. El pequeño teorema de Fermat resuelve la respuesta antes de efectuar cálculo alguno. Para un número primo p y un entero a no divisible por p, a^p−1 ≡ 1; en este caso p = 13 y k es exactamente p − 1, por lo que el resultado es 1 y todo lo que sigue es una comprobación del teorema más que la búsqueda de la respuesta.
  
  $p = 13 prime, 13 ∤ 7 ⟹ 7^{12} = 7^{p - 1} \equiv 1 (mod 13)$
3. Elevar al cuadrado duplica el exponente, de modo que tres elevaciones al cuadrado nos llevan a 7⁸. Cada línea se reduce antes de comenzar la siguiente, motivo por el cual ningún número en todo el cálculo supera el 100.
  
  $7^{2} = 49 \equiv 10, 7^{4} \equiv 1 0^{2} = 100 \equiv 9, 7^{8} \equiv 9^{2} = 81 \equiv 3 (mod 13)$
4. 12 es 8 + 4, y ambas potencias ya se calcularon en el proceso, por lo que basta una multiplicación más para terminar. Cuatro multiplicaciones en total, frente a las once que requeriría un producto de doce sietes efectuado de izquierda a derecha; y el ahorro crece con el exponente, no con el módulo.
  
  $12 = 110 0_{2} = 8 + 4 ⟹ 7^{12} \equiv 7^{8} \cdot 7^{4} \equiv 3 \times 9 = 27 \equiv 1 (mod 13)$
5. El orden de 7, es decir, el menor k tal que 7^k ≡ 1, debe dividir a 12, por lo que ha de ser uno de entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Al comprobar los cinco divisores propios se descartan todos ellos, de modo que el orden es exactamente 12.
  
  $7^{1} \equiv 7, 7^{2} \equiv 10, 7^{3} \equiv 5, 7^{4} \equiv 9, 7^{6} \equiv 12 ⟹ ord_{13} (7) = 12$
Respuesta

Las tres elevaciones al cuadrado y la multiplicación final reproducen sin error la fila de la herramienta para a = 7: 10 en k = 2, 9 en k = 4, 3 en k = 8, y 1 en k = 12, tal y como predecía Fermat. Puesto que el orden es 12 y no un divisor propio del mismo —el criterio del orden exigía 12 en k = 6, que no es 1—, esa fila es una permutación de los números del 1 al 12 que recorre cada resto no nulo exactamente una vez, lo que convierte a 7 en una raíz primitiva mod 13. Leamos ahora la fila en la dirección contraria: dado 11, hallar k. No existe ningún método de exponenciación binaria para eso, solo la búsqueda exhaustiva; esta asimetría entre la sencillez en sentido directo y la dificultad en sentido inverso constituye la base del intercambio de claves de Diffie-Hellman. El algoritmo escala de una forma que la tabla no puede imitar: un exponente de 2048 bits requiere como máximo unas 4 000 multiplicaciones modulares, mientras que escribir la potencia a la que hace referencia exigiría aproximadamente 2,7 × 10⁶¹⁶ cifras.

$ord_{13} (7) = 12 ⟹ {7^{k} mod 13}_{k = 1}^{12} = {1, 2, \dots, 12}$

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Referencias (1)

The congruence sign this tool prints, and the book that introduced it: C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae. Leipzig, 1801 — Section I defines a ≡ b (mod n); Section II is where a prime modulus starts behaving like a field. Digitised by the Smithsonian Libraries.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

reloj mod 12 - Aritmética del reloj: 13 ≡ 1 (mod 12), por lo que 13+5 da la vuelta hasta 6.
primo mod 7 - Módulo primo: las filas de multiplicación distintas de cero se comportan como permutaciones.
compuesto mod 6 - Un módulo compuesto muestra filas repetidas donde gcd(fila,n) > 1.
fermat mod 13 - Patrón tipo Fermat: a^(p-1) ≡ 1 mod p para p primo y gcd(a,p)=1.