Reloj de aritmética modular
Elige el módulo n y la operación. Observa el resultado en un reloj modular y examina las tablas de suma/multiplicación.
Relaciones de congruencia y estructuras de anillos algebraicos 🖖
La aritmética modular trabaja con enteros bajo un módulo cíclico n, expresado como a ≡ b (mod n). Este sistema algebraico forma un anillo conmutativo Z/nZ. Si el módulo p es primo, el anillo se convierte en un cuerpo, lo que significa que cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo.
Por qué se llama aritmética del reloj 🖖
En un reloj de 12 horas, 4 horas después de las 11 son las 3, no las 15: los números vuelven al inicio al pasar de 12. Eso es exactamente la aritmética modular: a ≡ b (mod n) significa que a y b dejan el mismo resto al dividirlos entre n. Así, 15 ≡ 3 (mod 12). La idea clave: la aritmética modular solo conserva el resto de la división, y el reloj de esta herramienta te deja ver cómo giran los números.
La regla del 9 es aritmética modular oculta 🖖
La vieja regla «un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras lo es» es pura aritmética modular. Como 10 ≡ 1 (mod 9), toda potencia de 10 también es ≡ 1, de modo que un número es congruente con la suma de sus cifras (mod 9). El mismo hecho sostiene la prueba del nueve, un método con siglos de antigüedad para verificar cuentas a mano.
Problemas de ejemplo
- reloj mod 12 - Aritmética del reloj: 13 ≡ 1 (mod 12), por lo que 13+5 da la vuelta hasta 6.
- primo mod 7 - Módulo primo: las filas de multiplicación distintas de cero se comportan como permutaciones.
- compuesto mod 6 - Un módulo compuesto muestra filas repetidas donde gcd(fila,n) > 1.
- fermat mod 13 - Patrón tipo Fermat: a^(p-1) ≡ 1 mod p para p primo y gcd(a,p)=1.