Explorador de la Paradoja del Cumpleaños

probabilidad de cumpleaños compartido frente al tamaño del grupo

Ejemplo resuelto — Explorador de la Paradoja del Cumpleaños

P(cumpleaños compartido)	50,7%
1. Número de personas en la sala (n):	23
2. Total de pares a comparar (n × (n-1) / 2):	253 pares
P(todos distintos)	49,3%
Pares comparados	253

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Lección

La teoría — Explorador de la Paradoja del Cumpleaños

El problema del cumpleaños plantea calcular la probabilidad de que al menos dos personas del grupo compartan cumpleaños. No es la probabilidad de que alguien coincida contigo, ni trata sobre una fecha en particular —esa distinción es la razón fundamental por la que el resultado resulta contraintuitivo.

Qué significa cada símbolo

P(match): la probabilidad de que alguna pareja comparta cumpleaños —el dato principal, 50.7% para n = 23.
P(all unique): la probabilidad de que ninguna pareja coincida. Ambas suman siempre el 100%: 50.7% + 49.3%.
pairs: cuántas parejas contiene el grupo, n(n−1)/2 —para 23 personas equivale a 253, y son las parejas, más que las personas, lo que dispara la probabilidad.

Cómo leer lo que ves

Primero aparecen las dos probabilidades, luego el número de parejas y a continuación una explicación paso a paso. Debajo, la fórmula muestra exactamente lo que se multiplicó: 1 − (365/365 × 364/365 × ⋯ × 343/365), con un factor por persona, finalizando en 1 − 0.492703 = 0.507297. Cada factor representa la probabilidad de que la siguiente persona no coincida con ningún cumpleaños ya ocupado.

Supone: 365 cumpleaños igualmente probables e independientes entre sí. Sin años bisiestos, sin gemelos y sin patrones estacionales de nacimiento —los tres supuestos son falsos en el mundo real, razón por la cual este es un modelo teórico simplificado y no una predicción demográfica.
Falla cuando: La suposición de uniformidad no es conservadora en el sentido que se podría pensar. En la realidad, las fechas de nacimiento se agrupan por temporadas, y cualquier desviación de la uniformidad aumenta la probabilidad de una coincidencia —de modo que el 50.7% para 23 personas es un límite inferior, no una estimación. Al llevar el deslizador a 80, la probabilidad se redondea al 100%, pero nunca llega a alcanzarlo: con menos de 366 personas, siempre cabe la posibilidad de que no haya coincidencias.

la paradoja está en los pares, no en las personas 🖖

La paradoja se disuelve en cuanto dejas de contar personas y empiezas a contar pares. Con 23 personas solo hay 23 cumpleaños que comparar, pero hay C(23,2) = 253 pares distintos, cada uno con la posibilidad de coincidir — y basta con que ocurra una sola vez. La intuición humana se fija en 'cuántas personas son como yo', que crece linealmente, mientras que la cantidad que realmente importa, el número de comparaciones por pares, crece de forma cuadrática como n(n−1)/2. Por eso la curva de probabilidad se dispara tan pronto: a partir de n=23 ya se supera el 50%, y con n=57 supera el 99%, porque se le da al problema del orden de n² oportunidades de coincidencia.

por qué calculamos lo contrario 🖖

En lugar de rastrear cada forma en que podría surgir una coincidencia, la herramienta plantea la pregunta inversa, mucho más sencilla: ¿cuál es la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos? Añade personas una a una — la segunda debe esquivar 1 día ocupado (364/365), la tercera 2, y así sucesivamente —, multiplica esas fracciones decrecientes y réstalas de 100%. La clave: con 23 personas la probabilidad de 'todos distintos' cae por fin por debajo de la mitad, y por eso 23 es el punto de inflexión.

las mismas matemáticas rompen la criptografía 🖖

La misma lógica gobierna en secreto la seguridad digital. Para romper una función hash, un atacante rara vez necesita un objetivo concreto: le bastan dos entradas cualesquiera que produzcan el mismo resultado, que es justo el problema de 'cualquier par'. Así, un hash con N salidas posibles cae ante un ataque de cumpleaños tras unos √N intentos, no N. Por eso un hash de 256 bits ofrece solo unos 128 bits de resistencia a colisiones, y los diseñadores deben duplicar la longitud.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Diez personas forman 45 parejas, y cada pareja tiene alrededor de 1 posibilidad entre 365 de coincidir — lo que sugiere 45/365 = 12.3%. El panel dice 11.7%. ¿En qué dirección se equivoca la estimación rápida, y por qué en esa?

Mostrar la respuesta

Sobreestima, y siempre lo hará. Sumar 45 posibilidades de pareja cuenta más de una vez cada coincidencia doble: esa suma es el primer término de una serie de inclusión-exclusión cuyo término siguiente resta. El panel toma en cambio el camino honesto — P(todas distintas) = (365/365)(364/365)…(356/365) = 88.3%, y 100% − 88.3% = 11.7%. La brecha se abre deprisa: con 23 personas la suma rápida da 253/365 = 69.3% frente a un 50.7% verdadero, y en cuanto un grupo pasa de 365 parejas la suma rápida rebasa el 100%, la prueba más clara posible de que nunca fue una probabilidad.
Lleva el tamaño del grupo a su máximo de 80. P(cumpleaños compartido) marca 99.99% — no 100%. ¿Cuántas personas hacen falta para que un cumpleaños compartido sea realmente seguro?

Mostrar la respuesta

366, o 367 si admites el 29 de febrero. Es el principio del palomar, y es la única vía a la certeza: con 365 fechas posibles, 366 personas no pueden ser todas distintas. Todo lo que está por debajo es solo probable, por cerca que parezca. El deslizador se detiene en 80 porque ahí es donde la curva hace su trabajo — ya está en 99.99%, y las 286 personas restantes solo compran la última centésima de punto porcentual. Fíjate en cómo el panel añade un segundo decimal en n = 73 en vez de imprimir un 100% que no puede justificar.

Problemas resueltos al detalle

23 personas en una habitación con un cumpleaños compartido 5 pasos
¿Cuántas personas debe haber en una habitación antes de que un cumpleaños compartido sea más probable que no? Dedúcelo y luego explica por qué 23 parece demasiado pequeño.
1. Calcula lo contrario. “Al menos uno compartido” es complicado porque la coincidencia puede ocurrir de muchas maneras a la vez; “todos diferentes” es una única secuencia limpia de elecciones.
  
  $P (all different) = k = 0 \prod n - 1 \frac{365 - k}{365}$
2. Cada persona nueva debe evitar todos los cumpleaños ya ocupados, por lo que los días disponibles se reducen en uno cada vez. Multiplica las fracciones.
  
  $n = 23 : \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \dots \frac{343}{365} = 0.4927$
3. Resta de uno. El explorador de arriba muestra exactamente esto, y 23 es el primer n para el cual el resultado supera un medio.
  
  $P (shared) = 1 - 0.4927 = 0.5073 = 50.7%$
4. No te comparas con otras 22 personas: cuenta cada pareja, y el número de parejas crece con el cuadrado del tamaño del grupo.
  
  $(2 n) = \frac{23 \times 22}{2} = 253 pairs$
5. Ese crecimiento al cuadrado es visible en la aproximación: la probabilidad depende de n² sobre 730, por lo que el punto de cruce escala como una raíz cuadrada, no como una fracción de 365.
  
  $P \approx 1 - e^{- n^{2} /730} : n = 730 ln 2 = 22.5$
Respuesta

23 personas, para una probabilidad del 50.7%. La intuición que falla es una sustitución de la pregunta: la gente se imagina "alguien comparte mi cumpleaños", lo que requiere 253 personas para tener las mismas probabilidades, cuando la pregunta planteada es "dos cualesquiera de nosotros", lo que supone 253 parejas para n = 23. La escala con la raíz cuadrada es la lección general, y es la razón por la que las colisiones de hash aparecen tras aproximadamente √N inserciones en lugar de N —la misma aritmética decide qué longitud necesita tener un hash.

$n = 23 \Rightarrow P = 50.7% pairs = (2 23) = 253$
La regla del 50,7 % para veintitrés personas en un año de 365 días 6 pasos
Veintitrés personas, 50,7 %. El número que todo el mundo recuerda es 23, y es la parte menos útil del resultado: pertenece a un año de 365 días y a nada más. Encuentra la regla que hay debajo, la que sigue valiendo cuando el calendario es una función hash.
1. La respuesta exacta es un producto: la segunda persona no coincide con la primera, la tercera no coincide con ninguna de las dos, y así por toda la sala. Ese producto es lo que evalúa el panel.
  
  $Q (n) = k = 0 \prod n - 1 \frac{365 - k}{365}, P = 1 - Q (23) = 0.507$
2. Con productos se razona mal, así que toma logaritmos — y mientras k sea pequeño frente a 365, cada logaritmo es casi su propio argumento. Lo que queda es la suma de los primeros n−1 enteros.
  
  $ln Q = k = 0 \sum n - 1 ln (1 - \frac{k}{365}) \approx - k = 0 \sum n - 1 \frac{k}{365} = - \frac{n ( n - 1 )}{730}$
3. Iguala la probabilidad a un medio y despeja. El término n² domina al n, así que la respuesta es una raíz cuadrada, y cae a menos de media persona de los 23 del panel.
  
  $P = \frac{1}{2} ⟹ \frac{n ( n - 1 )}{730} = ln 2 ⟹ n^{2} \approx 730 ln 2 = 506.0 ⟹ n \approx 22.5$
4. Escríbelo ahora sin ningún 365. El año nunca fue especial: con N casillas igualmente probables, el punto medio está en torno a 1,1774√N.
  
  $n \approx 2 N ln 2 = 1.1774 N : N = 365 ⟹ 22.49$
5. Aplícalo donde de verdad muerde. Un hash de 32 bits tiene 2³² casillas, que suena enorme — pero la raíz cuadrada de un número enorme no lo es.
  
  $N = 2^{32} : n \approx 1.1774 2^{32} = 1.1774 \times 65536 = 77162$
6. Mide eso frente al tamaño del espacio del que se extrae.
  
  $\frac{77 162}{2 ^{32}} = 1.8 \times 1 0^{- 5} = 0.0018%$
Respuesta

El umbral crece como √N, no como N/2 — y para un hash de 32 bits eso son 77.162 elementos, el 0,0018 % del espacio, antes de que una colisión sea más probable que su ausencia. Ese es el ataque del cumpleaños, y por eso las sumas de control de 32 bits no sirven para deduplicar a escala, y por eso las salidas hash se dimensionan en bits con la raíz cuadrada ya descontada. El 23 del panel es un único punto de esa curva. Lo que se transfiere es la curva.

$n \approx 1.1774 N : 365 \to 23, 2^{32} \to 77162$

Ruta de aprendizaje

Cuando dos cosas coinciden en el mismo valor

Lleva a Tablas hash el argumento del conteo de parejas y la costumbre de calcular el complemento —la probabilidad de que nada coincida.

Referencias (1)

Why real, non-uniform birth dates make a collision MORE likely, not less — so 50.7% at 23 people is a floor: A. G. Munford, “A Note on the Uniformity Assumption in the Birthday Problem.” The American Statistician 31, 119, 1977.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-15

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

oficina n=10 - n=10 -> 11.7% de probabilidad - parece seguro, pero ya se están comparando 45 pares
clase n=23 - n=23 -> 50.7% de probabilidad - el famoso punto de cruce: más probable que improbable
sala n=30 - n=30 -> 70.6% de probabilidad - aproximadamente 2 de cada 3 en un aula típica
auditorio n=57 - n=57 -> 99.0% de probabilidad - casi una certeza con solo 57 personas