La regla de la cadena

Una composición es una cadena de eslabones: cada uno dilata una pequeña variación según su propia tasa. Construye una cadena y elige x. Las rectas numéricas harán avanzar el intervalo a través de ella y los estiramientos se multiplicarán; al encoger el intervalo, cada factor se aproxima a la derivada de su eslabón, salvo que alguno lo aplaste por completo. Después te tocará escribir dy/dx a ti.

La regla de la cadena	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
En notación funcional	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Ejemplo resuelto — La regla de la cadena

Valor interior	4
Salida	−0,7568
Tasa interior, en x	4
Tasa exterior, en u	−0,6536
Pendiente de toda la cadena	−2,6146
Misma pendiente, solo con y	−2,6146
Luego el eslabón interior, respecto a x.	2x

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La regla de la cadena

Si u = g(x) e y = f(u), la razón de cambio de toda la cadena es el producto de las razones de sus eslabones, dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Cada razón se toma donde actúa su eslabón, de modo que la exterior se evalúa en u = g(x), no en x. Una cadena más larga multiplica una razón más por cada eslabón.

Qué significa cada símbolo

u: el valor que transmite el eslabón interior, u = g(x)
w: en una cadena de tres eslabones, el valor que transmite el eslabón intermedio

De dónde viene la fórmula

Divide el cambio en eslabones. Avanza x en Δx. El eslabón interior desplaza u en Δu y el exterior desplaza y en Δy; mientras Δu no sea 0, la razón de toda la cadena se descompone en las razones de los dos eslabones. En la página, esto se traduce en multiplicar los estiramientos de las bandas.
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} (Δ u \neq = 0)$
Haz que Δx se reduzca. Como g es continua en x, Δu se reduce a la par. La razón interior tiende a g′(x) y la exterior a f′ en el punto donde actúa el eslabón exterior, u = g(x). El límite de un producto es el producto de los límites.
$\frac{Δ u}{Δ x} \to g^{'} (x), \frac{Δ y}{Δ u} \to f^{'} (u) = f^{'} (g (x)) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
El caso que oculta la descomposición. Si Δu es 0 para algún Δx pequeño, la primera línea divide entre cero. La demostración rigurosa asigna a la razón exterior el valor f′(u) siempre que Δu = 0. Entonces el producto se cumple para todo Δx, y su límite es el mismo.

Supone: Cada eslabón tiene derivada en el punto donde actúa. Si alguno no la tiene, como le ocurre a √u en 0, la regla no dice nada y la página muestra la cadena como indefinida en ese punto.

Problemas resueltos al detalle

Potencia de una expresión lineal 3 pasos
Deriva y = (3x + 1)⁴ y halla la pendiente en x = 0.

Abre este problema en la herramienta
1. Identifica los eslabones y sus derivadas. El interior es la parte lineal; el exterior, la cuarta potencia:
  
  $u = 3 x + 1, \frac{d u}{d x} = 3; y = u^{4}, \frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$
2. Multiplica empezando por la derivada exterior y escribe el resultado como en un examen, con la constante delante:
  
  $\frac{d y}{d x} = 4 (3 x + 1)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 1)^{3}$
3. En x = 0, el valor interior es 1:
  
  $x = 0 : 12 \cdot 1^{3} = 12$
Respuesta

dy/dx = 12(3x + 1)³, y 12 en x = 0. El 3 es el paso que casi todo el mundo se salta: la derivada exterior sola daría 4(3x + 1)³, apenas un cuarto de la pendiente real. La página muestra las dos derivadas como 3 y 4, y su producto como 12.

$\frac{d y}{d x} = 12 (3 x + 1)^{3}$
Seno de un cuadrado 3 pasos
Deriva y = sin(x²) y halla la pendiente en x = 1.

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1. Los eslabones y sus derivadas:
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = sin u, \frac{d y}{d u} = cos u$
2. Multiplica. El coseno se evalúa en u = x², donde actúa el eslabón exterior, no en x:
  
  $\frac{d y}{d x} = cos (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2})$
3. En x = 1:
  
  $x = 1 : 2 cos 1 \approx 1.0806$
Respuesta

dy/dx = 2x cos(x²), y 2 cos 1 ≈ 1,0806 en x = 1. La página muestra allí la derivada exterior como 0,5403, que es cos 1, porque en ese punto u = x² vale 1.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2})$
Dónde e^(−x²) es horizontal 3 pasos
Deriva y = e^(−x²), halla dónde su pendiente es cero y calcula la pendiente en x = 1.

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1. Los eslabones y sus derivadas. e elevada a una potencia es su propia derivada:
  
  $u = - x^{2}, \frac{d u}{d x} = - 2 x; y = e^{u}, \frac{d y}{d u} = e^{u}$
2. Multiplica:
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}$
3. La exponencial nunca es cero, así que solo el factor −2x puede anularse:
  
  $e^{- x^{2}} > 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 0 ⟺ x = 0; x = 1 : - \frac{2}{e} \approx - 0.7358$
Respuesta

dy/dx = −2x e^(−x²): horizontal solo en x = 0, y −2/e ≈ −0,7358 en x = 1. A la izquierda de 0 la pendiente es positiva y a la derecha es negativa, así que x = 0 es el punto más alto de la curva.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x e^{- x^{2}}$
El logaritmo de una suma 3 pasos
Deriva y = ln(x² + 1) y calcula la pendiente en x = 1.

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1. Los eslabones y sus derivadas:
  
  $u = x^{2} + 1, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = ln u, \frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}$
2. Multiplica:
  
  $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
3. En x = 1, el valor interior es 2:
  
  $x = 1 : \frac{2}{2} = 1$
Respuesta

dy/dx = 2x/(x² + 1), y exactamente 1 en x = 1. La página muestra la derivada exterior como 0,5, que es 1/u para u = 2.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
Una potencia negativa 3 pasos
Deriva y = 1/(2x − 1)³ y calcula la pendiente en x = 1.

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1. Escríbela primero como potencia; los eslabones y sus derivadas se calculan como antes:
  
  $y = (2 x - 1)^{- 3} : u = 2 x - 1, \frac{d u}{d x} = 2; y = u^{- 3}, \frac{d y}{d u} = - 3 u^{- 4}$
2. Multiplica y vuelve a escribir la potencia negativa como fracción:
  
  $\frac{d y}{d x} = - 3 (2 x - 1)^{- 4} \cdot 2 = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
3. En x = 1, el valor interior es 1:
  
  $x = 1 : - \frac{6}{1} = - 6$
Respuesta

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴, y −6 en x = 1. Al escribirlo como potencia, un cociente con una constante en el numerador no necesita para nada la regla del cociente.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
El cubo de un seno 3 pasos
Deriva y = sin³x y calcula la pendiente en x = π/4.

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1. sin³x es el cubo de sin x: la potencia es el eslabón exterior y el seno, el interior:
  
  $sin^{3} x = (sin x)^{3} : u = sin x, \frac{d u}{d x} = cos x; y = u^{3}, \frac{d y}{d u} = 3 u^{2}$
2. Multiplica:
  
  $\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
3. En π/4, tanto el seno como el coseno valen √2/2:
  
  $x = \frac{π}{4} : 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{4} \approx 1.0607$
Respuesta

dy/dx = 3 sin²x cos x, y 3√2/4 ≈ 1,0607 en x = π/4. Si lees sin³x como sin(x³), la cadena es otra y los eslabones quedan al revés.

$\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
Tres eslabones 3 pasos
Deriva y = e^(sin(x²)) y calcula la pendiente en x = 1.

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1. Tres eslabones, tres derivadas, cada una evaluada donde actúa su eslabón:
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; w = sin u, \frac{d w}{d u} = cos u; y = e^{w}, \frac{d y}{d w} = e^{w}$
2. Multiplica las tres, empezando por la exterior:
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{s i n (x^{2})} \cdot cos (x^{2}) \cdot 2 x$
3. En x = 1:
  
  $x = 1 : e^{s i n 1} \cdot cos 1 \cdot 2 \approx 2.3198 \cdot 0.5403 \cdot 2 \approx 2.5068$
Respuesta

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)), aproximadamente 2,5068 en x = 1. Un eslabón más es un factor más: el método no cambia.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2}) e^{s i n (x^{2})}$
¿Cuántas pulsaciones de cos? 4 pasos
Una calculadora en radianes muestra 1, y pulsas cos repetidamente. Cerca de p = 0,739085…, donde cos p = p, cada pulsación multiplica el error por cos′(p) = −sin p = −0,6736. Estima cuántas pulsaciones sitúan la pantalla a menos de 10⁻⁶ de p y comprueba luego la estimación. Pulsa Desde x = 1: tres pulsaciones llevan el 1 a 0,6543, y la pendiente de la cadena de tres eslabones vale allí −0,3273.

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1. El error antes de la primera pulsación:
  
  $e_{0} = 1 - p = 1 - 0.739085 = 0.2609$
2. n pulsaciones forman una cadena de n eslabones y, cerca de p, cada eslabón tiene la misma tasa; por tanto, la regla de la cadena multiplica n factores iguales:
  
  $\frac{d}{d x} n cos (cos (\dots cos x))_{x = p} = (- sin p)^{n} = (- 0.6736)^{n}, ∣ e_{n} ∣ \approx 0.2609 \times 0.673 6^{n}$
3. Pide que ese valor quede por debajo de 10⁻⁶ y toma logaritmos:
  
  $0.2609 \times 0.673 6^{n} < 1 0^{- 6} ⟺ n > \frac{ln ( 0 . 2609/1 0 ^{- 6} )}{ln ( 1/0 . 6736 )} = \frac{12 . 47}{0 . 3951} = 31.57$
4. Las tres pulsaciones de la página ponen a prueba la estimación en una fase inicial, donde todavía es aproximada: predice −0,0797 y la pantalla se desvía en −0,0848, porque las primeras pulsaciones ocurren lejos de p.
  
  $e_{3} \approx 0.2609 \times (- 0.3057) = - 0.0797, e_{3} = 0.6543 - 0.7391 = - 0.0848$
Respuesta

32 pulsaciones. La estimación da 31,57, es decir, 32, y la iteración lo confirma: tras 31 pulsaciones el error es de 1,286×10⁻⁶ y tras 32 es de 8,664×10⁻⁷. El cociente entre cada error y el anterior vale −0,7619 en la primera pulsación y −0,5960 en la segunda, y se va estabilizando en −0,6736 a medida que nos aproximamos. La página se detiene en tres eslabones.

$n = 32 : ∣ e_{31} ∣ = 1.286 \times 1 0^{- 6}, ∣ e_{32} ∣ = 8.664 \times 1 0^{- 7}$

Olvidar el factor interior puede pasar la comprobación en un punto 🖖

Pulsa Olvidar el interior. La cadena es sin(x²) en x = 2, y la respuesta introducida, cos(x²), ha omitido la derivada interna, 2x. Ahí falla por un factor de 4. Pulsa ahora Comprobar en un punto: es la misma respuesta en x = 0,5, donde 2x vale exactamente 1 y coincide con la pendiente real. Comprobar una derivada en un solo punto no demuestra nada si la derivada interna vale justo 1 allí. La página evalúa 24 puntos y la rechaza en cada uno de ellos.

Tres pulsaciones de cos invierten el error tres veces 🖖

Pulsa cos tres veces. La cadena es cos(cos(cos x)) en 0,739085…, el único número que cos deja donde está. Cada eslabón actúa en el mismo punto y tiene la misma derivada, alrededor de −0,67, de modo que cada banda sale invertida y un tercio más corta. Eso es lo que ocurre al pulsar cos una y otra vez en una calculadora: cerca de 0,7391, cada pulsación conserva unos dos tercios del error e invierte su signo, de modo que la pantalla queda por encima y luego por debajo, cada vez más cerca. El último problema resuelto cuenta las pulsaciones.

e elevado a ln x te da la derivada de ln x 🖖

Pulsa e elevado a ln x. Los dos eslabones devuelven lo que recibieron, e^(ln x) = x, así que toda la cadena tiene pendiente 1. La regla de la cadena dice que 1 es el producto de las dos derivadas: la exterior, e^(ln x), que es x, multiplicada por la derivada de ln. Por tanto, la derivada de ln en x tiene que ser 1/x, sin que el razonamiento haya necesitado conocerla de antemano. Mueve x y verás que las dos derivadas siguen siendo recíprocas.

Ruta de aprendizaje

Derivación: cómo se combinan las razones de cambio

Referencias (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.