Transformación de gráficas: traslaciones, dilataciones y reflexiones

Elige una gráfica base y ajusta los cuatro números en y = a·f(bx + c) + d. La página dibuja la gráfica base en un tono tenue y la curva transformada en trazo continuo, marcando con una flecha el destino de cada punto clave, y calcula la traslación, las dilataciones y la posición final de cada uno.

Ejemplo resuelto — Transformación de gráficas: traslaciones, dilataciones y reflexiones

Traslación horiz. (interior cero)	3
Factor de escala horizontal	1
Factor de escala vertical	1
Traslación vertical	0
Dónde termina el vértice (0, 0)	(3, 0)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Transformación de gráficas: traslaciones, dilataciones y reflexiones

Una transformación de una gráfica mueve cada uno de sus puntos siguiendo una misma regla. Para y = a·f(bx + c) + d, el punto (p, q) de y = f(x) pasa a ((p − c)/b, a·q + d). Los dos números dentro del paréntesis, b y c, actúan sobre x antes de aplicar f y mueven la gráfica lateralmente: su traslación horizontal es −c/b y sus anchuras se multiplican por 1/b. Los dos de fuera, a y d, actúan sobre la altura después de f y la desplazan hacia arriba y hacia abajo.

Qué significa cada símbolo

a: el factor de escala vertical; un a negativo también refleja la gráfica respecto al eje x
b: el número que multiplica a x dentro del paréntesis; las anchuras se multiplican por 1/b, y un b negativo también refleja la gráfica respecto al eje y
c: el número sumado a bx dentro del paréntesis
d: la traslación vertical
h: la traslación horizontal, −c/b, la x en la que el interior del paréntesis es cero

Supone: La fórmula se lee en su propio orden: primero se calcula bx + c, luego f, después la multiplicación por a y finalmente la suma de d. Si se escribiera al revés, a·(f(bx + c) + d), la curva se elevaría a·d en lugar de d.
Falla cuando: Los cuatro números pueden trasladar, dilatar y reflejar una gráfica en cada dirección, y nada más. No pueden rotarla. Una parábola girada cualquier ángulo menor a media vuelta no es la gráfica de una función de x en absoluto, porque a la distancia suficiente una línea vertical la cruza dos veces.

Un signo menos dentro del paréntesis mueve la gráfica a la derecha 🖖

Pulsa (x − 3)². Todas las flechas apuntan a la derecha y el vértice termina en (3, 0). Cuando Rina Zazkis y dos colegas preguntaron a estudiantes y profesores de secundaria sobre esta misma parábola en 2003, la mayoría consideró que el desplazamiento a la derecha iba en contra de la intuición. La nueva curva en x toma el valor que x² tenía en x − 3, así que alcanza su punto más bajo solo cuando x − 3 = 0, en x = 3: es la gráfica antigua llegando con tres unidades de retraso. Cualquier operación que afecte a x dentro del paréntesis ocurre antes de que f la reciba, y la gráfica muestra la acción inversa. Si restas 3, la gráfica se mueve 3 en la dirección opuesta; si multiplicas por 2, como en sen 2x, la gráfica llega el doble de rápido, de modo que cada anchura se reduce a la mitad y el punto del seno en 2π, 6,2832, termina en 3,1416. Los dos números exteriores, a y d, actúan sobre la altura una vez que f ha completado su trabajo, y hacen exactamente lo que indican.

El 6 en √(2x − 6) no es la traslación 🖖

Pulsa 2√(2x − 6) + 1. La curva empieza en x = 3. Una raíz cuadrada comienza donde la expresión de su interior vale cero, y 2x − 6 vale cero en 3, no en 6. Si factorizas primero el interior, obtienes 2x − 6 = 2(x − 3), y la traslación es el número que queda en el paréntesis. La primera fila de la tabla de resultados hace exactamente eso, −c/b = −(−6)/2. Existen dos maneras correctas de deducir los movimientos a partir de la fórmula. Puedes desplazar la gráfica 6 hacia la derecha y luego comprimirla a la mitad de su anchura hacia el eje y, lo que arrastra el inicio desde 6 hasta 3. La otra opción es comprimirla primero y luego trasladarla 3. La lectura que falla es la que toma los números en el orden en que están escritos, comprimiendo y después desplazando 6.

(2x)² y 4x² son la misma curva 🖖

Pulsa (2x)². La gráfica es la parábola comprimida a la mitad de su anchura, y la última fila de la tabla de resultados la escribe como 4x², la parábola estirada a cuatro veces su altura. Se trata de una sola curva, porque (2x)² = 2²·x². Para b > 0 la misma identidad, (bx)ⁿ = bⁿxⁿ, se cumple con todas las potencias. Por eso, para x², |x|, x³, √x y 1/x cualquier dilatación horizontal se puede intercambiar por una vertical, y nada en la gráfica deja rastro de qué movimiento se realizó. La función exponencial intercambia el otro movimiento. 2ˣ⁺³ es 2ˣ trasladada 3 a la izquierda, y también es 8·2ˣ, porque 2ˣ⁺³ = 2³·2ˣ. El seno es la única función base de esta página que no intercambia ninguno. Al comprimirla, o al trasladarla cualquier cantidad que no sea un múltiplo de π, sus ceros cambian de lugar, y una dilatación vertical deja cada cero en su sitio.

Problema resuelto al detalle

Mover √x para que empiece en (3, 1) y pase por (5, 5) 4 pasos
Encuentra a, b, c y d para que y = a√(bx + c) + d comience en (3, 1) y pase por (5, 5). Después indica cuántas respuestas existen. Pulsa 2√(2x − 6) + 1 para comprobar una de ellas.

Abre este problema en la herramienta
1. Una raíz cuadrada empieza donde su interior vale cero, y la altura allí es d. El interior tiene que anularse en x = 3, lo que fija c en −3b, y la altura de inicio fija d en 1.
  
  $b x + c = 0 at x = 3 \Rightarrow c = - 3 b, d = 1$
2. Ahora el segundo punto. En x = 5 el interior es 5b − 3b = 2b, así que la condición es a√(2b) + 1 = 5. Se trata de una ecuación con dos incógnitas.
  
  $a 5 b - 3 b + 1 = 5 \Rightarrow a 2 b = 4$
3. Elige b = 2 y la ecuación da a = 2 y c = −6, como en el ejemplo. Elige b = 1 y da a = 4/√2 = 2,8284 y c = −3, que es la curva que la última fila de resultados imprime para ese mismo ejemplo.
  
  $b = 2 : a = \frac{4}{2} = 2, c = - 6 b = 1 : a = \frac{4}{2} = 2.8284, c = - 3$
4. Coinciden porque √(bx − 3b) = √b·√(x − 3), así que todas las curvas de la familia son a√b·√(x − 3) + 1, y el segundo punto solo fija el producto a√b, en 2√2.
  
  $a b x - 3 b = a b x - 3, a b = 22 = 2.8284$
Respuesta

Infinitos conjuntos de cuatro números, y exactamente una sola curva. Cualquier b > 0 funciona, con a = 2√2/√b, c = −3b y d = 1. Si tomas b = 8: entonces a = 1 e y = √(8x − 24) + 1, que pasa por (5, 5) porque √16 = 4. La pregunta «encuentra a y b» no tiene una respuesta única; la pregunta «encuentra la curva» tiene una, 2,8284√(x − 3) + 1.

$b = 8 : a = 1, y = 8 x - 24 + 1, 8 \cdot 5 - 24 + 1 = 4 + 1 = 5$

Referencias (2)

The standard statement of the four moves, including the order the page's claim 2 turns on: in f(bx − h), shift by h first and then stretch by 1/b; in f(b(x − h)), stretch first and then shift by h: Jay Abramson, "1.5 Transformation of Functions." Precalculus 2e, OpenStax, Houston, Texas, 2021. CC BY-NC-SA 4.0.
That the rightward shift of y = (x − 3)² is counterintuitive to most of the secondary students and teachers asked about it, the observation insight 1 quotes: R. Zazkis, P. Liljedahl and K. Gadowsky, "Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting." The Journal of Mathematical Behavior 22(4), 2003, pp. 435-448. DOI 10.1016/j.jmathb.2003.09.003

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.