Laboratorio de Música y Matemáticas

teoría de números, polirritmos y comparación de afinación

Ejemplo resuelto — Laboratorio de Música y Matemáticas

● Pista A (5/8)	1 0 1 0 1 1 0 1
● Pista B (7/12)	1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
Afinado	+50 centésimas

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Doce quintas justas se pasan de siete octavas 🖖

Apila doce quintas puras, cada una con una razón de frecuencias de 3:2, y deberías volver a la nota de partida, siete octavas más arriba. No ocurre. (3/2)¹² = 129,7463 mientras que siete octavas son 2⁷ = 128, así que la espiral falla la octava en un 1,4% — la coma pitagórica, 23,46 cents. No hay forma de afinar un teclado que mantenga a la vez todas las quintas puras y todas las octavas puras, porque 3 y 2 no comparten ninguna potencia común. El temperamento igual de doce tonos lo resuelve recortando 1,955 cents a cada quinta: las doce quedan ligeramente bajas y ninguna exacta. Cada piano que has oído está desafinado a propósito y de manera uniforme.

Cómo un número se convierte en acorde 🖖

Todo número entero se descompone en factores primos, sus bloques indivisibles. Esta herramienta convierte cada primo en un intervalo musical: 2 es una octava, 3 una quinta justa y 5 una tercera mayor. Así, el número 6 = 2 × 3 suena como una octava con una quinta encima, mientras que un primo como 7 produce un solo tono puro. Literalmente escuchas el esqueleto aritmético de un número.

Ritmos nacidos en un acelerador de partículas 🖖

Los patrones de pulsos uniformemente espaciados provienen del algoritmo de Bjorklund, ideado para sincronizar pulsos de neutrones en una fuente de neutrones por espalación de Los Álamos. En 2005 el informático Godfried Toussaint notó que sus resultados coinciden con ritmos folclóricos de todo el mundo; uno de los predeterminados, E(5,8), es el cinquillo cubano. Más extraño aún: el método es el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor, de más de 2000 años.

Problema resuelto al detalle

Una quinta justa con una diferencia de 1,96 cents en un piano 6 pasos
Una quinta justa es 3/2 en la afinación justa y 2^(7/12) en un piano. La diferencia es de 1,96 cents. Deduce por qué nadie ha podido solucionarlo de manera sencilla.
1. Dos definiciones de un mismo intervalo. Una es la razón de dos enteros pequeños, que es lo que hace que suene consonante; la otra es una raíz duodécima, que es lo que permite adaptarlo a un teclado.
  
  $just fifth = \frac{3}{2} = 1.500; equal fifth = 2^{7/12} = 1.4983$
2. Los cents sitúan a ambos en una escala logarítmica en la que una octava equivale a 1200 y los intervalos se suman. La quinta justa no tiene un número redondo de cents, mientras que la del temperamento igual sí, por construcción.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{3}{2} = 1200 (0.584963) = 702.0 cents; 1200 \cdot \frac{7}{12} = 700.0 cents$
3. La diferencia es pequeña: muy por debajo de los 5 cents que la mayoría de los oyentes perciben en un tono sostenido, motivo por el cual el temperamento igual resulta aceptable.
  
  $difference = 701.96 - 700.00 = 1.96 cents$
4. Acumulemos ahora doce de ellas y comparemos el resultado con siete octavas, que es donde deberían coincidir doce quintas.
  
  $(\frac{3}{2})^{12} = 129.746 against 2^{7} = 128$
5. La diferencia en cents es la coma pitagórica, y equivale aproximadamente a un cuarto de semitono: inconfundible.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{129.746}{128} = 23.46 cents$
6. Y es exactamente el pequeño error multiplicado por doce. Nada se pierde ni se gana en la acumulación; el temperamento igual se limita a dividir la coma entre doce y a pagarla una vez por quinta.
  
  $12 \times 1.955 = 23.46$
Respuesta

Porque doce de esas diferencias suman 23,46 cents, y ese es un intervalo real que se puede oír. Al encadenar doce quintas puras se llega a 129,746; al encadenar siete octavas se llega a 128. Ambas deberían ser la misma nota y difieren en un 1,4%: la coma pitagórica. No existe ninguna afinación que mantenga puras todas las quintas y cierre el círculo, porque 3/2 elevado a cualquier potencia entera nunca es una potencia de 2: las factorizaciones primas no pueden coincidir. Así pues, cualquier afinación para teclado consiste en decidir dónde colocar la coma: repartirla por igual entre las doce quintas, que es en lo que consiste el temperamento igual y cuesta 1,96 cents cada una, o esconderla en tonalidades que nadie toca, que es lo que hacían los temperamentos históricos y la razón por la cual la música escrita para ellos suena distinta en diferentes tonalidades.

$12 just fifths \neq = 7 octaves$

Referencias (1)

Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Naturales - Arpegio de números naturales: observa cómo se expande el mandala de factores primos.
Fibonacci - Secuencia ambient de Fibonacci: las notas se escalan hacia afuera siguiendo los valores de la espiral.
Polirritmia - Bucle de polirritmia: un ritmo euclidiano de 5 pulsos y otro de 7 pulsos sonando en paralelo.
Comparar Afinación - Comparación de afinación: compara la afinación justa (3:2) con el temperamento igual (2^(7/12)).