Polaarkõverad

Uuri polaarkõveraid: r kui nurga θ funktsioon.

Näidisarvutus — Polaarkõverad

Võrrand	1+cos(θ)
r(theta)	0.0000
A	4.7124
(x, y)	(-0.000, -0.000)
theta	3.142 rad (180.0 deg)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Paaritu k annab k õielehte, paaris k kaks korda rohkem 🖖

Rosett r = cos(kθ) ei koosne lihtsalt k õielehest, nagu võiks arvata. Paaritu k puhul küll: cos(3θ) joonistab 3 õielehte ja saab valmis poole pöördega — kui minna edasi kuni 2π-ni, siis kõver lihtsalt kordab juba joonistatud õielehti, sest negatiivsed r-väärtused langevad täpselt positiivsete peale. Paaris k puhul ei ole neid kuhugi peita, nii et need lisaringid saavad vahedesse uuteks õielehtedeks: cos(4θ) annab kokku 8. Just seepärast lõpevad selle tööriista kaks roseti eelseadet erinevas kohas: π kolme õielehe puhul ja terve 2π kaheksa puhul.

Kaugus ja suund, mitte vasak ja parem 🖖

Polaarkoordinaadid määravad punkti kahe igapäevase küsimusega: kui kaugel keskpunktist ja mis suunas? Seetõttu saavad loomuliku keskpunktiga kujundid — spiraalid, lillelaadsed roosid, orbiidid — siin lühikesed ja puhtad võrrandid, samas kui x-y-ruudustikus paisuvad need tülikateks valemiteks. Proovi spiraali eelseadet: r = θ/π tähendab lihtsalt „raadius kasvab pöördega ühtlaselt“, kuid Descartes'i variant on segapundar. Õppetund: vali koordinaadid, mis sobivad ülesande sümmeetriaga, ja matemaatika muutub lihtsamaks.

Spiraal, mida Bernoulli oma hauale soovis 🖖

Logaritmiline spiraal r = a·e^(bθ) võlus Jakob Bernoullit nii väga, et ta nimetas seda spira mirabilis — „imeline spiraal“ —, sest suurendamisel, pööramisel või peegeldamisel jääb see samaks kõveraks. Ta soovis sellist oma hauakivile koos motoga Eadem mutata resurgo („kuigi muudetud, tõusen taas samana“). Baseli kiviraidur raius aga hoopis Archimedese spiraali (r = aθ) — täiesti teistsuguse kõvera, ja viga on näha tänini.

POLAARKÕVERAD — MILLINE PERE SEE ON JA MITU KROONLEHTE?

Millise polaarkõvera juhtumiga on tegemist?

Polaarkujul otsustab kuju r-i valem ja see, kui kaugele θ peab jõudma, enne kui kõver sulgub. Roosid tulevad avaldisest cos nθ ja kroonlehtede arv sõltub sellest, kas n on paaritu või paaris. Kardioidid ja limassonid tulevad avaldisest a + b·cos θ ning suhe a/b otsustab, kas sees on lohk, teravik või silmus. Tundke vorm ära ja te teate juba pilti.

a = b — kardioid, üheainsa teravikuga alguspunktis a = b ⇒ r(π) = 0

cos nθ paaritu n-iga — n kroonlehte, joonistatud poole pöördega n = 2k+1 ⇒ # = n

cos nθ paaris n-iga — 2n kroonlehte ja täispööre on vajalik n = 2k ⇒ # = 2n

b > a — limasson sisemise silmusega b > a ⇒ ∃θ: r < 0

a = b — kardioid, üheainsa teravikuga alguspunktis

Mida te teate: r = a + b·cos θ, kus a ja b on võrdsed. Raadius langeb 2a-lt täpselt nullini, seega puudutab kõver alguspunkti üks kord ja moodustab seal teraviku.

Vorm: a = b ⇒ r(π) = 0

Näidisarvutus: r = 1 + cos θ: r = 2, kui θ = 0°, r = 1, kui θ = 90°, ja r = 0, kui θ = 180°. Ümbritsetud pindala on 3π/2 ≈ 4,712.

Ava see juhtum: Kardioid

a = b — kardioid, üheainsa teravikuga alguspunktis. Raadius kahaneb 180° juures nulliks ja kõver sulgub teravikus. r = a + b·cos θ, kus a ja b on võrdsed. Raadius langeb 2a-lt täpselt nullini, seega puudutab kõver alguspunkti üks kord ja moodustab seal teraviku. — Raadius kahaneb 180° juures nulliks ja kõver sulgub teravikus.

cos nθ paaritu n-iga — n kroonlehte, joonistatud poole pöördega

Mida te teate: Paaritu n annab täpselt n kroonlehte ja roos on valmis, kui θ on jõudnud nullist π-ni. Edasi 2π-ni minek joonistab samad kroonlehed üle.

Vorm: n = 2k+1 ⇒ # = n

Näidisarvutus: r = cos 3θ nullist π-ni: kolm kroonlehte, igaüks 60° ulatuses θ-d, esimene tsentreeritud θ = 0 ümber

Ava see juhtum: Roos (3)

cos nθ paaritu n-iga — n kroonlehte, joonistatud poole pöördega. Kolm kroonlehte, valmis poole pöördega; ülejäänud ring kordab neid. Paaritu n annab täpselt n kroonlehte ja roos on valmis, kui θ on jõudnud nullist π-ni. Edasi 2π-ni minek joonistab samad kroonlehed üle. — Kolm kroonlehte, valmis poole pöördega; ülejäänud ring kordab neid.

cos nθ paaris n-iga — 2n kroonlehte ja täispööre on vajalik

Mida te teate: Paaris n annab kaks korda rohkem kroonlehti, kui ootaksite, ja kõik need vajavad, et θ läbiks kogu vahemiku nullist 2π-ni.

Vorm: n = 2k ⇒ # = 2n

Näidisarvutus: r = cos 4θ nullist 2π-ni: kaheksa kroonlehte, igaüks 45° ulatuses θ-d

Ava see juhtum: Roos (8)

cos nθ paaris n-iga — 2n kroonlehte ja täispööre on vajalik. Kaheksa kroonlehte: neli positiivsest r-ist ja veel neli vahemikest, kus r läheb negatiivseks. Paaris n annab kaks korda rohkem kroonlehti, kui ootaksite, ja kõik need vajavad, et θ läbiks kogu vahemiku nullist 2π-ni. — Kaheksa kroonlehte: neli positiivsest r-ist ja veel neli vahemikest, kus r läheb negatiivseks.

b > a — limasson sisemise silmusega

Mida te teate: r = a + b·cos θ, kus b on suurem kui a. Raadius läheb osal pöördest negatiivseks ja just see lõik joonistab põhikõvera sisse silmuse.

Vorm: b > a ⇒ ∃θ: r < 0

Näidisarvutus: r = 1 + 2cos θ: r = 3, kui θ = 0°, ja r < 0, kui θ on 120° ja 240° vahel — see ongi sisemine silmus

Ava see juhtum: Limasson

b > a — limasson sisemise silmusega. Lõik, kus r on negatiivne, murdub alguspunktist tagasi ja moodustab sisemise silmuse. r = a + b·cos θ, kus b on suurem kui a. Raadius läheb osal pöördest negatiivseks ja just see lõik joonistab põhikõvera sisse silmuse. — Lõik, kus r on negatiivne, murdub alguspunktist tagasi ja moodustab sisemise silmuse.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kardioidi r = 1 + cos θ poolt piiratud pindala 4,7124 5 sammu
Kardioid r = 1 + cos θ piirab pindala 4,7124. Tuletage see ning võrrelge seda ringjoonega, millest see on konstrueeritud.
1. Pindala polaarkoordinaatides ei ole ∫y dx. Kitsas nurga dθ sektor on kolmnurk pindalaga ½r²dθ ning nende sektorite integreerimine annabki kogu valemi.
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ, r = 1 + cos θ$
2. Seega on integraalialune funktsioon raadiuse ruut, mis selle kõvera puhul avaneb kolmeks liikmeks.
  
  $(1 + cos θ)^{2} = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ$
3. Iga liige integreerub üle täispöörde ilma raskusteta. Keskmine liige kaob — koosinuse keskväärtus on null — ning viimases kasutatakse tuntud tulemust, et cos² keskväärtus on pool.
  
  $\int_{0}^{2 π} 1 = 2 π, \int_{0}^{2 π} 2 cos θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ = π$
4. Nende liitmisel saadakse 3π/2, mis on 4,7124.
  
  $A = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} = 4.7124$
5. Kõver puudutab alguspunkti täpselt ühe korra, kui θ = π, kus 1 + cos θ = 0. See on teravik ning just selle tõttu ei ole kardioid lihtsalt nihutatud ringjoon.
  
  $r (π) = 1 + cos π = 0 (the cusp), \frac{3 π /2}{π} = 1.5$
Vastus

Tööriist kuvab pindalaks 4,7124, kusjuures r = 0 kohal θ = 3,142. Võrdlus annabki tulemuse: ühikring piirab pindala π, seega mahutab kardioid täpselt 1,5 korda rohkem, vaatamata sellele, et see ulatub oma kõige laiemas kohas vaid väärtuseni r = 2 ning kitseneb teravikus nulli. Sektorimudel selgitab seda — pindala koguneb võrdeliselt ruuduga r², mistõttu laiem pool domineerib palju rohkem, kui selle laius laseb oletada. Vahetage kõver funktsiooni cos(3θ) vastu ja paneel kuvab väärtuse 1,5708 — mis on π/2, täpselt kaks korda rohkem kui kolmelehelise roosi tegelik pindala π/4. Integraal ei ole vale; rajad on. Paaritu arvu lehtedega roos joonestub täielikult välja, kui θ jõuab väärtuseni π, ning joonestatakse uuesti üle väärtuseni 2π, mistõttu loetakse sektorid kahekordselt. Seadke ülemiseks rajaks 3,14159 ja ilmub 0,7854. Pindala leidmine polaarkoordinaatides on see integraal, kus rajad on pigem mudelduslik otsus kui formaalsus.

$A = \frac{3 π}{2} = 4.7124 = 1.5 \times the unit circle; r (π) = 0$

Allikad (2)

Who first used these coordinates, and for what: J. L. Coolidge, "The Origin of Polar Coordinates." The American Mathematical Monthly 59(2), 78–85, 1952.
The logarithmic spiral in shells and horns — the reason polar form is worth the change of variable: D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Chapter XI: The Equiangular Spiral. Cambridge University Press, 1917.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Kardioid - r = 1+cos(θ) piirab täisringi jooksul pindala A = 4.7124 ehk 3π/2 — poolteist korda ühikringi
Roos (3) - cos(3θ) vajab θ-d ainult π-ni, et kõik kolm kroonlehte sulgeda, ja piirab pindala A = 0.7854 = π/4
Roos (8) - cos(4θ) joonistab kaheksa kroonlehte, mitte neli — paaris k kahekordistab need — ja vajab täit 2π, et anda A = 1.5708 = π/2
Limasson - r = 1+2cos(θ) muutub negatiivseks: θ = π juures näitab näit r = −1.0000 punktis (1.000, 0.000), ja just sellest tekib sisemine silmus