Parameetrilised kõverad

Parameetrilised võrrandid eraldavad y sõltuvuse x-ist, tuues sisse ajalise muutuja t. See võimaldab kaardistada keerulisi dünaamilisi radu, mis rikuksid standardsetes koordinaatides vertikaaljoone testi.

Selle asemel et küsida, milline y vastab igale x-ile, paneb parameetriline kõver käima kella t ja juhib pliiatsit kahe eraldi reegliga: x(t) määrab, kui kaugele paremale, ja y(t), kui kaugele üles liigutakse. Nähtav jälg on vaid pool lugu — liikuv punkt ja tema puutujavektor annavad ülejäänu: suuna ja kiiruse. Kuna noole pikkus on kiirus, saab sama kuju joonistada aeglaselt või kiirustades ja see näeb välja ühesugune, kuigi selle taga olev liikumine on täiesti erinev.

Pööra tsükloid x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) tagurpidi ja sellest saab tautokroon: hõõrdevaba kuul jõuab madalaimasse punkti täpselt sama aja jooksul, ükskõik kust sa ta lahti lased. Christiaan Huygens kasutas seda 1673. aastal, painutades pendelkellade juhikud tsükloidikujuliseks, nii et pendel näitas aega täpselt sõltumata kõikumise ulatusest. Üksainus parameetriline kõver kinkis kellassepatööle esimese amplituudist sõltumatu pendli.