Parameetrilised kõverad

Uuri parameetrilisi kõveraid: vaata jälgpunkti ja puutujavektorit, kui t muutub.

Näidisarvutus — Parameetrilised kõverad

t	3.1416
(x, y)	(-1.000, 0.000)
Kiirus \|dr/dt\|	2.000
dx/dt, dy/dt	(0.000, 2.000)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sedasama pilti saab joonistada väga erineva kiirusega 🖖

Parameetriline kõver kannab rohkem infot kui kuju, mille ta maha jätab. Võrdle (cos t, sin t) ja (cos 2t, sin 2t): mõlemad joonistavad täpselt sama ühikringjoone ja ükski joonis ei suudaks neid eristada — teine saab aga valmis poole ajaga. Lõputult palju parametriseeringuid annavad täpselt sama pildi. Just seepärast on kaare pikkus jälje omadus, samas kui kiirus ja suund kuuluvad ainult sellele ajakavale, mis jälje tekitas, ja just seepärast haarab füüsika parameetrite, mitte funktsioonigraafikute järele: planeedi orbiit on kuju, kuid tema liikumine mööda seda kuju on see, mis loeb.

Kaks reeglit juhivad üht pliiatsit 🖖

Selle asemel et küsida, milline y vastab igale x-ile, paneb parameetriline kõver käima kella t ja juhib pliiatsit kahe eraldi reegliga: x(t) määrab, kui kaugele paremale, ja y(t), kui kaugele üles liigutakse. Nähtav jälg on vaid pool lugu — liikuv punkt ja tema puutujavektor annavad ülejäänu: suuna ja kiiruse. Kuna noole pikkus on kiirus, saab sama kuju joonistada aeglaselt või kiirustades ja see näeb välja ühesugune, kuigi selle taga olev liikumine on täiesti erinev.

Kell, mis eirab oma kõikumist 🖖

Pööra tsükloid x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) tagurpidi ja sellest saab tautokroon: hõõrdevaba kuul jõuab madalaimasse punkti täpselt sama aja jooksul, ükskõik kust sa ta lahti lased. Christiaan Huygens kasutas seda 1673. aastal, painutades pendelkellade juhikud tsükloidikujuliseks, nii et pendel näitas aega täpselt sõltumata kõikumise ulatusest. Üksainus parameetriline kõver kinkis kellassepatööle esimese amplituudist sõltumatu pendli.

Ülesanne täielikult lahendatud

Lissajous' kõvera asukoht ja kiirus hetkel t = π 6 sammu
Lissajous' kõver x = cos 3t, y = sin 2t väärtusel t = π. Leia paneelile kuvatavad asukoht ja kiirus ning seejärel üks asi, mida see ei kuva: kui järsult kõver pöörab.
1. Kaks samast parameetrist sõltuvat funktsiooni. Nende diferentseerimine annabki kogu kiiruse ning liitfunktsiooni tuletise reegel annab tegurid 3 ja 2.
  
  $x (t) = cos 3 t, y (t) = sin 2 t; \overset{x}{˙} = - 3 sin 3 t, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 t$
2. Arvuta kõigepealt asukoht. Mõlemad trigonomeetrilised funktsioonid annavad täpsed väärtused, mistõttu ongi π hea valik.
  
  $t = π : x = cos 3 π = - 1, y = sin 2 π = 0$
3. Nüüd kiirus. Üks komponent muutub nulliks ja teine on oma maksimumis — liikumine on sel hetkel puhtalt vertikaalne.
  
  $\overset{x}{˙} = - 3 sin 3 π = 0, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 π = 2 ⟹ ∣ \dot{r} ∣ = 2.000$
4. See nulliminek pole aritmeetiline juhus: x on pöördepunktis ja kõver puudutab siin oma vasakpoolseimat äärmust.
  
  $\overset{x}{˙} = 0 with \overset{y}{˙} \neq = 0 : the curve is moving straight up, and x is at a turning point$
5. Kõverus vajab kummalgi veel ühte tuletist. Mõlemad on sama lihtsad kui esimene, mis ongi parameetrilise kuju eelis.
  
  $\overset{x}{¨} = - 9 cos 3 t = 9, \overset{y}{¨} = - 4 sin 2 t = 0$
6. Pane kokku standardne valem. Lugeja on vektorkorrutis ja nimetaja kiiruse kuup, mistõttu kiiresti läbitavad punktid näivad sirged, v.a juhul, kui need tõesti painduvad.
  
  $κ = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{∣0 - 18∣}{8} = 2.25 ⟹ ρ = \frac{1}{κ} = 0.444$
Vastus

Kõverusraadius 0,444 — kõver pöörab ringjoone sees, mille raadius on tunduvalt alla poole ühiku. Kiirus ja kõverus on sõltumatud ning see punkt teeb erinevuse nähtavaks: kiirus on 2, mis on suurim väärtus, mille kumbki komponent saavutab, samal ajal kui trajektoor paindub sama järsult kui kuskil mujal kujundil. Auto sõidab selles punktis kiiresti ja võtab kurvi teravalt, mis on täpselt see kombinatsioon, mis tekitab külgkoormust. Miski asukoha ega kiiruse näidus ei viita sellele, sest kõverus vajab teist tuletist, aga paneel piirdub esimesega. See ongi põhjus, miks parameetriline kuju on vaeva väärt: seosena x ja y vahel on see kõver kuuenda astme segadus, kuid t kahe funktsioonina on iga tuletis üherealine.

$(x, y) = (- 1, 0), ∣ \dot{r} ∣ = 2.000, κ = 2.25, ρ = 0.444$

Allikad (1)

Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-26

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Lissajous 3:2 - x = cos 3t, y = sin 2t on siinsetest eelseadistustest ainuke, mis kordagi ei peatu. Kiirus on 2,0000 kohal t = 3,142 ega lange kuskil nulli, sest dx/dt ja dy/dt ei ole sama t väärtuse juures kunagi korraga nullid. See hoiabki joone sujuvana seal, kus astroidil ja tsükloidil on teravikud.
Tsükloid - Punkt veereva ratta serval, kus eelseadistus satub teravikule: 0,0002 kohal t = 6,283. Maapinda puudutades jääb serv alati korraks seisma. Lohista t kaare tippu ja näed, et kiirus on ratta enda omast kaks korda suurem.
Astroid - x = cos³t, y = sin³t, seega on kiirus täpselt 1,5|sin 2t|. Väärtus on 0,0000 kohal t = 3,142, kus asub eelseadistus, ning kordub veel kolmes punktis. Need neli nulli ongi neli teravikku.
Liblikas - Polaarvõrrand r = e^cos t − 2cos 4t, joonestatud kujul x = r sin t, y = r cos t. Kiirus on 1,6321 kohal t = 3,142, kuid arvust olulisem on selle ulatus. Ühe tiiru jooksul muutub kiirus enam kui kolmteist korda. Seetõttu märkiv punkt visklebki.
Süda - Südamekõver, x = 16 sin³(t) — kohal t = π langeb kiirus 0,0002-ni, südame teravik
Epitsükloid - Kardioid, ühe teravikuga epitsükloid — kiirus tipneb 4,0000 juures kohal t = π, otse teraviku vastas
Deltoidilaadne hüpotrohoid - Deltoid — sama 2cos(t) ± cos(2t) pere nagu kardioid, üks märk ümber pööratud, ja tal on ühe asemel kolm teravikku
Archimedese spiraal - Archimedese spiraal — kiirus 6,3621 kohal t = 6,283 ja kasvab piiramatult, sest iga keerd on eelmisest pikem