Ümardamine: reeglid ja nende hind

Ümardamine näib aritmeetika ainsa osana, kus pole millegi üle vaielda. Vali aga arv ja vaata, kuidas kuus reeglit selle osas eriarvamusele jäävad. Seejärel ümarda sama arvu ühe sammu asemel kahes ja jälgi, kuidas vastus muutub.

Näidisarvutus — Ümardamine: reeglid ja nende hind

Ümardatud ühe sammuga	2
Ümardatud samm-sammult	3
Triiv veerus	+1000,00

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Paarisarvuni ümardamine pole täpsem reegel, see on kallutamata reegel 🖖

Täpselt keskel asuv väärtus on oma naabritest ühekaugusel, mistõttu ükski reegel ei saa olla õige. Küsimus on vaid selles, kumba pidi eksida. Koolireegel viib arvu alati ülespoole. Seda on lihtne õpetada ja kontrollida, kuid selle hinnaks on samasuunaline viga igal sammul. Täida veerg täpselt keskel asuvate väärtustega ja vali koolireegel. Summa on iga väärtuse kohta poole ühiku võrra tegelikkusest suurem. Näiteks 2 000 väärtuse puhul on see 1 000 võrra liiga suur ja 6 400 puhul 3 200 võrra. Seejuures puudub igasugune hajuvus, sest reeglis, mis iial ei muutu, pole midagi juhuslikku. Paarisarvuni ümardamine viib sellise arvu lähima paarisarvuni, seega 2,5 ümardatakse alla 2-ks, samas kui 3,5 läheb üles 4-ks. Juhuslike arvude veerus see suund vaheldub ja vead tühistavad üksteist kuhjumise asemel. IEEE 754 standard tegi sellest ujukomaarvutuste vaikereegli ja enamik raamatupidamisstandardeid nõuab just seda. Kumbki ei teinud seda reegli suurema täpsuse pärast. Üksikute arvude puhul on tulemus kohati isegi halvem. See on aga paljude arvude peale kallutamata, mis on hoopis teine omadus ja suurte andmehulkade puhul ainus, mis loeb.

Kahekordne ümardamine on ühekordsest ümardamisest erinev tehe 🖖

Ümardame arvu 2,45 täisarvuks. Komale järgnev osa on väiksem kui pool, seega on vastuseks 2. Teeme seda nüüd kahe sammuga. Ühe komakohani ümardades asub 2,45 täpselt keskel ja muutub 2,5-ks. Arvu 2,5 ümardamisel täisarvuks saame aga 3. Mõlemad sammud allusid reeglile, ometi on vastused 2 ja 3. Esimene ümardamine lõi tehisliku pooleks jagunemise olukorra. Algne väärtus asus turvaliselt allpool keskjoont, kuid pärast ühte sammu maandus see täpselt piirile, jättes teise sammu lihtsalt arvama. Vaata kõiki kahe komakohaga arve kuni väärtuseni 1 000 ja näed, et vahepeatus muudab vastust 5,00% juhtudest. See puudutab iga arvu, mille sajandikud on vahemikus 45 kuni 49, mis teeb 5 iga 100 kohta. Just seetõttu on valuutakonverteerimisel, maksude arvutamisel või ühikute teisendamisel alati täpsustatud, millal ümardamine toimub. Põhjus pole selles, et keegi aritmeetikas kahtleks. Lõpus ümardamine ja igal sammul ümardamine on lihtsalt kaks täiesti erinevat arvutust samas kuues.

Kallutatud viga kasvab võrdeliselt väärtuste arvuga, aus viga aga arvu ruutjuurega 🖖

Täida veerg täpselt keskel asuvate väärtustega ja muuda selle pikkust. Koolireegel joonistab sirgjoone, sest iga väärtus annab poole ühiku suuruse panuse samas suunas. Triiv on seega püsivalt pool väärtuste arvust, ilma igasuguse hajuvuseta. Paarisarvuni ümardamine joonistab seevastu midagi rändavat. See läheb veidi üles, tagasi alla, risti üle nulli ja teisest küljest välja. Mõõdetuna üle 2 000 erineva veeru on sellise rändamise tüüpiline suurus pool väärtuste arvu ruutjuurest. See tähendab saja väärtuse juures umbes 5, tuhande kuuesaja juures 20 ja kuue tuhande neljasaja juures 40. See on juhusliku ekslemise allkiri ja selles seisnebki kogu praktiline erinevus. Kuue tuhande neljasaja väärtuse juures eksib kallutatud reegel 3 200 võrra, samas kui aus reegel vaid umbes 40 võrra. Nende kahe suhe suureneb iga lisatud reaga, sest üks kasvab võrdeliselt väärtuste arvuga ja teine arvu ruutjuurega. Vali nüüd tavalised arvud ja sama asi juhtub üsna märkamatult. Täpselt keskel asuvaid arve on seal harva, vaid 11 igast 1 000-st. Suurem osa triivist tuleb tavalisest ümardamisest ning mõlemad keskkoha reeglid maanduvad umbes 8 ühiku kaugusel õigest väärtusest 98 351,63. Proovi seejärel samas veerus allapoole ümardamist ja tulemus on 486 võrra väiksem. Põhjus on selles, et allapoole ümardamine võtab midagi peaaegu igalt väärtuselt, mitte ainult nendelt, mis asuvad täpselt keskel.

Ülesanded täielikult lahendatud

1000 summa ümardamine lähima täisühikuni 98 351,63 tegeliku kogusummaga 7 sammu
Pood ümardab 1 000 rahasummat lähima täisühikuni ja liidab need kokku. Tegelik summa on 98 351,63. Arvuta välja, milline on ümardatud summa iga reegli puhul, ja otsusta, millist reeglit peaks pood kasutama.
1. Enne veeru analüüsimist tuleb reegel selgeks teha. Võtame arvu 2,5. Koolireegel saadab selle üles 3-ks. Paarisarvuni ümardamine annab tulemuseks 2, sest see on lähim paarisarv.
  
  $2.5 \to 3 2.5 \to 2$
2. Kontrolli, kas paarisarvuni ümardamine pigem vaheldub, mitte ei vii alati alla. Arv 3,5 muutub mõlema reegli puhul 4-ks, sest seekord asub paarisarvuline naaber üleval.
  
  $3.5 \to 4$
3. Nüüd aga veeru juurde. Kõigist 1 000 summast vaid 11 asuvad täpselt poole peal. Mõlemad reeglid on seega 989 väärtuse osas ühel meelel ja saavad erineda ülimalt 11 võrra. See teeb üks ühik iga keskkoha kohta.
  
  $11/1000 \Rightarrow ∣Δ∣ \leq 11$
4. Liidame ümardatud väärtused kokku. Koolireegel annab 98 360, mis on tegelikkusest 8,37 võrra suurem. Paarisarvuni ümardades saame 98 354 ehk 2,37 võrra suurema tulemuse. Nende vaheline 6 ühikut tuli just neist 11 keskkohale sattunud arvust.
  
  $98, 360 - 98, 351.63 = 8.37$
5. Suurem osa sellest triivist ei tulene aga keskel asuvatest arvudest. See on hoopis tavaline ümardamine, mis võib 1 000 tavalise väärtuse puhul minna üsna võrdselt kummaski suunas. Et näha selgelt reegleid, mitte taustamüra, muuda veerg selliseks, kus iga arv asub täpselt keskel. Koolireegel on siis 500 võrra liiga kõrgel ja paarisarvuni ümardamine on mööda vaid 6 ühikut.
6. Võrdluseks proovi algsel veerul allapoole ümardamist. Tulemuseks on 97 866, mis on 486 võrra väiksem. See reegel kärbib midagi pea igalt väärtuselt, mitte ainult täpselt poole peal asuvatelt. Seega ei vaja selle reegli triiv kuhjumiseks keskel asuvaid arve.
  
  $97, 866 - 98, 351.63 = - 485.63$
7. Millist reeglit kasutada, sõltub seega sellest, mida me kaitsta püüame. Üksiku kviitungi puhul sobib mis tahes keskkohareegel, sest erinevus ei ületa iial poole ühikut. Suures pearaamatus jätab aga ainult ilma eelistatud suunata reegel lõppsumma sinna, kust see algas.
  
  $E [ε] = 0 \Rightarrow D \sim n, E [ε] = \frac{1}{2} \Rightarrow D \sim \frac{n}{2}$
Vastus

Koolireegli järgi 98 360, paarisarvuni ümardades 98 354 ning allapoole ümardades 97 866, võrreldes tegeliku summaga 98 351,63. Pood peaks valima paarisarvuni ümardamise. Mitte seetõttu, et see oleks üksikute summade puhul täpsem (mõnikord on see isegi halvem), vaid seetõttu, et sellel veal puudub suund ja see ei kuhju. Koolireegel eksib aga iga ettejuhtuva keskkohaga alati poole ühiku võrra, ja seda eranditult ülespoole.
1,005 kahe komakohani ja keskkoht, mis ei ole keskkoht 7 sammu
Ümarda 1,005 kahe komakohani. Arvuta välja, mida masin päriselt hoiab, kui sa selle sisse trükid, ja otsusta seejärel, kas tabelarvutus, mis vastab 1,00, on eksinud.
1. Kümnendmurruna on see keskkoht: 1,005 seisab 1,00-st sama kaugel kui 1,01-st, seega saadab koolireegel ta ülespoole ja paneel trükib 1,01.
  
  $1.005 - 1.00 = 1.01 - 1.005 = 0.005$
2. Masin ei hoia kümnendmurdu. Ujukomaarv on kahe astmete summa, ja 0,005 on üks kahesajandik, mille nimetajas on 5², mida ükski kahe aste anda ei suuda. Kahendesitus ei lõpe kunagi.
  
  $0.005 = \frac{1}{200} = \frac{1}{2 ^{3} \times 5 ^{2}}$
3. Salvestatakse lähim ujukomaarv, ja see asub 1,005-st allpool umbes 1,07 × 10⁻¹⁶ võrra. Täpselt võrreldes ei ole see üldse keskkoht, ja koolireegel saadaks ta alla 1,00 peale.
  
  $1.005 ⟶ 1.00499999999999989341858963598497 \dots Δ = 1.07 \times 1 0^{- 16}$
4. Vahe muutub nähtavaks hetkel, mil väärtust võrdlemiseks skaleeritakse. 1,005 × 100 on 100,49999999999999, mille murdosa jääb poolest puudu 1,42 × 10⁻¹⁴ võrra.
  
  $1.005 \times 100 = 100.49999999999999, 0.5 - 0.49999999999998579 = 1.42 \times 1 0^{- 14}$
5. Just seepärast siinne ümardamine napsatab. Kõike, mis on poolest 8 masinasammu kaugusel, käsitletakse poolena, ja selles suurusjärgus on see aken 1,79 × 10⁻¹³, üle kümne korra laiem kui vahe. Paneel vastab küsimusele, mille sina esitasid kümnendmurru kohta, mitte sellele, mille esitas kahendkuju.
  
  $1.42 \times 1 0^{- 14} < 8 ε ∣100.5∣ = 1.79 \times 1 0^{- 13}$
6. Tolerants ei ole tasuta, ja veerg näitab, mis ta maksab. Tuhat väärtust, mis lõpevad .005-ga, igaüks pool sajandikku ülespoole lükatud, viivad kogusumma tõest 5,00 võrra kõrgemale. Paarisarvuni ümardamine jagab samad keskkohad ära ja tuleb sisse 0,07-ga.
  
  $1, 000 \times \frac{1}{2} \times 0.01 = 5.00 against 0.07$
7. Kaks ülejäänud eelseadistust on teist laadi. 2,5-l ja 12,5-l on täpne kahendkuju, seega on nad keskkohad ka masina sees, mitte ainult paberil, ja mingit tolerantsi siin ei kasutata. „Täpselt pooleks“ on selle kümnendmurru omadus, mille sa sisse trükkisid, ja masinasse jääb see alles ainult nende poolte puhul, mis päriselt on pooled.
  
  $2.5 = \frac{5}{2}, 12.5 = \frac{25}{2}, 0.25 = \frac{1}{4}$
Vastus

1,01, ja tabelarvutus, mis vastab 1,00, on selle arvu kohta, mida ta hoiab, õige ja selle kohta, mille sa sisse trükkisid, vale. Salvestatud väärtus on 1,005-st 1,07 × 10⁻¹⁶ võrra allpool, seega ei näe täpne võrdlus kunagi keskkohta, ja napsatus paneb vastuse tagasi sinna, kuhu lugeja teda ootab. Ükski ümardamisreegel ei paranda selle all olevat probleemi. Raha koht on täisarvulistes sentides või kümnendtüübis, kus 1,005 on 1,005 ja küsimus ei kerkigi.

$frac (100 x) - \frac{1}{2} < 8 ε ∣100 x ∣$

Õpitee

Kuidas arvu kirja panna

Allikad (2)

Why half-to-even is the default rather than the rule taught in school, and what else the standard fixes: IEEE, "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic." IEEE Std 754-2019, 2019.
The long-form explanation of why 1.005 is not stored as 1.005, and what follows from it: D. Goldberg, "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-26

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Täpselt poole peal - Arv 2,5 asub täpselt 2 ja 3 vahel ning reeglid lähevad lahku. Koolireegli järgi on vastus 3, paarisarvuni ümardades aga 2. Muuda väärtuseks 3,5 ja nad mõlemad annavad vastuseks 4, sest 4 on paarisarvuline naaber. Paarisarvuni ümardamine ei eelista allapoole ümardamist, see lihtsalt vaheldub.
Kahekordne ümardamine - Arvu 2,45 ümardamisel täisarvuks saame 2. Ümarda see esmalt ühe komakohani ja tulemuseks on 2,5. Arvu 2,5 ümardamisel täisarvuks saame aga 3. Kumbki samm ei rikkunud ühtegi reeglit, ometi on vastused erinevad.
Tundub nagu viga - Arvu 1,005 ümardamisel kahe komakohani peaks vastus olema 1,01. Küsi JavaScriptilt või Pythonilt ja mõlemad pakuvad 1,00. Põhjus on selles, et arvutid ei salvesta arvu 1,005 täpselt. See salvestatakse juuksekarva võrra väiksemana ning 1,005 korda 100 annab tulemuseks 100,49999999999999. See tööriist annab vastuseks 1,01 ja suudab seda vaid seetõttu, et otsib keskkohaga kokkulangevust teatud tolerantsiga, mitte ei nõua absoluutset võrdsust.
Pikk veerg - Veerus on 6 400 väärtust, millest igaüks asub täpselt poole peal. Koolireegel suunab nad kõik samas suunas, mistõttu summa maandub 3 200 võrra liiga kõrgel. Iga väärtus lisab poole ühiku võrra viga ilma ühegi erandita. Paarisarvuni ümardades on selle veeru kogueksimus täpselt 1.