Murdude liitmine ja see viga

Vali kaks murdu. Tööriist liidab need ühise nimetaja abil ja arvutab kõrvale lugejate ning nimetajate summa — klassikalise vea. Vaata, kuhu kumbki vastus arvteljel langeb.

Näidisarvutus — Murdude liitmine ja see viga

Ühine nimetaja	20
Summa	23/20
Lisatud murde	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Klassikaline viga on päris tehe ja see ei eksi kunagi 🖖

Liida 3/4 ja 2/5 valesti — lugejad kokku, nimetajad kokku — ja saad 5/9. See pole summa, mis on 23/20. Aga vaata, kuhu 5/9 satub: kohale 0,5556, 0,4 ja 0,75 vahele. Seda väärtust nimetatakse mediandiks ja see satub kahe murru vahele iga kord. Tõestus on üks lahutamine: mediant miinus a/b annab (bc − ad) jagatud b(b+d)-ga ja c/d miinus mediant annab sama (bc − ad) jagatud d(b+d)-ga. Mõlemal korral sama märk. Seega on mediant ühest murrust ülal täpselt siis, kui ta on teisest allpool, ja mujale kui vahemikku tal minna pole. Muuda numbreid nii palju kui tahad; ta jääb varjutatud ribasse.

Ühine nimetaja pole rituaal, vaid ühik 🖖

Kolme lammast ja nelja tundi ei saa liita. Pooled ja kolmandikud on samamoodi ühikud ning just seepärast pole 1/2 + 1/3 mitte 2/5 — tükid on eri suurusega ja nende loendamine ei tähenda midagi, kuni nad seda on. Kuuendikud on esimene suurus, milleks pool ja kolmandik mõlemad täpselt jagunevad, ja ühine nimetaja polegi enamat: 3/6 + 2/6 = 5/6. See ütleb ka, miks viga nii loomulik tundub. Lugejate ja nimetajate liitmine on ausalt loendamine — viis tükki üheksast —, aga see loeb kahe eri suurusega tükke ühesugusteks, nii et välja tuleb osakaal kogu hunnikust, mitte kogusumma.

Tee viga edasi ja saad iga murru, mis üldse olemas on 🖖

Vajuta Kogu vahemiku täitmine. Alusta 0-st ja 1-st, pane mediant nende vahele — see on 1/2 —, siis tee sama iga uue naaberpaari vahel, ja veel kord. Neli ringi annab 15 murdu. Ühtki neist ei saa taandada ja ükski ei esine kaks korda. Jätka ja iga murd 0 ja 1 vahel ilmub täpselt üks kord, taandatud kujul, omal kohal: see on Sterni-Brocot' puu, mille avaldas 1858 saksa arvuteoreetik ja 1861 prantsuse kellassepp, kes otsis hammasrataste ülekandearve. Achille Brocot vajas murdu, mis oleks lähedal suhtele, mida ta valmistada ei saanud, hammaste arvuga, mida tegelikult lõigata annab — ja puu annab selle kätte.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kas mediant on kahe murru vahel kõige lihtsam murd? Vahemikku satub ta alati. Kas midagi väiksema nimetajaga jõuab sinna enne, on teine küsimus, ja vastus on: mitte alati.
1. Alusta summast, korralikult tehtuna. Kakskümmend on esimene nimetaja, kuhu nii veerandid kui viiendikud mahuvad, nii et murdudest saavad viisteist kahekümnendikku ja kaheksa kahekümnendikku.
  
  $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$
2. Nüüd viga. Viis üheksandikku, ja paneel kinnitab: väärtus on vahemikus, nagu peabki.
  
  $\frac{3 + 2}{4 + 5} = \frac{5}{9} = 0.5556, \frac{2}{5} = 0.4 < \frac{5}{9} < 0.75 = \frac{3}{4}$
3. Miks peab. Lahuta mediant mõlemast otsast ja üleval seisab mõlemal korral sama suurus, bc − ad. Üks nimetaja on b(b+d), teine d(b+d), mõlemad positiivsed, seega on vahedel sama märk ja mediant surutakse murdude vahele.
  
  $\frac{a + c}{b + d} - \frac{a}{b} = \frac{b c - a d}{b ( b + d )}, \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d} = \frac{b c - a d}{d ( b + d )}$
4. Aga otsi midagi lihtsamat. Pool on samuti vahemikus, nimetajaga 2 mediandi 9 vastu. Selle paari jaoks pole mediant seega kõige lihtsam murd nende vahel, ja mitte napilt.
  
  $\frac{1}{2} = 0.5 \in (\frac{2}{5}, \frac{3}{4}), q = 2 < 9$
5. Otsustab suurus, mis on juba laual. Kolme veerandi ja kahe viiendiku jaoks on see seitse, mitte üks.
  
  $b c - a d = 4 \times 2 - 3 \times 5 = - 7, ∣ b c - a d ∣ = 7$
6. Võta paar, kus see on üks. Kolmandik ja pool: mediant on kaks viiendikku ja miski nimetajaga alla viie nende vahele ei jää. See ongi kogu tingimus.
  
  $\frac{1}{3}, \frac{1}{2} : b c - a d = 3 \times 1 - 1 \times 2 = 1, \frac{1 + 1}{3 + 2} = \frac{2}{5}$
Vastus

Mediant on kahe murru vahel kõige lihtsam murd täpselt siis, kui |bc − ad| = 1 — kui paar on Farey jadas naabrid. Läbi käidud kõik paarid nimetajatega kuni 25: kehtib kõigi 798 naaberpaari puhul ja ei kehti 111 992 juhul ülejäänud 119 636-st. Tööriist ei näita bc − ad kusagil, ja just see üks arv eristab juhtu, kus koolis tehtav viga on parim võimalik vastus, juhust, kus see on lihtsalt õige vastus.

$∣ b c - a d ∣ = 1 ⟺ \frac{a + c}{b + d} = q arg min {\frac{p}{q} \in (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})}$

Õpitee

Kuidas arvu kirja panna

Viib edasi Perioodilised kümnendmurrud

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-07

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

3/4 ja 2/5 - Summa on 23/20. Lugejate ja nimetajate liitmine annab 5/9 ehk 0,5556 — 2/5 ja 3/4 vahel, mitte neist kaugemal.
Pooled ja kolmandikud - Pool ja kolmandik on erinevad ühikud ning 6 on esimene, milles mõlemad kirja saab — seepärast annavad nad kokku 5/6. Mediant 2/5 on kõige lihtsam murd poole ja kolmandiku vahel.
Sama nimetaja - 1/5 ja 2/5 annavad 3/5. Siin on mediant 3/10 täpselt pool summast: võrdsete nimetajate korral liitmine hoopis keskmistab.
Kui see pole kõige lihtsam - 2/7 ja 3/7 annavad mediandi 5/14. See jääb nende vahele, nagu alati — aga see pole kõige lihtsam murd, mis sinna jääb, ja just seal ilus reegel lõpeb.
Kogu vahemiku täitmine - Alusta 0-st ja 1-st ning lisa mediante neli korda: tekib 15 murdu, iga üks juba taandatud kujul, ja ükski kaks korda.