Astendamisseadused ja miks a⁰ on 1

Vali alus ja kaks astendajat. Kolm astendamisseadust on lahendatud kõrvuti. Allpool asuv redel näitab, kust tulevad a⁰ ja a⁻ⁿ. Võid kirjutada nullastmele mõne muu arvu ning vaadata, kuidas redel seepeale oma kuju kaotab.

Näidisarvutus — Astendamisseadused ja miks a⁰ on 1

Aste 0	1
Aste −1	1/2
Sammud, mis jagavad alusega	6 / 6
Väärtused, mis hoiavad sammud võrdsena	1

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Keegi ei otsustanud, et a⁰ on 1 🖖

Vajuta Kujutle, et 2⁰ = 7. Arvu 2 astmed jooksevad veerus 8, 4, 2, mille järel on tühimik. Siis tulevad 1/2, 1/4, 1/8. Iga samm allapoole jagab arvu kahega. Pane tühimikku arv 7 ja korraga katkeb kaks sammu. Sissetulev samm jagab arvuga 2/7 ning sealt väljuv arvuga 14. Ainult üks arv hoiab kõik sammud ühesuurusena. Proovi ka teisi nuppe. Muuda aluseks 10 või hoopis 20. Tulemuseks on iga kord 1. Kui katsetada üheksat kandidaati kõigi kahekümne aluse peal, on tulemuseks alati üks ja sama võitja. Vaata nüüd tühimikust allapoole, kus sama jagamine jätkub: 1/2, seejärel 1/4, siis 1/8. Ühtegi teist reeglit sinna ei lisatud ja seda polnud ka tarvis. See ongi negatiivse astendaja kogu sisu.

Raamatus on kolm seadust, siin lehel üks mõte 🖖

Ülemine rida kirjutab 2³ × 2² tegurite kaudu lahti. See ongi kogu asja sisu, sest kolm 2 ja kaks 2 annavad kokku viis 2. Jagamine taandab neid, mitte ei kogu, mistõttu astendajad lahutatakse. Astme astendamine loendab kordamisi, mistõttu need korrutatakse. Kogu lugu muutub eriti kasulikuks aga siis, kui pilti enam joonistada ei saa. Muuda m ja n negatiivseks ning "a-de loendamine" kaotab igasuguse mõtte. Ometi kehtivad kõik kolm seadust endiselt. Need töötavad alustel 2 kuni 12 ja astendajatega −6 kuni 6. Nii juhtub kõigis 5229 olukorras, kus mõlemad pooled jäävad täpselt arvutatavaks. Loendamine põhjendab reeglit täisarvude puhul. Reegel ise ütleb meile aga seda, millised peavad paratamatult olema need juhud, mida me joonistada ei saa.

Ainus nurk, kuhu vältimatus ei ulatu 🖖

Vajuta Alus null. Kaks seadust kolmest jäävad kehtima: 0³ × 0² on 0⁵ ja (0³)² on 0⁶, kusjuures igaüks neist on 0. Jagamise rida ei anna aga üldse vastust. Tehe 0³ ÷ 0² nõuab nulliga jagamist (0 ÷ 0). See on esimene märk vastuolust, mis peatab allapoole suunduva redeli. Veerg langeb 0, 0, 0 ja jääb seisma. Iga eelnev samm oli jagamine, kuid siin tuleb jagada 0-ga. Seetõttu ei jõuagi a⁰ = 1 nõudev loogika selle astmeni. Sellesse nurka jõuavad kaks tõest reeglit täiesti erinevate vastustega. Võrdus a⁰ = 1 kehtib iga aluse korral peale 0. Samas 0ⁿ = 0 kehtib iga astendaja korral peale 0. Lähene nurgale piki üht telge ja xᵞ läheneb 1-le. Lähene piki teist telge ja tulemus läheneb 0-le. Piirväärtust seega ei leidu ning seda tähistav tekst jätab sümboli puutumata. JavaScript ja Python annavad mõlemad vastuseks 1, sest tühi korrutis on 1. Samuti eeldab binoomlause, et x = 0 korral on x⁰ = 1, muidu lakkab see töötamast. Keegi ei ole selles arutelus hooletu. Sellelt nurgalt oodatakse lihtsalt erinevate ülesannete täitmist.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mis on a½ ja kes otsustas? See tööriist tunnistab ainult täisarvulisi astendajaid. Reegel, mis a⁰ paika paneb, aga seal ei peatu. Uuri seega välja, mida peab pool selle nõudel tähendama.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alusta seadusest, mida tööriist oma kolmandas reas näitab, ja proovi seda nähtava juhu peal: astme astendamisel astendajad korrutatakse.
  
  $(a^{m})^{n} = a^{mn} ⟹ (3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$
2. Rakenda nüüd sedasama seadust astendajale pool, võttes välimiseks astmeks 2. Parem pool taandub kujule a¹, mis ongi a.
  
  $(a^{1/2})^{2} = a^{\frac{1}{2} \times 2} = a^{1} = a$
3. Loe, mida see endas kätkeb. a½ on arv, mille ruut on a. See ongi ruutjuure tähendus. Midagi uut ei defineeritud, reegel lihtsalt ei jätnud muuks võimalust.
  
  $a^{1/2} = a$
4. Sama võte paneb paika iga juure. Välimine aste 3 annab arvu, mille kuup on a.
  
  $(a^{1/3})^{3} = a^{1} = a ⟹ a^{1/3} = 3 a$
5. Nii lahenevad ilma lisareegliteta ka murdarvulised astmed. 16 astmes kolm kahendikku on kas ruutjuure kuup või kuubi ruutjuur. Seaduse kohaselt on need samaväärsed: nii 4³ kui ka √4096 annavad vastuseks 64.
  
  $1 6^{3/2} = (1 6^{1/2})^{3} = 4^{3} = 64, (1 6^{3})^{1/2} = 4096 = 64$
6. See ei takerdu algebras, vaid valikus, milline juur võtta. Arvul −8 on reaalne kuupjuur −2 ja lisaks kaks kompleksarvulist juurt. Küsi kolmelt masinalt ja saad kolm vastust: −2 reaalarvude traditsiooni järgi, NaN JavaScriptilt ning 1 + i√3 Pythonilt, mis kasutab hoopis juure peaväärtust.
  
  $(- 8)^{1/3} \in {- 2, 1 + i 3, 1 - i 3}$
Vastus

Sama seadus, mis nõuab võrdust a⁰ = 1, sunnib ka avaldise a^(1/q) olema q. juur. Täisarvude ja murdude vahel ei tehta ühtegi uut defineerimist. Seepärast järgivadki murdastendajad täpselt samu reegleid mida täisarvud. Valikuvabadus tekib vaid seal, kus otsustad, millist q. juurt mõelda olukorras, mil arvul on neid mitu. Sellest otsusest tulenebki kogu erimeelsus avaldise (−8)^(1/3) üle. Positiivsel alusel on üks positiivne juur ja igasugune vaidlus puudub. Just seepärast esitavadki õpikud murdastendaja reegli eeldusel a > 0 ning jätavad negatiivsed juhud kompleksarvude peatükki.

$a^{p / q} = q a^{p} = (q a)^{p} (a > 0)$

Allikad (2)

Where the two answers at 0⁰ come from, and why neither camp is careless: Donald E. Knuth, "Two Notes on Notation", The American Mathematical Monthly 99(5), 403–422, 1992. doi:10.2307/2325085
What the machines named in the same block actually do, measured rather than assumed: Measured in this repo: Node 22 gives Math.pow(0,0) = 1 and 0 ** 0 = 1; CPython gives 0 ** 0 = 1 and (-8) ** (1/3) = 1 + i√3, while JavaScript's Math.pow(-8, 1/3) is NaN. Asserted in scripts/check-compute.mjs.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.