Picki teoreem: pindala punktide loendamise kaudu

Aseta hulknurga nurgad ruudustiku punktidele, klõpsates või valides eelseadistuse. Leht loendab selle sees ja servadel olevad võrgupunktid, arvutab pindala nii nende arvude kui ka nurkade koordinaatide põhjal ja näitab, et need kaks klapivad. Joonise all olev tabel teeb ära loendamise ja aritmeetika.

Näidisarvutus — Picki teoreem: pindala punktide loendamise kaudu

Piirjoone punktid	8
Kahekordne pindala	112
Pindala Gaussi valemiga	56
Sisepunktid, ükshaaval loetud	53
Pindala Picki valemiga	56
Gaussi ja Picki võrdlus	võrdsed
Elementaarkolmnurgad (loendus)	112
Elementaarkolmnurgad joonisel	112

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Picki teoreem: pindala punktide loendamise kaudu

Võrehulknurk on lihthulknurk, mille nurgad langevad kokku täisarvuliste koordinaatidega ruudustiku punktidega. Picki teoreem ütleb, et selle pindala on A = I + B ÷ 2 − 1, kus I tähistab rangelt hulknurga sees ja B selle servadel, kaasa arvatud nurkades asuvate võrgupunktide arvu. Ühest võrgupunktist teiseni kulgev serv läbib gcd(|Δx|, |Δy|) võrgusammu, mistõttu on B nende sammude summa üle kõikide servade. h auguga hulknurga pindala on A = I + B ÷ 2 + h − 1, kus aukude servad arvestatakse samuti B sisse.

Mida iga sümbol tähendab

I: rangelt hulknurga sees asuvad võrgupunktid
B: selle servadel, sealhulgas nurkades asuvad võrgupunktid. Iga serv annab panuseks SÜT(|Δx|, |Δy|)
A: pindala ruudustiku ruutudes. Alati ½ kordne
h: aukude arv. Iga auk lisab valemisse ühe

Loenda punktid kokku ja pindala ongi käes 🖖

Vajuta nupule Neljaharuline täht. Hulknurga sees on 53 võrgupunkti ja selle servadel 8 ning pindala on 53 + 8 ÷ 2 − 1 = 56. Ka nurkade koordinaatidel põhinev Gaussi pindalavalem, mis punktide loendamisele ei toetu, annab tulemuseks 56. See on Picki teoreem, mille Georg Pick avaldas 1899. aastal: iga lihthulknurga ehk ilma lõikumiste ja aukudeta piirjoonega hulknurga puhul, mille nurgad asuvad võrgupunktides, on pindala I + B ÷ 2 − 1, kus I tähistab sisemiste punktide arvu ja B piirjoonel olevate punktide arvu. Lohista nurka ja mõlemad arvud muutuvad koos. Ei mingit joonlauda, kolmnurkade lahutamist ega ligikaudsust. Sellise hulknurga pindala panevad paika kaks täisarvu.

Iga tühja kolmnurga pindala on täpselt pool 🖖

Vajuta nupule Kitsas kolmnurk. See on 13 ühiku laiune ja näeb välja peaaegu nagu joon ning peale kolme nurga ei puutu see kokku ühegi võrgupunktiga. Selle pindala on täpselt ½. Igal sellisel võrekolmnurgal, mille sees ega peal pole teisi võrgupunkte, on just see pindala, ükskõik kui pikk või kitsas see ka ei oleks. Ja sellele kogu teoreem tuginebki: iga lihtsa võrehulknurga saab lõigata sellisteks kolmnurkadeks, täpsemalt on neid 2I + B − 2 ning iga augu kohta veel kaks lisaks. Vajuta nupule Neljaharuline täht, lülita sisse Näita elementaarkolmnurki ja loenda need kokku: 112 kolmnurka pindalaga ½, mis teeb kokku 56.

Kolmes mõõtmes neist kahest arvust ei piisa 🖖

Vajuta nupule Reeve, r = 5. Selle neli nurka on võrgupunktid ning ükski teine võrgupunkt ei asu selle sees ega peal, olenemata kõrgusest. Keha ruumala on kõrgus jagatud 6-ga: kõrguse 5 korral on see 5 ÷ 6. Tabelis on toodud kõrgused 1 kuni 10 koos kümne erineva ruumalaga, samas kui loendus jääb samaks – null punkti sees ja neli piirjoonel. Valem, mis suudaks neist kahest arvust ruumala teha, peaks seega andma ühest sisendist kümme erinevat vastust. John Reeve leidis selle keha 1957. aastal ja just sel põhjusel pole Picki teoreemil samaväärset kolmemõõtmelist versiooni.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ruudu pindala loendamise teel 5 sammu
Ruudu nurgad asuvad punktides (2, 2), (6, 2), (6, 6) ja (2, 6). Leia selle pindala Picki teoreemi abil võrgupunkte loendades, kontrolli seda Gaussi pindalavalemiga ja ütle, milliseks muutuvad need arvud, kui ruutu kahekordistada. Kontrollimiseks vajuta nupule Ruut.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Iga serv kulgeb piki võrgujoont 4 ühikut, seega on sellel SÜT(4, 0) = 4 sammu ja piirjoone punktide arv on:
  
  $B = 4 + 4 + 4 + 4 = 16$
2. Rangelt sees asuvad punktid moodustavad 3 korda 3 ploki:
  
  $I = 3 \cdot 3 = 9$
3. Picki teoreem:
  
  $A = I + \frac{B}{2} - 1 = 9 + 8 - 1 = 16$
4. Gaussi pindalavalem nurkade kaudu võrdluseks:
  
  $2 A = ∣ (4 - 12) + (36 - 12) + (36 - 12) + (4 - 12) ∣ = 32, A = 16$
5. Kahekordistatuna on ruut 8 korda 8, selle sees on 7 korda 7 punkti ja servadel 32:
  
  $I = 7 \cdot 7 = 49, B = 32, A = 49 + 16 - 1 = 64$
Vastus

Loendades on pindala 16 ja koordinaatide kaudu samuti 16. Kahekordistatuna on punktide arv sees 49 ja servadel 32 ning pindala on 64 ehk neli korda suurem. Piirjoone punktide arv vaid kahekordistus, seega pidi neljakordse pindala saavutamiseks sisemiste punktide arv kasvama kiiremini, 9-lt 49-le: kahekordistatud hulknurga sees on alati 4I + B − 3 punkti.

$A = 16, 2 \times : I = 49, B = 32, A = 64$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.