Graafikute teisendamine: nihked, venitused ja peegeldused

Vali lähtegraafik ja määra neli arvu valemis y = a·f(bx + c) + d. Leht joonistab lähtegraafiku heledalt ja uue kõvera tumedalt, tähistades noolega iga märgitud punkti liikumise uude asukohta, ning arvutab välja nihke, venitused ja iga punkti lõppasukoha.

Näidisarvutus — Graafikute teisendamine: nihked, venitused ja peegeldused

Horisontaalne nihe, kus sulgude sisu on null	3
Horisontaalse venituse tegur	1
Vertikaalse venituse tegur	1
Vertikaalne nihe	0
Kuhu haripunkt (0, 0) liigub	(3, 0)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Graafikute teisendamine: nihked, venitused ja peegeldused

Graafiku teisendamine liigutab kõiki selle punkte sama reegli alusel. Valemi y = a·f(bx + c) + d korral liigub funktsiooni y = f(x) punkt (p; q) asukohta ((p − c)/b, a·q + d). Kaks sulgudes asuvat arvu, b ja c, mõjutavad x-i enne funktsiooni f rakendumist ja nihutavad graafikut külgsuunas. Selle horisontaalne nihe on −c/b ning laiused korrutatakse teguriga 1/b. Kaks välimist arvu, a ja d, mõjutavad kõrgust pärast funktsiooni f rakendumist ning nihutavad graafikut üles ja alla.

Mida iga sümbol tähendab

a: vertikaalse venituse tegur; negatiivne a peegeldab graafikut ka x-telje suhtes
b: sulgudes x-i korrutav arv; laiused korrutatakse teguriga 1/b ja negatiivne b peegeldab graafikut ka y-telje suhtes
c: sulgudes avaldisele bx liidetav arv
d: vertikaalne nihe
h: horisontaalne nihe, −c/b, ehk x-i väärtus, mille korral on sulgude sisu null

Eeldab: Valemit loetakse selles esitatud järjekorras. Kõigepealt arvutatakse bx + c, seejärel rakendatakse f, siis korrutatakse a-ga ja viimasena liidetakse d. Teistpidi kirjutatuna, a·(f(bx + c) + d), tõstetakse kõverat a·d võrra, mitte d võrra.
Ei kehti, kui: Need neli arvu suudavad graafikut vaid nihutada, venitada ja peegeldada mõlemas suunas, ei midagi muud. Nad ei saa seda pöörata. Parabool, mis on pööratud mis tahes nurga all, mis on väiksem kui poolpööre, ei ole enam üldse x-i funktsiooni graafik. Piisavalt kaugel lõikaks vertikaalne sirge seda kahes punktis.

Miinusmärk sulgudes nihutab graafikut paremale 🖖

Vajuta valikule (x − 3)². Kõik nooled näitavad paremale ning haripunkt liigub asukohta (3; 0). Kui Rina Zazkis ja kaks tema kolleegi küsisid 2003. aastal selle sama parabooli kohta kooliõpilastelt ja õpetajatelt, tundus paremale nihkumine enamikule neist vastupidisena oodatule. Uus kõver võtab kohal x selle väärtuse, mis oli funktsioonil x² kohal x − 3. Seega saavutab see parabooli madalaima väärtuse alles siis, kui x − 3 = 0 ehk kohal x = 3. See on justkui vana graafik, mis jõuab kohale kolm ühikut hiljem. Kõik, mida tehakse x-iga sulgude sees, toimub enne, kui funktsioon f seda näeb. Graafik peegeldab selle tehte tühistamist. Lahuta 3 ja graafik nihkub 3 ühikut teises suunas. Korruta arvuga 2, nagu avaldises sin 2x, ja graafik jõuab kohale poole varem. Iga laius väheneb seetõttu poole võrra ning siinuse punkt kohal 2π (6,2832) asub nüüd kohal 3,1416. Kaks välimist arvu, a ja d, mõjutavad kõrgust alles pärast funktsiooni f rakendumist ja teevad täpselt seda, mida eeskiri ütleb.

Arv 6 valemis √(2x − 6) ei ole nihe 🖖

Vajuta valikule 2√(2x − 6) + 1. Kõver algab kohast x = 3. Ruutjuur algab sealt, kus juurealune on null. Avaldis 2x − 6 on null kohal 3, mitte 6. Tegurda esmalt sulgude sisu: 2x − 6 = 2(x − 3), ja nihe on sulgudesse jääv arv. Tulemuste tabeli esimene rida teeb just seda, arvutades −c/b = −(−6)/2. Neid liikumisi saab valemist õigesti välja lugeda kahel viisil. Esimene viis: nihuta graafikut 6 võrra paremale ning seejärel suru see y-telje suunas poole kitsamaks, mis tõmbab alguspunkti 6 juurest 3 peale. Teine viis: suru esmalt kokku ja nihuta seejärel 3 võrra. Vale tulemuse annab aga lähenemine, kus arvud võetakse kirjapildiga samas järjekorras, tehes esmalt kokkusurumise ja nihutades siis 6 võrra.

(2x)² ja 4x² on sama kõver 🖖

Vajuta valikule (2x)². Graafik kujutab endast poole kitsamaks surutud parabooli. Tulemuste tabeli viimane rida esitab selle kujul 4x², mis vastab neljakordseks venitatud kõrgusega paraboolile. Tegemist on ühe ja sama kõveraga, sest (2x)² = 2²·x². Tingimusel b > 0 kehtib samasus (bx)ⁿ = bⁿxⁿ iga astme puhul. Seega saab funktsioonide x², |x|, x³, √x ja 1/x korral asendada mistahes horisontaalse venituse vertikaalsega. Graafikule ei jää mingit märki sellest, kumba teisendust kasutati. Eksponentsiaalfunktsiooni korral saab asendada teistsugust liigutust. 2ˣ⁺³ on 3 ühikut vasakule nihutatud 2ˣ ning ühtlasi on see 8·2ˣ, sest 2ˣ⁺³ = 2³·2ˣ. Siinus on sellel lehel ainus lähtegraafik, mis ei luba kumbagi asendust. Selle kokkusurumine või nihutamine millegi muu kui π kordse võrra muudab nullkohtade asukohta, kuid vertikaalne venitus jätab kõik nullkohad paigale.

Ülesanne täielikult lahendatud

Graafiku √x teisendamine nii, et see algab asukohast (3; 1) ja läbib punkti (5; 5) 4 sammu
Leia a, b, c ja d nii, et y = a√(bx + c) + d algab asukohast (3; 1) ja läbib punkti (5; 5). Seejärel ütle, mitu vastust leidub. Vajuta valikule 2√(2x − 6) + 1, et kontrollida neist ühte.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Ruutjuur algab sealt, kus juurealune on null, ning kõrgus on selles punktis d. Juurealune avaldis peab muutuma nulliks kohal x = 3. See fikseerib c väärtuseks −3b ja alguspunkti kõrgus määrab d väärtuseks 1.
  
  $b x + c = 0 at x = 3 \Rightarrow c = - 3 b, d = 1$
2. Nüüd vaatame teist punkti. Kohal x = 5 on juurealune avaldis 5b − 3b = 2b, mis annab tingimuseks a√(2b) + 1 = 5. Tegemist on ühe võrrandiga, milles on kaks tundmatut.
  
  $a 5 b - 3 b + 1 = 5 \Rightarrow a 2 b = 4$
3. Kui valida b = 2, annab võrrand a = 2 ja c = −6, mis vastabki valmiskujule. Kui valida b = 1, on tulemuseks a = 4/√2 = 2,8284 ja c = −3. See on sama kõver, mille kuvab eelseadistuse jaoks tulemuste tabeli viimane rida.
  
  $b = 2 : a = \frac{4}{2} = 2, c = - 6 b = 1 : a = \frac{4}{2} = 2.8284, c = - 3$
4. Need klapivad, sest √(bx − 3b) = √b·√(x − 3). Seega saab iga selle pere kõvera kirjutada kujul a√b·√(x − 3) + 1, kusjuures teine punkt määrab ainult korrutise a√b, andes selleks väärtuse 2√2.
  
  $a b x - 3 b = a b x - 3, a b = 22 = 2.8284$
Vastus

Lõpmatul hulgal nelja arvu komplekte ja täpselt üks kõver. Sobib iga b > 0, kui a = 2√2/√b, c = −3b ja d = 1. Kui võtta b = 8, on a = 1 ja y = √(8x − 24) + 1. See läbib punkti (5; 5), sest √16 = 4. Küsimusel "leia a ja b" puudub ühene vastus. Küsimusel "leia kõver" on aga vaid üks vastus: 2,8284√(x − 3) + 1.

$b = 8 : a = 1, y = 8 x - 24 + 1, 8 \cdot 5 - 24 + 1 = 4 + 1 = 5$

Allikad (2)

The standard statement of the four moves, including the order the page's claim 2 turns on: in f(bx − h), shift by h first and then stretch by 1/b; in f(b(x − h)), stretch first and then shift by h: Jay Abramson, "1.5 Transformation of Functions." Precalculus 2e, OpenStax, Houston, Texas, 2021. CC BY-NC-SA 4.0.
That the rightward shift of y = (x − 3)² is counterintuitive to most of the secondary students and teachers asked about it, the observation insight 1 quotes: R. Zazkis, P. Liljedahl and K. Gadowsky, "Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting." The Journal of Mathematical Behavior 22(4), 2003, pp. 435-448. DOI 10.1016/j.jmathb.2003.09.003

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.