レッスン
理論 — 年金の将来価値
ここでの年金とは、一定の間隔で同額を積み立てる連続的な預金のことであり、その将来価値とは、運用期間終了時のその積立全体の価値を意味します。すなわち、各積立額に、それぞれの残存期間中に得られたすべての運用益を加算したものです。代数計算に入る前に1点注意があります。ほぼすべての人が誤解しがちな点ですが——以下の公式におけるrとnは、上の入力ボックスにある数値とは異なります。これらは1期間あたりの利率と期間数です。
各記号の意味
d- 毎期支払われる積立額。定数：この公式は途中で金額が変化する支払いには対応していません。
r- 1期間あたりの利率。これこそが最も間違いやすいポイントです。上のボックスでは年利7%を入力しますが、公式で使用するのは
0.0058333です——これは積立てが月次で行われるため、0.07 / 12を計算した値です。 n- 年数ではなく期間数。毎月積み立てる30年間の場合は
n = 360となり、これが上の計算過程で代入されている数値です。
公式の導き方
- 各積立額が運用される期間の長さに従って順に並べます。最初の積立額には
n − 1期の運用期間が残っており、最後の積立額には運用期間が残っていません。したがって、合計はd·(1+r)n−1 + d·(1+r)n−2 + ⋯ + dとなります。 - これは等比数列の和です。各項は、隣の項に
(1+r)を掛けたものになっています。その和の公式（閉形式）は、この学習パスの最初のステップである数列&級数のステップ5で導出されています。初項d、公比(1+r)、項数nの和はd·((1+r)n − 1) / ((1+r) − 1)となります。この公式になじみがない場合は、まずそちらを参照してから戻ってきてください。 - 分母の
(1+r) − 1は単にrとなるため、FV = d·((1+r)n − 1) / r——上に表示されている公式が導かれます。1期間あたりの数値を代入すると500·((1+0.0058333)360 − 1) / 0.0058333 = 6.1 × 10⁵となり、360回の個別の積立が1行にまとめられます。
- 前提
- 一定の利率と一定の積立額を前提とし、すべての積立が各期間の終わりに行われ、まったく同じ頻度で複利運用されると仮定しています。実際の運用利回りは一定ではなく、毎月払い込みながら毎日複利計算されるファンドには、この公式は適用できません。
- 成り立たない場合
- ここではインフレ調整が一切行われていないため、
6.1 × 10⁵という数値は現在の購買力ではなく、最終年の貨幣価値に基づいています。また、一度も積立を欠かさず、引き出しも行わないことを前提としています。利率をゼロにするケースも試してみる価値があります。表示される計算過程と解の挙動が食い違うからです。利率を0に設定すると、計算過程には分母がゼロであるFV = 500·((1+0)³⁶⁰ − 1) / 0が出力されます——それにもかかわらず、結果は正しく1.8 × 10⁵となります。なぜなら、rが0に近づくにつれて分数全体の値はnに近づき、最終的に正確にd × nだけが残るからです。
練習
自分で確かめる
まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。
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初期設定は年利7%で30年間、毎月500の積立 — 年間では6,000です。年間積立回数を
1に、1期あたりの積立額を6000にしてください。同じ金額を、年1回まとめて入れる形です。将来価値がどうなるか予想してみましょう。答えを表示
6.1 × 10⁵から5.668 × 10⁵へ下がります。積立総額は1.8 × 10⁵のまま変わりません。下の行がその差額を示しています。増加分は429,985に対して386,765、つまり入金の時期だけで約43,000の違いです。1月に入れたお金は12月に入れたお金より11か月長く複利で回ります。それを30回繰り返した結果です。 -
同じ実験で、今度は逆転点 — 増加分が積立総額を追い越す年 — に注目してください。年1回
6000、次に500を12回、次に16.438356を毎日、と試してみましょう。逆転点はどう動くと思いますか。答えを表示
動きません。3通りとも11年目です。頻度が変えるのは到達点のほうで、年1回なら5.668 × 10⁵、毎月なら6.1 × 10⁵、毎日なら6.141 × 10⁵になります。しかし逆転点は、指数的に増える量と直線的に増える量との競走です。入金を数週間早めたところで、追い越す時期はほとんど変わりません。最後の一歩がいかに割に合わないかも見てください。毎月から毎日への変更で増えるのは約4,000、年1回から毎月への変更では43,000でした。
全プロセスの詳細解説
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7%で30年間の月額500の将来価値 6 ステップ
月々500を30年間、7%で運用する。スプレッドシートからではなく数列から将来価値を導出し、それが実際にどれだけの価値を持つかを算出せよ。
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各積立金は、残された期間に応じて複利計算される個別の元本である。これらを足し合わせることは公比 (1+i) の等比数列となり、その閉形式は退職金の算術全体において唯一の公式である。
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何よりも先に、運用周期に変換する。利率と期間の回数はともに月単位であり、年利と月数を混同するのは、12倍の誤差を生む典型的な間違いである。
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代入します。効いてくるのはここです。分子はこの期間に8.1倍となり、さらに小さなiで割ることで値がいっそう大きくなります。
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拠出額は単純に積立金×回数である。それを超える部分はすべて複利によるものであり、ここでは全体の70%を占めている — 口座は積立者が払い込んだ金額以上の利益を生み出している。
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各積立金の影響力は均等ではない。最初の積立金には成長するための359か月があるが、最後の積立金にはそれがない。
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最後に、インフレ調整を行う。資産額は名目であり、積立金も名目で固定されていたため、誠実な問いとは、609,985で30年後に何が買えるかということである。
解答
名目で609,985 — そして現在の価値で約291,000。2.5%のインフレ率は30年間で資産額を2.10で割ることになり、払込額180,000に対する430,000の利益は、実質約111,000の利益となる。パネル上の表示に間違いはない。単に2056年の通貨で答えているだけである。等比数列に隠されたもう一つの側面は、各積立金の影響力がいかに不均等であるかということである。最初の500は4,035となって到達し、最後の500は500のままであるため、最初の1年は最後の1年よりも8倍重要となる。10年早く始めることは、積立額を3分の1増やすことよりも効果的である。
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学習の道すじ
時間の経過とお金の価値
参考文献 (1)
- Rate per period versus quoted annual rate — the distinction the lesson opens with: R. J. Wilders, "Measuring Interest," in Financial Mathematics for Actuarial Science: The Theory of Interest, 19–66. Chapman and Hall/CRC, 2020.