単利 vs 複利

2つの利息モデルを並べて比較します。

計算例 — 単利 vs 複利

単利の価値	24000.00
複利の価値	40387.39
複利マイナス単利	16387.39

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 単利 vs 複利

単利は元本に対してのみ支払われるため、毎年同じ金額が加算されます — 直線的な伸びとなります。複利は獲得済みの利息を含む残高に対して支払われるため、毎年の利息額は前年より大きくなります。前者は線形成長、後者は指数関数的成長です。

各記号の意味

r: 年利率。ここでは 7% で、パーセンテージで入力し、計算では 0.07 として使用します。
n: 1年あたりの複利計算回数。12 です。これは複利の公式にのみ登場します — 単利にはこのような調整用パラメータが存在せず、これ自体が両者の違いを明確に示しています。

公式の導き方

単利が基準となる元本を再評価することはありません。t 年後には元本に t 回分の P·r が加わるため、A = P(1 + r·t) となります。初期設定では 10000 × (1 + 0.07 × 20) = 24,000 です。
複利は加算ではなく乗算を行います。各期ごとに残高に (1 + r/n) が掛けられ、t 年間ではそうした期が n·t 回存在します — したがって A = P(1 + r/n)^n·t となります。
n = 12、t = 20 の場合、乗算は 240 回行われ、40,387.39 となります。両者の差額である 16,387.39 は、単利による利益全体の 14,000 よりも大きくなります — 利息が生む利息が、元本から生じる利息を上回ったのです。

前提: 金利が一定であり、開始後の入出金がなく、税金や手数料も考慮されていないことを前提としています。すべて名目値であり、インフレ調整は行われていません。
成り立たない場合: 期間を1年に設定すると、両者はほぼ等しくなります — 複利の優位性は利率ではなく期間の長さによって発揮されるからです。また、この比較は構成上やや不公平です。ここでの単利は複利計算を行わないのに対し、比較対象の複利は毎月計算されるため、差額の一部は原理の違いではなく計算頻度の違いによるものです。1年あたりの複利計算回数を 1 に設定すると、より条件を揃えた比較における差額は小さくなります。

複利の頻度スライダーは、ほぼ即座に伸びしろを失う 🖖

複利の回数を増やすことは常に得ですが、効き方はどんどん小さくなり、その打ち止めの位置をツールの頻度スライダー自身が示します。長期プリセット（10,000 を年 7 % で 20 年）を見てください。年 1 回の複利なら 38,696.84 で終わります。月 1 回に変えると 1,690.54 増えます。月 1 回から毎日に変えると 159.17 増えます。毎日から無限回に変えると 5.44 増えます。スライダーは 365 まで動きますが、価値のある取り分は 12 回あたりでほぼ取り切っています。数列全体が固い上限に収束しているからです。その上限が Pe^rt = 40,552.00 です。ここでの e はそこから来ます。底として選んだものではなく、刻みを細かくしていった先でぶつかる限界です。

利息が利息を生む 🖖

単利は毎年、最初の元金だけを基準にした一定額を支払うため、合計は直線的に増えます。複利はすでに得た利息にも利息を付けるので、毎年の増加分が少しずつ大きくなり、曲線は上へ反り返ります。年1回の複利では両者は1年目のあとで一致しますが、その後に開いていく差はすべて、過去の利息があなたのために稼いだお金です。

西暦0年の1ペニー 🖖

1772年、保険数理士リチャード・プライスは、西暦の初めに年5%の単利で貸した1ペニーは、約1,800年後でもわずか7シリング — 1ポンドにも満たない — にしかならないと計算しました。同じ1ペニーを年5%の複利にすると、太陽系全体に収まりきらないほどの金の価値になります。同じ硬貨、同じ利率。違いは、利息が利息を生むことを許すかどうかだけです。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

初期設定のまま — 10,000を年利7%、月複利です。複利の価値が20,000に届くまで何年かかるか当ててから、年数の欄で実際に探してみましょう。

答えを表示

9.93年をわずかに超えたあたりです。ちょうど9.93年のとき複利の行は19998.67、あと一歩というところ。「72の法則」の予想は72 / 7 = 10.3年ですが、10.3年ではすでに20521.85に達しています。この法則は利息が年1回加算される前提でできており、このページは年12回加算するので、倍増が早く訪れるのです。複利の頻度は利率を変えません — 待ち時間を縮めるだけです。
年利7%の月複利で20年運用すると、10,000は40387.39になります。同じ20年で同じ金額に届くには、単利なら何%必要でしょうか。利率の欄を動かして単利の行を読んでください。

答えを表示

およそ15.19%です。そこで単利の行は40380.00を示し、15.2%まで上げると40400.00になります。7%でも20年間それ自身に利息を生ませれば、元本だけにかかるその倍以上の利率に匹敵するわけです。ただし2つの行を比べられるのは、あなたが止めた利率のときだけです。そこでは複利のほうは205099.01まで走り去っています。

全プロセスの詳細解説

月次複利7%で20年間の10,000 5 ステップ
10 000を年利7%、20年間運用する。両方の利息計算方式を計算し、「72の法則」の由来を導出せよ。複利計算は月単位とする。
1. 単利は元金に対してのみ利息が支払われるため、残高は直線的に増加する。7%で20年間運用しても140%が増加するだけであり、それ以上にはならない。
  
  $simple = P (1 + r t) = 10000 (1 + 0.07 \times 20) = 24000$
2. 複利は過去に支払われた利息を含む残高に対して支払われる。これにより成長は指数関数的となり、その指数は年数ではなく期数を数える。20年間にわたる月次複利では、その期数は240期となる。
  
  $compound = P (1 + \frac{r}{m})^{m t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{240}$
3. これを評価する。上の比較表示にはこの両方が出力されており、後者が前者より40%大きいのは偶然ではない。
  
  $= 10000 \times (1.0058 \overline{3})^{240} = 40 387.39$
4. その差額は利息自体が生み出した利息である。20年間で、それは当初の投資全額を超える。
  
  $gap = 40 387.39 - 24000 = 16 387.39$
5. 次に、誰もが引用するショートカット（簡易法則）を導出する。2倍になるということは成長因子が2に達することを意味するため、対数をとる。
  
  $t_{2} = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r / m ) m} = \frac{0.6931}{0.06976} = 9.93 yr (rule of 72 : \frac{72}{7} = 10.3)$
解答

24 000に対し40 387.39 — その差額は16 387.39であり、元金を上回る。倍加時間は9.93年となり、72の法則では10.3となる。この法則は単に ln 2 ≈ 0.693 を69.3と書き換え、72が2、3、4、6、8、9、12で割り切れやすいため72へと繰り上げたものにすぎない。これは対数を背景に隠した暗算上の便宜手段であり、5%から10%の金利範囲において約1%の精度を保つ。

$compound - simple = 16 387.39 t_{double} \approx \frac{72}{r %}$

学習の道すじ

時間の経過とお金の価値

この次に年金の終価成長因子 (1 + r) と、それを1期間ごとに掛けていく考え方。年金の計算では、それぞれの預金に対して満期までの残存期間に応じた乗算をまさにこの方法で行います。

参考文献 (1)

On compounding conventions and why the frequency has to be stated with the rate: C. Attwood, "Compound Interest Functions," in Compound Interest Functions, 1–165. Pergamon, 1967.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

短期間 - 短期間では、単利と複利の結果はあまり差が出ない。
長期間 - 長期間になると、複利による差が顕著になる。
高金利 - 高い金利と長い期間が重なると、複利の優位性はさらに大きくなる。