素数の篩とウラムの螺旋

素数の正確な分布は、リーマンのゼータ関数 ζ(s) の零点によって支配されています。既知の10¹³個の非自明な零点はすべて、臨界線 Re(s) = 1/2 上にあります。これをすべての零点について証明できれば、素数計数関数に対する最も鋭い評価が得られ、ミレニアム懸賞問題として100万ドルの賞金を獲得できます。2025年時点では未証明です。

エラトステネスの篩は、各数を個別に判定するのではなく、消去によって素数を見つけます。2から始めてその倍数をすべて消し、次に残った数へ進んで繰り返すと、一度も消されなかった数が素数です。巧妙なコツは、n までのすべての数をふるうには、√n 以下の素数の倍数だけを消せばよいという点です。だから100未満をふるうには、2、3、5、7の倍数を消すだけで十分です。

1963年、数学者スタニスワフ・ウラムは講演中の退屈しのぎに整数を正方形の螺旋に書き並べ、素数に印を付けたところ、驚くほど明瞭な対角線の筋が現れました。これらの対角線は、オイラーの n² + n + 41 のような素数の多い二次式に沿っており、この式は n が0から39までのすべてで素数を生みます。なぜ特定の対角線がこれほど密になるのかは、今なお完全には解明されていません。