分数の足し算と、その間違い

二つの分数を決めてください。ツールは通分して足すと同時に、分子と分母をそれぞれ足した値 — 例の間違い — も出します。どちらの答えが数直線のどこに来るかを見てください。

計算例 — 分数の足し算と、その間違い

共通分母	20
和	23/20
挿入された分数	0

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

あの定番の間違いは、実在する演算であり、外すことがない 🖖

3/4 と 2/5 を間違ったやり方で — 分子は分子、分母は分母で — 足すと 5/9 になります。和ではありません。和は 23/20 です。ですが 5/9 がどこに来るかを見てください。0.5556、つまり 0.4 と 0.75 のあいだです。この値は中間分数と呼ばれ、二つの分数のあいだに必ず落ちます。証明は引き算ひとつです。中間分数から a/b を引くと (bc − ad) を b(b+d) で割った形になり、c/d から中間分数を引くと同じ (bc − ad) を d(b+d) で割った形になります。どちらも符号が同じです。つまり中間分数は、一方の分数より上にあるときにかぎって他方より下にあり、隙間以外に行き場がありません。数を好きに動かしてみてください。網かけの帯から出ることはありません。

共通分母は儀式ではなく、単位である 🖖

羊三頭と四時間は足せません。2分の1と3分の1も同じ意味で単位であり、だからこそ 1/2 + 1/3 は 2/5 になりません。切れ端の大きさが違ううちは、その個数に意味がないのです。6分の1は、2分の1と3分の1の両方をちょうど割り切れる最初の大きさで、共通分母とはそれだけのことです — 3/6 + 2/6 = 5/6。このことは、なぜあの間違いがあれほど自然に感じられるかも説明します。分子と分母を足すのは、確かに正直に数えているのです — 九つのうち五つ — が、大きさの違う切れ端を同じものとして数えているので、出てくるのは合計ではなく山全体に占める割合になります。

間違え続ければ、あらゆる分数が生まれる 🖖

隙間を埋め尽くすを押してください。0 と 1 から始めて、そのあいだに中間分数 — 1/2 です — を置き、次は新しく隣り合ったそれぞれの組のあいだに置き、また繰り返します。四回で 15 個の分数になります。どれ一つ約分できず、どれ一つ二度は現れません。続けていけば 0 と 1 のあいだのすべての分数が、既約のまま、それぞれの場所にちょうど一度ずつ姿を見せます。これがスターン・ブロコー木で、1858 年にドイツの数論家が、1861 年には歯車比を探していたフランスの時計職人が発表しました。アシル・ブロコーが必要としたのは、作れない比に近く、しかも実際に刻める歯数をもつ分数でした。この木はそれを差し出してくれます。

全プロセスの詳細解説

中間分数は、二つの分数のあいだで最も簡単な分数でしょうか。 隙間に入ることは必ずです。より小さい分母のものが先にそこへ届くかどうかは別の問いで、答えは「いつもではない」です。
1. まず和を、正しく求めます。20 は4分の1も5分の1も収まる最初の分母なので、二つの分数は20分の15と20分の8になります。
  
  $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$
2. 次に例の間違いです。9分の5となり、パネルもそれを裏づけます。値はあるべきとおり隙間の中にあります。
  
  $\frac{3 + 2}{4 + 5} = \frac{5}{9} = 0.5556, \frac{2}{5} = 0.4 < \frac{5}{9} < 0.75 = \frac{3}{4}$
3. なぜ必ずそうなるか。両端から中間分数を引くと、どちらの場合も分子に同じ量 bc − ad が現れます。分母は一方が b(b+d)、他方が d(b+d) で、ともに正です。したがって二つの差は同じ符号をもち、中間分数は二つの分数のあいだに挟み込まれます。
  
  $\frac{a + c}{b + d} - \frac{a}{b} = \frac{b c - a d}{b ( b + d )}, \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d} = \frac{b c - a d}{d ( b + d )}$
4. しかし、もっと簡単なものを探してみてください。2分の1も隙間の中にあり、その分母は 2、中間分数の 9 に対してです。この組では中間分数はあいだの最も簡単な分数ではなく、しかも僅差ですらありません。
  
  $\frac{1}{2} = 0.5 \in (\frac{2}{5}, \frac{3}{4}), q = 2 < 9$
5. それを決めるのは、すでに机の上にある量です。4分の3と5分の2では、それは 1 ではなく 7 です。
  
  $b c - a d = 4 \times 2 - 3 \times 5 = - 7, ∣ b c - a d ∣ = 7$
6. では 1 になる組を試します。3分の1と2分の1。中間分数は5分の2で、分母が 5 より小さいものはそのあいだに入りません。これが条件のすべてです。
  
  $\frac{1}{3}, \frac{1}{2} : b c - a d = 3 \times 1 - 1 \times 2 = 1, \frac{1 + 1}{3 + 2} = \frac{2}{5}$
解答

中間分数が二つの分数のあいだで最も簡単な分数になるのは、|bc − ad| = 1 のとき、つまりその組がファレイ数列で隣り合っているときにかぎります。分母 25 までのすべての組を調べると、隣り合う 798 組すべてで成り立ち、残る 119,636 組のうち 111,992 組で成り立ちません。ツールは bc − ad をどこにも表示しません。学校で叱られるあの間違いが最良の答えである場合と、単に正しいだけの場合とを分けているのは、この一つの数です。

$∣ b c - a d ∣ = 1 ⟺ \frac{a + c}{b + d} = q arg min {\frac{p}{q} \in (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})}$

学習の道すじ

数を書き下すということ

この次に循環小数二つの個数から組み上げられた正確な対象としての分数と、分子と分母を足すと実在の何かに——毎回、二つのあいだに——落ちるという事実。次のステップは、その分数を書き下そうとすると何が起きるかを問います。

42Math チーム · 更新 2026-09-07

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

数学のレッスン一覧 →

例題

3/4 と 2/5 - 和は 23/20 です。分子と分母を足すと 5/9、すなわち 0.5556 となり、2/5 と 3/4 の外側ではなく、そのあいだに落ちます。
2分の1と3分の1 - 2分の1と3分の1は異なる単位で、6 は両方を書き表せる最初の単位です。だから合わせて 5/6 になります。中間分数 2/5 は、2分の1と3分の1のあいだで最も簡単な分数です。
分母が同じとき - 1/5 と 2/5 の和は 3/5 です。ここでは中間分数 3/10 がちょうど和の半分にあたります。分母が同じときは、分子と分母を足す操作が平均をとることになるのです。
最も簡単ではないとき - 2/7 と 3/7 の中間分数は 5/14 です。いつもどおり二つのあいだにはありますが、そこに入る最も簡単な分数ではありません。きれいな規則が途切れるのがここです。
隙間を埋め尽くす - 0 と 1 から始めて中間分数を四回入れると、15 個の分数が現れます。どれもすでに既約で、同じものは二度と出てきません。