ラプラス変換ラボ

基本的な関数族についてラプラス変換のペア、極、収束領域、初期値・最終値を確認する。

計算例 — ラプラス変換ラボ

極	−1
初期値 f(0⁺)	1
最終値 f(∞)	0

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レッスン

理論 — ラプラス変換ラボ

ラプラス変換は、時間の関数を複素変数 s の関数と取り替え、t の解析を s の代数に変えます。ここのカタログはそうした八つの対の辞書であり、それぞれの隣にこのページは四つの事実を表示します。いずれも時間領域へ戻ることなく、F(s) だけから読み取れるものです。

各記号の意味

F(s): 変換した結果。このカタログのどの項目でも多項式の比であり、続く三行が存在しうるのはそのためです。
poles: 分母を零にする s の値。ページ上の他のすべては、極がどこにあるかから導かれます。
ROC: 収束領域。定義する積分が実際に収束する半平面です。この行がいかに独自の情報を持たないかは、ステップ 3 が示します。
f(∞): 最終値。数値として、∞ として、あるいは拒否として表示されます。

公式の導き方

対を読みます。既定の指数関数では e^(−t) が 1/(s+1) になります。時間における減衰率が、ひとつの極の位置に変わるのです。
分母を零と置いて極を求めます。s+1=0 から s = −1。これが極の行に出ている値です。
次に極の行と ROC の行を見比べ、カタログを進みながら比べ続けてください。ROC は最も右にある極の実部です。指数関数は極が −1、ROC は Re(s) > −1。ステップは極が 0、ROC は Re(s) > 0。正弦は極が ±j2 でその実部は零なので、やはり ROC は Re(s) > 0。八行、規則はひとつです。
二つの値の行は、同じ F(s) の反対の端から来ます。f(0⁺) = lim(s→∞) sF(s) と f(∞) = lim(s→0) sF(s)。ステップと余弦が f(0⁺) = 1 で一致しながら終わり方で食い違うのは、そのためです。

表示の読み方

八つの項目を順に見て、独立に見える二つの列がひとつのように振る舞うさまを眺めてください。ステップ、ランプ、べき関数は極が原点にあり、いずれも Re(s) > 0。指数関数と二つの減衰波は実部 −1 の極を持ち、いずれも Re(s) > −1。正弦と余弦は例外に見えます——極が純虚数だからです——が、例外ではありません。±j2 の実部は零なので、原点に極を持つものと同じく Re(s) > 0 になります。次に終わり方を見てください。これも極が決めます。実部 −1 なら 0、原点の単極なら定数、原点の二重極なら ∞、純虚数の対なら終わりそのものがありません。

前提: t = 0 より前で f(t) = 0 であること——これは片側変換であり、どの項目も単位ステップに対して書かれているのはそのためです。振幅 A は極を動かさずに F(s) を定数倍するだけであり、初期値は変えても ROC や終わり方は決して変えないこと。そして、どの項目も多項式の比であること。分岐切断や真性特異点を持つ変換には読むべき極の一覧がなく、四行のうち三行は語ることを失います。
成り立たない場合: 最終値の定理は、条件を添えずに引用されがちな定理であり、このカタログにはその反例が入っています。正弦に無造作に当てはめると lim(s→0) s·ω/(s²+ω²) は 0。きれいで、明確で、そして誤りです。sin(ωt) に最終値はありません。この定理が成り立つのは sF(s) の極が厳密に左半平面にあるときだけで、正弦の極は虚軸上にあります。ページは極限を報告せずに拒否します。その行に 存在しない — 振動 と出て、公式が平然と出す 0 が出ないのはそのためです。ランプは同じ試験に反対側から落ち、∞ を受け取ります。八項目のうち二つが、残る六つから一般化しようとしていた規則を破るのです。

極の行がすでに結末を告げている 🖖

一覧を順にたどり、表では「極」と「最終値」の二行だけを見比べてください。極がすべて虚軸の真に左側にある組は、最終的に 0 へ収束します。s = −a に極をもつ e^−at も、s = −a ± jω に極をもつ減衰正弦波も同じです。極が虚軸上にある組は収束しません。sin と cos の極は s = ±jω にあり、表には「存在しない（振動）」と表示されます。一方、ランプ関数は s = 0 に二重極をもち、∞ へ発散します。有限の 0 でない値に収束するのは、s = 0 に単純極を一つだけもつステップ関数です。信号が減衰するか、保たれるか、発散するかは、最も右にある極の実部で決まります。制御工学で s 平面を用い、逆変換をせずに設計できるのはこのためです。

時間とsをつなぐ辞書 🖖

このツールの本質は、変換の対応表です。ステップ関数、ランプ関数、減衰指数関数など、時間の関数にはそれぞれ s 領域で対応する関数があり、この教材では両者を並べて示します。扱いやすい s 領域で問題を解き、対応関係を使って答えを時間領域へ戻しましょう。減衰関数 e^-at は常に 1/(s+a) に変換され、a の値が減衰の速さを表します。

数学者たちを憤慨させた技術者 🖖

この変換が厳密に基礎づけられるよりずっと前、独学の技術者オリバー・ヘヴィサイドは、微分演算子 d/dt を大胆にも普通の代数記号のように扱い、割り算さえして回路方程式を解いていました。純粋数学者たちは証明の欠如に憤慨しましたが、彼はこう言い返したと伝えられます。「消化を完全には理解していないからといって、夕食を断るべきだろうか?」彼のステップ関数は今も彼の名を冠し、ラプラス変換が後に、彼が気にも留めなかった厳密さを与えました。

全プロセスの詳細解説

f(t) = e −1.5t の端点値と減衰 6 ステップ
t ≥ 0 における f(t) = e^−1.5t。定義から F(s) を求め、同一の計算過程から極と収束領域を読み取り、変換を逆変換することなく両端点値を確定せよ。その上で、どちらの端点定理も答えてくれない問いに答えよ。減衰には実際どれくらいの時間がかかるだろうか。
1. 変換は単一の積分であり、パネル上のそれ以外の要素はすべてこの積分の評価結果から導かれる副産物である。両方の指数関数は底を共有しているため、−(s + 1.5)t という単一の指数にまとめられる。
  
  $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- 1.5 t} e^{- s t} d t = [\frac{- e ^{- (s + 1.5) t}}{s + 1.5}]_{0}^{\infty}$
2. 上限の計算こそが肝心な部分である。t が大きくなるときに e^−(s+1.5)t が 0 に減衰するのは s + 1.5 の実部が正の場合に限られ、そのひとつの不等式から残る両方の項目が得られる。すなわち、収束領域 Re(s) > −1.5 と、その境界上にちょうど位置する s = −1.5 の極である。極は暗記すべき別の事実ではなく、積分が存在しなくなる s の値そのものである。
  
  $Re (s + 1.5) > 0 ⟺ Re (s) > - 1.5 ⟹ F (s) = \frac{1}{s + 1.5}$
3. 初期値定理を単に引用するのではなく導出してみよう。大きな s は e^−st の重みを小さな t 側へ極めて強く寄せるため、sF(s) は原点付近の f を調べる手段となる。ここでは s/(s + 1.5) は 1 に近づき、e⁰ = 1 がそれを裏付ける。一度も逆変換していない変換から f(0⁺) を読み取ったのである。
  
  $f (0^{+}) = s \to \infty lim s F (s) = s \to \infty lim \frac{s}{s + 1.5} = 1 = e^{0}$
4. 最終値を求めるには、s を逆の方向へ動かす。この極限には適用条件（ライセンス）が付いている。すなわち、sF(s) のすべての極が虚軸の厳密に左側に位置するときにのみ定理として成立するのであり、ここでの唯一の極は −1.5 にある。以下に示す振動の事例こそ、この条件が防ごうとしている事態である。
  
  $f (\infty) = s \to 0 lim s F (s) = \frac{0}{1.5} = 0$
5. どちらの定理も時間を刻む時計を持っていない。一方は t = 0 を、他方は t = ∞ を記述し、その目で曲線がマイクロ秒で変化するか一世紀かかるかはわからない。不足しているスケールを求めるには、f(τ) = f(0)/e を解けばよい。
  
  $e^{- 1.5 τ} = e^{- 1} ⟹ τ = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} = 0.667 s$
6. ここでパネルを離れ、信号が開始時の 1% にまで低下するのはいつかを考えてみよう。
  
  $e^{- 1.5 t} = 0.01 ⟹ t = \frac{ln 100}{1.5} = \frac{4.6052}{1.5} = 3.07 s$
解答

F(s) = 1/(s + 1.5)、−1.5 の極、および τ = 0.667 s — パネルには極と時間定数が表示されており、その両方を単一の積分から導出した。代わりに最後の行に注目しよう。ln(100)/a を 1/a で割ると a が相殺されるため、減衰率が何であれ 1% に達するには常に 4.61 時間定数 かかる。4.61 はこの信号の性質ではなく、数値 100 の属性である。極が制御するのは、単一の τ がどれだけ続くかだけである。a を2倍にして 3 にすると、このページのすべての所要時間は半減する。逆の方向、すなわち虚軸に向かってスライドさせると、τ は無限大へ向かい、極が軸に達した時点で最終値は完全になくなる。これが次の問題である。

$τ = \frac{1}{a}, t_{1%} = \frac{ln 100}{a} = 4.61 τ (a > 0)$
0を返す f(t) = sin(4t) の最終値の極限 5 ステップ
t ≥ 0 における f(t) = sin(4t)。ここでは最終値の極限の計算は極めてスムーズに実行され、0 を返す。発散するものもなく、不定形になるものもない。それにもかかわらず、なぜ 0 が誤った答えであるのか、そして定理が実際には何をチェックするよう求めていたのかを解き明かせ。
1. 変換表に頼るのではなく、前問の結果からこの変換を構築しよう。オイラーの公式は正弦関数を一対の複素指数関数に分割し、それぞれが積分からすでに導出した規則に従う。
  
  $sin 4 t = \frac{e ^{j 4 t} - e ^{- j 4 t}}{2 j}, L {e^{α t}} = \frac{1}{s - α}$
2. 通分してまとめる。分子の j4 − (−j4) が 2j と相殺されるため、複素数による構成から s の実関数が得られる。パネルでは分母が s² + 4² と表記されているが、これは同じことである。
  
  $F (s) = \frac{1}{2 j} (\frac{1}{s - j 4} - \frac{1}{s + j 4}) = \frac{4}{s ^{2} + 16}$
3. 極の位置を特定する。分母は s = ±j4 で 0 となり、その実部は 0 である。負でも正でもなく、ちょうど虚軸上に存在する。これこそが、上記の適用条件（ライセンス）が除外するために書かれたケースである。
  
  $s^{2} + 16 = 0 ⟹ s = \pm j 4, Re (s) = 0$
4. 妨げるものは何もないので、とにかく最終値の極限を計算してみる。分子は 0 に近づき、分母は 16 に近づき、商は 0 となる。算術計算は、あなたにそれを適用する権利がなかったことを警告してはくれない。
  
  $s \to 0 lim s F (s) = s \to 0 lim \frac{4 s}{s ^{2} + 16} = \frac{0}{16} = 0$
5. それを関数自体と比較してみよう。sin(4t) の周期は 2π/4 = 1.5708 s であり（パネルでは 1.57 s に四捨五入される）、各周期の四分の一が経過した時点で +1 に戻る。永遠に 1 に戻り続ける関数が 0 に収束することも、何らかの値に収束することもあり得ない。パネルの最終値の行には数値が表示されず、代わりに信号が振動していると表示される。
  
  $T = \frac{2 π}{4} = 1.5708 s, f (\frac{T}{4} + k T) = 1$
解答

極は ±j4、周期 1.57 s、および最終値はまったく存在しない — 極限の計算自体はすっきりと 0 に評価されるにもかかわらず、である。教訓は、算術計算が脆弱であるということではなく、算術計算そのものが定理ではないということだ。両方の sF(s) を並べて比較すると、その違いは極の位置が一箇所異なるだけである。0 が単に誤りであるだけでなく興味深い理由は、それがすべての近傍の問いに対する正しい答えになっているからである。正弦関数を任意の a > 0 で減衰させると、極は −a ± j4 に移動し、定理が適用されて最終値はどれほど小さな a であれ真正の 0 となる。この極限は近傍のすべての問題に対する答えを返しているが、当の問題に対する答えは返していない。そして、証明可能な 0 であっても役に立たないことがある。a = 0.1 のとき、問題 1 の時計によると 1% に低下するまでに ln(100)/0.1 = 46 s かかり、これはこの周波数での約 29 周期分に相当する。

$s F (s) = \frac{4 s}{s ^{2} + 16} \Rightarrow s = \pm j 4 s F (s) = \frac{s}{s + 1.5} \Rightarrow s = - 1.5$

参考文献 (3)

When the final-value theorem applies, and when the table must say it does not: E. Gluskin, "Let us teach this generalization of the final-value theorem." European Journal of Physics 24(6), 591–597, 2003.
Pole location and stability, at length: Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.
Where the region of convergence is derived from the pole positions: A. V. Oppenheim & A. S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition. Prentice Hall, 1997 — chapter 9, on the Laplace transform and its region of convergence. ISBN 978-0-13-814757-0.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

ステップ関数 - 高さ 2 のステップ関数は 2/s に変換され、原点に単純極を一つもちます。一覧の中で最終値が有限かつ 0 でないのはこれだけで、その値は 2 です。
ランプ関数 - ランプ 2t — 変換すると 2/s²、原点に2位の極
べき関数 tⁿ - t³ — 変換すると 6/s⁴。n! = 6 は部分積分を3回行うことから生じ、極の位数は n + 1 = 4
指数減衰 - e^(-1.5t) は 1/(s + 1.5) に変換され、s = -1.5 に実極を一つもちます。したがって収束領域は Re(s) > -1.5、最終値は 0 です。
正弦波 - sin(4t) は 4/(s² + 16) に変換され、極は ±j4 です。極が虚軸上にあるため減衰せず、最終値は存在しません。
余弦 - cos(4t) — 極は虚軸上の ±j4 にあり、最終値は存在しない。いつまでも振動する
減衰正弦 - 減衰正弦波 3/((s + 1)² + 9) の極は -1 ± j3 です。通常の正弦波と周波数は同じですが、実部 -1 があるため、振動し続けず減衰します。
減衰余弦 - 減衰余弦 — 極は軸を離れて −1 ± j3 へ移り、収束領域は Re(s) > −1、最終値は 0 に落ち着く