弧長と回転体

弧長は歪んだ2D経路に沿った正確な1D距離を計算します。無限小のピタゴラスの定理から派生し、導関数の2乗の平方根を積分することで、非線形の曲線軌道を有限の直線距離指標に変換します。

このツールの2つ目のモードは、旋盤やろくろのように働きます。曲線 y=f(x) を x 軸のまわりに回転させて回転体を作るのです。体積を求めるため、ツールは立体を薄い円板に切り分け、それぞれ半径 f(x) の円として合計します。直線 y=x を 0 から 3 まで回転させれば、体積 9π の完全な円錐が得られます。幾何の公式は不要で、必要なのは積分だけです。

y=1/x を x=1 から無限大まで x 軸のまわりに回転させると、トリチェリのトランペット（ガブリエルのラッパ）ができます。その体積はちょうど π に収束しますが、表面積は無限大です。この「画家のパラドックス」は、ラッパの内部には π 単位の塗料が入るのに、どんな有限量の塗料でもその内壁を塗り尽くせないことを意味します。エヴァンジェリスタ・トリチェリは1640年代、微積分が正式に確立する前にこれを発見し、彼自身も不合理だと考えました。