合同算術の時計

モジュロ演算は、a ≡ b (mod n) と表記され、巡回的な法nの下で整数を扱います。この代数系は可換環 Z/nZ を形成します。法pが素数である場合、この環は体となり、ゼロ以外のすべての元が乗法逆元を持ちます。この構造は、現代の暗号、巡回符号、および時計の演算の基礎を成しています。

12時間表示の時計では、11時の4時間後は15時ではなく3時になり、12を過ぎると数は先頭に戻ります。これがまさに合同算術です。a ≡ b (mod n) は、a と b を n で割った余りが等しいことを意味します。つまり 15 ≡ 3 (mod 12) です。要点は、合同算術は割り算の余りだけを残すということで、このツールの時計は数が輪を描いて回る様子を見せてくれます。

「各桁の和が9の倍数なら、その数も9で割り切れる」という昔ながらの規則は、まさに合同算術です。10 ≡ 1 (mod 9) なので、10 のどのべき乗も ≡ 1 となり、ある数はその各桁の和と (mod 9) で合同になります。同じ事実が、手計算を確かめる何世紀も前からの手法「九去法」を支えています。