区分的モデリング・ラボ

区分定義された関数とは、例外つきの一つの規則ではなく、完全な規則が二つと「どちらがどこに適用されるか」の宣言のことです。ここでは折れ点 c より下をひとつの一次規則が支配し、c 以上をもうひとつが支配します。面白い問いは、それぞれの区間が何をするか —— ただの直線です —— ではなく、継ぎ目で何が起きるかです。

各記号の意味

c

折れ点。規則が切り替わる入力値。

f(c⁻)

x が下から c に近づくとき、左の区間が向かっている先。値ではなく極限です。c では左の規則はもう適用されません。

f(c⁺)

右の区間が c で実際にとる値。そこでの関数の値でもあります。

jump

f(c⁺) − f(c⁻)。二つの区間が出会うとき、ちょうどゼロになります。

公式の導き方

1. 条件をつけたまま定義を書き出します。x < c では f(x) = m₁x + b₁、x ≥ c では f(x) = m₂x + b₂。折れ点そのものがどちらの区間に属するかに注意してください。ここでは右側です。グラフの左の枝が白丸で終わり、右が黒丸で始まるのはそのためです。
2. c では、関数は右の規則による値 m₂c + b₂ を持ちます。左の規則はそこに値を持ちませんが、行き先は持っています。x が c へ上がっていくとき m₁x + b₁ は m₁c + b₁ に近づきます。これが左側極限です。
3. ある点で連続とは、両側の極限と関数の値が一致することです。ここでは右側極限と値が同じものなので、三つのうち二つは自動的に満たされ、条件全体がたった一つの式に縮みます。m₁c + b₁ = m₂c + b₂。
4. 式は一つ。満たすためにはどの係数を動かしても構いません。b₂ = (m₁ − m₂)c + b₁。つまり連続性はいつでも実現できますが、決してただではありません。パラメータを一つ差し出す必要があります。差し出さなかったときに残るのが、表示で「段差」と呼ばれている量です。(m₂c + b₂) − (m₁c + b₁)。

表示の読み方

青い線分が左の規則、オレンジが右の規則で、それぞれ自分の条件が許す範囲まで描かれます。折れ点で青い枝は白丸で終わります。これは決して占めることのない行き先です。オレンジは黒丸で始まり、こちらが f(c) の実際の値です。両者が一致すると丸は重なり、段差の行は 0 になります。青緑の点は評価欄に入れた値に対する f(x₀) で、最後の 3 行が図を数値に翻訳します。区間がつながっているか、またぐときに傾きがどれだけ変わるか、そして下向きの段差が「折れ点より高くつく入力の範囲」を生んでいるかどうかです。

前提

どちらの区間も直線であること、折れ点はちょうど一つで、既知の位置にあること。半開区間の約束も重要で、これは一つの選択です。右の規則が x = c を所有するので f(c) は m₂c + b₂ になります。約束を逆にすると c という一点での値は変わりますが、段差は変わりません。

成り立たない場合

本当に厄介なのは、c が既知ではなく推定される場合です。直線を当てはめるのと同じデータから推定した折れ点は、誤差を最小にするように選ばれたパラメータですから、通常の回帰の標準誤差は小さすぎ、当てはまりは実際より良く見えます。分割回帰の手法があるのは、まさにこれに対処するためです。そして二区間モデルは第三の領域について何も語りません。観測した範囲の外へどちらかの直線を延ばすことは、一度も検証していない規則を仮定することです。