Dízimas Periódicas

Escreva uma fração, depois mude a base. Na base 10, 1/3 é infinito e 1/5 termina. Na base 12, trocam de posição. A regra por trás disto é exata e baseia-se em fatores primos.

Exemplo resolvido — Dízimas Periódicas

Algarismos do período	1
Algarismos antes do período	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um terço é exato na base doze 🖖

Prima 1/3 na base 10 e depois 1/3 na base 12. É a mesma fração. Numa base, prolonga-se indefinidamente; na outra, dá 0,4 e termina. Prima 1/5 na base 12 e os papéis invertem-se. Portanto, uma fração ser «bem-comportada» não é uma propriedade da própria fração. A representação de p/q, na forma irredutível, termina na base b se, e só se, todos os fatores primos de q também dividirem b. Dez é 2 × 5, por isso só podem terminar as frações cujos denominadores sejam formados por fatores 2 e 5: meios, quartos, quintos, oitavos, décimos, vigésimos e quaisquer outros construídos com esses dois primos. Já conhece esta lista. É a que lhe mandaram decorar.

Dois primos, dois papéis diferentes 🖖

Um sexto é 0,1666…: um algarismo que nunca regressa, e um 6 para sempre. Seis é 2 x 3. Os dois primos fazem trabalhos diferentes. O 2 divide dez e dá-lhe a parte não periódica. O 3 não divide, e dá-lhe o período. Agora experimente 7/12. A parte não periódica tem dois algarismos, porque doze contém dois 2s e a divisão precisa de dois passos para os gastar. O comprimento da parte não periódica não corresponde ao número de primos partilhados. É tão longa quanto os passos necessários para os esgotar. Na base 10, isso dá três algarismos a 1/8. Na base 12, dá dois.

Por que motivo 1/7 repete os mesmos seis algarismos 🖖

Ao dividir por 7, só há seis restos não nulos possíveis. Ao fim de seis passos, algum terá necessariamente de reaparecer; a partir daí, os algarismos repetem-se. É isso que representa o anel acima: todos os restos que podem surgir na divisão. O ciclo nunca pode ter comprimento superior a q − 1. Os sétimos percorrem o anel inteiro: passam pelos seis restos antes de regressarem ao início. Daí vem o número de circo de 142857. Experimente 1/13: desta vez, metade do anel fica vazia. São seis posições em doze, que produzem 076923. Como a divisão passa por todos os restos do ciclo, começar em 2 em vez de 1 apenas leva a outro ponto do mesmo percurso. 2/7 = 0,285714. 3/7 = 0,428571. São os mesmos seis algarismos, rodados. Abaixo de 100, nove dos vinte e três primos admissíveis conseguem fazê-lo na base 10: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A base 12 tem oito, e apenas 7 e 17 pertencem às duas listas.

Problemas resolvidos na íntegra

O número de dígitos em que 1/13 se repete 7 passos
Durante quantos algarismos se repete 1/13? Pode responder a isto antes de dividir seja o que for.
1. Será que chega a repetir-se? Treze é primo e não divide dez, pelo que não partilha nenhum fator com a base. Nada é eliminado. Não existe parte não periódica e a repetição começa no primeiro algarismo.
  
  $13 ∤ 10, 10 = 2 \times 5$
2. O comprimento é a menor potência de dez que deixa resto 1. Percorra as potências de dez módulo 13 e pare no momento em que a atingir.
  
  $1 0^{1} \equiv 10, 1 0^{2} \equiv 9, 1 0^{3} \equiv 12, 1 0^{4} \equiv 3, 1 0^{5} \equiv 4, 1 0^{6} \equiv 1 (mod 13)$
3. Seis. O ciclo tem seis algarismos de comprimento e ainda não dividimos nada. Agora faça a divisão e observe esses mesmos seis números regressarem como restos.
  
  $k = 6$
4. São os mesmos números na mesma ordem, porque é isso que eles representam: o resto após k passos é 10 elevado a k, módulo 13. Os algarismos que se encontram por cima são a resposta.
  
  $\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}$
5. A velha verificação continua a funcionar. Um bloco periódico puro com comprimento seis, vezes o seu denominador, dá seis noves.
  
  $076923 \times 13 = 999999$
6. Com treze, havia doze restos disponíveis, dos quais se usaram seis. Mas não podiam ser seis quaisquer. Quando q é primo, o período divide sempre q − 1; portanto, para 13, as únicas respostas possíveis eram 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
  
  $k ∣ q - 1 : 6 ∣ 12, 12 = 13 - 1$
7. Saber em qual desses divisores um primo vai calhar é onde esta ferramenta atinge o seu limite, e o mesmo acontece com toda a gente. Nove dos vinte e três primos elegíveis abaixo de 100 atingem a totalidade de q − 1 na base 10, cerca de 39%. É um valor próximo da constante 0,3739 que Artin conjeturou em 1927. Continua a ser uma conjetura. Ninguém conseguiu ainda provar que existam infinitos primos a ter 10 como raiz primitiva.
  
  $\frac{9}{23} \approx 39% vs A \approx 0.3739558$
Resposta

Seis algarismos: 1/13 = 0,076923 de período. Bastou ler as potências de dez antes de ocorrer qualquer divisão. E 13 falha o máximo, porque 6 é apenas metade de 12.
Porque é que um quinto termina na base dez e nunca acaba na base doze 6 passos
Carregue 1/5 na base 12 e descubra o comprimento do período. Depois decida se um mundo que contasse de doze em doze ficaria melhor ou pior servido na aritmética do dia a dia.
1. Na base dez, um quinto é a fração mais fácil que existe: 0,2, resolvida num único algarismo. Doze é 2 × 2 × 3 e não tem nenhum cinco lá dentro, pelo que nada se simplifica e a divisão nunca consegue ficar sem resto. O cartão do veredito passa a Repete infinitamente e a parte antes do período marca 0. Não há nenhuma parte que termine primeiro, por isso o ciclo começa logo no primeiro algarismo.
  
  $5 ∤ 12 = 2^{2} \times 3 ⟹ repeats; 5 ∣ 10 = 2 \times 5 ⟹ \frac{1}{5} = 0.2$
2. O comprimento é a menor potência de doze que deixa resto 1 quando dividida por 5. Doze são dois a mais do que um múltiplo de cinco, pelo que pode percorrer antes as potências de dois, o que é mais rápido: 2, 4, 3, 1.
  
  $12 \equiv 2 (mod 5) : 2, 4, 3, 1 ⟹ k = ord_{5} (12) = 4$
3. Quatro passos, e quatro é q − 1. É o máximo que um quinto pode repetir, porque a divisão longa só dispõe de quatro restos não nulos e este percurso visita-os todos. O distintivo que aparece é o que 1/7 ganha na base dez.
  
  $k = 4 = q - 1 ⟹ full reptend; \frac{1}{5} = 0. \overline{2497}_{12}$
4. A prova dos noves sobrevive à mudança. Um ciclo puro multiplicado pelo seu denominador preenche todas as casas do ciclo: 2497 na base doze é 4.147, cinco desses são 20.735, e 20.735 é 12⁴ − 1, que a base doze escreve como bbbb. Quatro onzes onde a base dez daria quatro noves.
  
  $249 7_{12} = 4147, 4147 \times 5 = 20, 735 = 1 2^{4} - 1 = bbbb_{12}$
5. Agora a troca, contada em vez de discutida. Pegue nos denominadores de 2 a 12 e pergunte quais deles terminam. O binário e o hexadecimal conseguem três, já que o seu único primo é o 2. É essa a razão de 0,1 não ter forma binária exata e a razão de o dinheiro não ser guardado em vírgula flutuante. A base dez consegue cinco. A base doze consegue sete: compra terços, sextos, nonos e doze avos, e paga-os com quintos e décimos.
  
  $q \in {2, \dots, 12} that terminate : b = 2, 16 : 3; b = 10 : 5; b = 12 : 7$
6. A regra resolve ainda uma base que a ferramenta não oferece. O sessenta carrega os três primos pequenos, pelo que tudo de 2 a 12 termina exceto os sétimos e os onze avos, nove em onze. Não é preciso executar nada para o ver. Bastam os fatores primos de sessenta.
  
  $b = 60 = 2^{2} \times 3 \times 5 : all but 7 and 11 ⟹ 9 of 11$
Resposta

Quatro algarismos, 0,2497 de período, e o ciclo mais longo que um quinto pode ter. A base doze ganha a contagem por sete a cinco, e ganha nas divisões que as pessoas fazem de facto: um terço de hora, um sexto de uma circunferência, um quarto de uma libra. O que entrega em troca são os quintos e os décimos, e esses contam sobretudo porque já contamos de dez em dez. Um quinto parece fundamental por ser 20%, e as percentagens são um hábito decimal antes de serem um facto sobre quintos.

O limite honesto é que nenhuma base salva os sétimos, e um sétimo aparece na vida corrente tantas vezes como um quinto. Escolha a base que escolher, alguma divisão do dia a dia sai irregular, e é por isso que contar vencedores não resolve nada. O único sítio onde uma escolha foi feita e se manteve é o sessenta da Babilónia. Quatro mil anos depois, continua a ser como se lê um relógio e continua a ser como se divide uma circunferência.

$\frac{p}{q} terminates in base b ⟺ rad (q) ∣ rad (b)$

Percurso de aprendizagem

Escrever um número

Conduz a Aproximação racional um número que nunca se acaba de escrever.

Referências (3)

The rule the tool implements: when a fraction terminates, and the period as the order of the base Hardy, G. H. and Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press — Chapter IX, Decimals.
Artin's constant 0.3739558, the density the worked problem compares 9 of 23 against Wrench, J. W. (1961). Evaluation of Artin's Constant and the Twin-Prime Constant. Mathematics of Computation, 15(76), 396–398. doi:10.1090/S0025-5718-1961-0124305-0
Why the worked problem ends by saying nobody has proved it Heath-Brown, D. R. (1986). Artin's Conjecture for Primitive Roots. The Quarterly Journal of Mathematics, 37(1), 27–38. doi:10.1093/qmath/37.1.27

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

1/3 na base 10 - Um terço repete-se a partir do primeiro algarismo: 0 algarismos antes do período, seguido de um ciclo de 1. Dez é 2 x 5, e 3 não divide nenhum deles.
1/3 na base 12 - A mesma fração na base 12 é 0,4 e termina. Nada em relação a um terço mudou. Doze é 2 x 2 x 3, logo o 3 divide a base.
1/5 na base 12 - Um quinto faz o inverso. Termina na base 10. Aqui repete-se, com um ciclo de 4. Esse é o máximo que um quinto consegue alcançar.
1/6 — ambas as coisas - Um sexto faz as duas coisas. Seis é 2 x 3. O 2 divide dez e dá 1 algarismo que não se repete. Depois o 3 assume o controlo com um ciclo de 1.
1/7 — o famoso - Um ciclo de 6 para um denominador de 7 é o mais longo que um sétimo pode atingir. A divisão longa tem apenas 6 restos não nulos para visitar antes que um reapareça.
1/17 — dezasseis dígitos - Dezasseis algarismos, novamente o máximo. O trajeto abaixo visita todos os 16 restos disponíveis antes de regressar ao ponto de partida.