Somar frações, e o erro

Escolha duas frações. A ferramenta soma-as sobre um denominador comum e, à parte, soma numeradores e denominadores — o erro clássico. Repare onde cada resposta cai na reta.

Exemplo resolvido — Somar frações, e o erro

Denominador comum	20
Soma	23/20
Frações inseridas	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O erro clássico é uma operação a sério, e nunca falha 🖖

Some 3/4 e 2/5 ao contrário — numeradores juntos, denominadores juntos — e obtém 5/9. Não é a soma, que é 23/20. Mas repare onde cai 5/9: em 0,5556, entre 0,4 e 0,75. Esse valor chama-se mediante e cai entre as duas frações todas as vezes. A demonstração é uma subtração: a mediante menos a/b dá (bc − ad) sobre b(b+d), e c/d menos a mediante dá esse mesmo (bc − ad) sobre d(b+d). Mesmo sinal das duas vezes. Ou seja, a mediante está acima de uma fração exatamente quando está abaixo da outra, e não lhe resta senão o intervalo. Mude os números à vontade; ela permanece na banda sombreada.

Um denominador comum não é um ritual, é uma unidade 🖖

Não se somam três ovelhas com quatro horas. Meios e terços são unidades da mesma maneira, e é por isso que 1/2 + 1/3 não é 2/5 — os pedaços têm tamanhos diferentes e contá-los não significa nada enquanto assim for. Os sextos são o primeiro tamanho em que um meio e um terço se cortam exatamente, e o denominador comum não é mais do que isso: 3/6 + 2/6 = 5/6. Isto explica também por que o erro parece tão natural. Somar numeradores e denominadores é contar, e contar honestamente — cinco pedaços em nove —, mas conta pedaços de dois tamanhos como se fossem iguais, pelo que o resultado é uma proporção do monte inteiro em vez de um total.

Repita o erro e gera todas as frações que existem 🖖

Carregue em Preencher todo o intervalo. Comece com 0 e 1, ponha a mediante entre eles — é 1/2 —, depois outra vez entre cada novo par vizinho, e outra. Quatro rondas dão 15 frações. Nenhuma se simplifica e nenhuma aparece duas vezes. Continue e todas as frações entre 0 e 1 surgem exatamente uma vez, irredutíveis, cada uma no seu lugar: é a árvore de Stern-Brocot, publicada em 1858 por um teórico dos números alemão e em 1861 por um relojoeiro francês que procurava razões de engrenagem. Achille Brocot precisava de uma fração próxima de uma razão que não conseguia construir, com um número de dentes que pudesse mesmo cortar — e a árvore entrega-lha.

Problema resolvido na íntegra

Será a mediante a fração mais simples entre as duas? No intervalo cai sempre. Se algo com denominador menor lá chega primeiro é outra pergunta, e a resposta é: nem sempre.
1. Comece pela soma, feita como deve ser. Vinte é o primeiro denominador onde cabem quartos e quintos, portanto as frações passam a quinze vinte avos e oito vinte avos.
  
  $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$
2. Agora o erro. Cinco nonos, e o painel confirma: o valor está no intervalo, como tem de estar.
  
  $\frac{3 + 2}{4 + 5} = \frac{5}{9} = 0.5556, \frac{2}{5} = 0.4 < \frac{5}{9} < 0.75 = \frac{3}{4}$
3. Porque tem de estar. Subtraia a mediante de cada extremo e no numerador aparece a mesma quantidade, bc − ad, das duas vezes. Um denominador é b(b+d) e o outro d(b+d), ambos positivos, pelo que as duas diferenças têm o mesmo sinal e a mediante fica entalada entre as frações.
  
  $\frac{a + c}{b + d} - \frac{a}{b} = \frac{b c - a d}{b ( b + d )}, \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d} = \frac{b c - a d}{d ( b + d )}$
4. Mas procure algo mais simples. Um meio também está no intervalo, com denominador 2 contra o 9 da mediante. Para este par, então, a mediante não é a fração mais simples entre as duas, e nem por pouco.
  
  $\frac{1}{2} = 0.5 \in (\frac{2}{5}, \frac{3}{4}), q = 2 < 9$
5. Quem decide é uma quantidade que já está em cima da mesa. Para três quartos e dois quintos vale sete, não um.
  
  $b c - a d = 4 \times 2 - 3 \times 5 = - 7, ∣ b c - a d ∣ = 7$
6. Experimente um par onde valha um. Um terço e um meio: a mediante é dois quintos, e nada com denominador inferior a cinco fica entre eles. É esta a condição toda.
  
  $\frac{1}{3}, \frac{1}{2} : b c - a d = 3 \times 1 - 1 \times 2 = 1, \frac{1 + 1}{3 + 2} = \frac{2}{5}$
Resposta

A mediante é a fração mais simples entre as duas exatamente quando |bc − ad| = 1 — quando o par é vizinho numa sucessão de Farey. Percorridos todos os pares com denominadores até 25: verifica-se nos 798 pares vizinhos e falha em 111 992 dos 119 636 restantes. A ferramenta nunca mostra bc − ad, e é esse único número que separa o caso em que o erro da escola é a melhor resposta possível daquele em que é apenas uma resposta correta.

$∣ b c - a d ∣ = 1 ⟺ \frac{a + c}{b + d} = q arg min {\frac{p}{q} \in (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})}$

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Problemas de exemplo

3/4 e 2/5 - A soma é 23/20. Somar numeradores e denominadores dá 5/9, ou seja 0,5556 — entre 2/5 e 3/4 em vez de para lá delas.
Meios e terços - Meios e terços são unidades diferentes, e 6 é a primeira em que ambos se escrevem — daí somarem 5/6. A mediante 2/5 é a fração mais simples entre um meio e um terço.
Mesmo denominador - 1/5 e 2/5 somam 3/5. Aqui a mediante 3/10 é exatamente metade da soma: com denominadores iguais, somar numeradores e denominadores faz a média.
Quando não é a mais simples - 2/7 e 3/7 dão a mediante 5/14. Fica entre as duas, como sempre — mas não é a fração mais simples a consegui-lo, e é aí que a regra bonita acaba.
Preencher todo o intervalo - Comece em 0 e 1 e insira mediantes quatro vezes: aparecem 15 frações, todas já irredutíveis, e nenhuma duas vezes.