Curvas paramétricas

Equações paramétricas desacoplam a dependência de y sobre x introduzindo uma variável temporal t. Isso permite o mapeamento de caminhos dinâmicos complexos que violariam o teste da linha vertical em coordenadas padrão.

Em vez de perguntar qual y corresponde a cada x, uma curva paramétrica põe um relógio t a andar e guia um lápis com duas regras separadas: x(t) define o quanto se desloca para a direita e y(t) o quanto sobe. O traço que você vê é apenas metade da história; o ponto móvel e seu vetor tangente trazem o resto: direção e velocidade. Como o comprimento da seta é a velocidade, a mesma forma pode ser desenhada devagar ou às pressas e parecer idêntica, enquanto o movimento por trás dela é completamente diferente.

Vire a cicloide x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) de cabeça para baixo e ela se torna a tautócrona: uma esfera sem atrito chega ao ponto mais baixo exatamente no mesmo tempo, não importa de onde você a solte. Christiaan Huygens aproveitou isso em 1673, curvando relógios de pêndulo com faces cicloidais para que o pêndulo marcasse a hora com precisão qualquer que fosse a amplitude do balanço. Uma única curva paramétrica deu à relojoaria seu primeiro pêndulo imune à amplitude.