Curvas paramétricas

Explore curvas paramétricas: veja o ponto de traçado e o vetor tangente conforme t varia.

Exemplo resolvido — Curvas paramétricas

t	3.1416
(x, y)	(-1.000, 0.000)
Velocidade \|dr/dt\|	2.000
dx/dt, dy/dt	(0.000, 2.000)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O mesmo desenho pode ser traçado em velocidades bem diferentes 🖖

Uma curva paramétrica carrega mais informação do que a forma que deixa para trás. Compare (cos t, sin t) com (cos 2t, sin 2t): as duas traçam a mesma circunferência unitária, e nenhum desenho as distinguiria — mas a segunda termina na metade do tempo. Infinitas parametrizações produzem exatamente a mesma imagem. É por isso que o comprimento de arco é uma propriedade do traço, enquanto velocidade e sentido pertencem apenas ao cronograma que o produziu, e por isso a física recorre a parâmetros em vez de gráficos: a órbita de um planeta é uma forma, mas seu movimento ao longo dessa forma é o que importa.

Duas regras guiam um lápis 🖖

Em vez de perguntar qual y corresponde a cada x, uma curva paramétrica põe um relógio t a andar e guia um lápis com duas regras separadas: x(t) define o quanto se desloca para a direita e y(t) o quanto sobe. O traço que você vê é apenas metade da história; o ponto móvel e seu vetor tangente trazem o resto: direção e velocidade. Como o comprimento da seta é a velocidade, a mesma forma pode ser desenhada devagar ou às pressas e parecer idêntica, enquanto o movimento por trás dela é completamente diferente.

O relógio que ignora sua oscilação 🖖

Vire a cicloide x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) de cabeça para baixo e ela se torna a tautócrona: uma esfera sem atrito chega ao ponto mais baixo exatamente no mesmo tempo, não importa de onde você a solte. Christiaan Huygens aproveitou isso em 1673, curvando relógios de pêndulo com faces cicloidais para que o pêndulo marcasse a hora com precisão qualquer que fosse a amplitude do balanço. Uma única curva paramétrica deu à relojoaria seu primeiro pêndulo imune à amplitude.

Problema resolvido na íntegra

Posição e velocidade da curva de Lissajous em t = π 6 passos
A curva de Lissajous x = cos 3t, y = sin 2t em t = π. Determine a posição e a velocidade que o painel apresenta e, em seguida, encontre o único dado que ele não mostra: o quão acentuadamente a curva flete.
1. Duas funções independentes do mesmo parâmetro. Derivá-las constitui a totalidade da velocidade, e a regra da cadeia fornece os fatores 3 e 2.
  
  $x (t) = cos 3 t, y (t) = sin 2 t; \overset{x}{˙} = - 3 sin 3 t, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 t$
2. Calcule primeiro a posição. Ambas as funções trigonométricas resultam em valores exatos, razão pela qual vale a pena escolher π.
  
  $t = π : x = cos 3 π = - 1, y = sin 2 π = 0$
3. Agora a velocidade. Uma das componentes anula-se e a outra atinge o seu máximo — o movimento neste instante é puramente vertical.
  
  $\overset{x}{˙} = - 3 sin 3 π = 0, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 π = 2 ⟹ ∣ \dot{r} ∣ = 2.000$
4. Esse anulamento não é um acaso aritmético: x encontra-se num ponto de retorno, e a curva toca aqui o seu extremo mais à esquerda.
  
  $\overset{x}{˙} = 0 with \overset{y}{˙} \neq = 0 : the curve is moving straight up, and x is at a turning point$
5. A curvatura exige mais uma derivada de cada uma. Ambas são tão simples como a primeira, o que é a grande vantagem da forma paramétrica.
  
  $\overset{x}{¨} = - 9 cos 3 t = 9, \overset{y}{¨} = - 4 sin 2 t = 0$
6. Monte a fórmula padrão. O numerador é um produto vetorial e o denominador é o cubo da velocidade, razão pela qual os pontos rápidos parecem planos, a menos que estejam de facto a fletir.
  
  $κ = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{∣0 - 18∣}{8} = 2.25 ⟹ ρ = \frac{1}{κ} = 0.444$
Resposta

Raio de curvatura 0,444 — a curva flete no interior de um círculo de raio bem inferior a meia unidade. A velocidade e a curvatura são independentes, e este ponto torna essa distinção visível: a velocidade é 2, o máximo que qualquer das componentes atinge, enquanto a trajetória flete tão acentuadamente como em qualquer outro ponto da figura. Um automóvel nesse ponto vai depressa e a curvar acentuadamente, o que é exatamente a combinação que origina carga lateral. Nada na leitura da posição ou da velocidade dá qualquer indício disso, porque a curvatura exige a segunda derivada e o painel fica-se pela primeira. É também por isso que a forma paramétrica vale a pena: como relação entre x e y, esta curva é uma complicação de sexto grau, e como duas funções de t, cada derivada ocupa uma única linha.

$(x, y) = (- 1, 0), ∣ \dot{r} ∣ = 2.000, κ = 2.25, ρ = 0.444$

Referências (1)

Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-26

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Problemas de exemplo

Lissajous 3:2 - x = cos 3t, y = sen 2t, a única predefinição aqui presente que nunca para. A velocidade regista 2,0000 em t = 3,142. Nunca chega a zero em lado nenhum, uma vez que dx/dt e dy/dt nunca se anulam para o mesmo t. É isso que mantém a curva suave onde a astroide e a cicloide apresentam cúspides.
Cicloide - Um ponto no aro de uma roda a rolar, com a predefinição a recair numa cúspide: 0,0002 em t = 6,283. O aro fica momentaneamente em repouso sempre que toca no solo. Arraste t para o topo de um arco e a velocidade será o dobro daquela da própria roda.
Astroide - x = cos³t, y = sen³t, logo a velocidade é exatamente 1,5|sen 2t|. Lê-se 0,0000 em t = 3,142, onde a predefinição recai. O mesmo acontece em três outros pontos. Estes quatro zeros são as quatro cúspides.
Borboleta - Curva polar r = e^cos t − 2cos 4t, traçada por x = r sen t, y = r cos t. A velocidade é 1,6321 em t = 3,142. O valor importa menos do que a sua amplitude. Numa única volta a velocidade varia mais de treze vezes. É esse o motivo para os solavancos do ponto traçador.
Coração - A curva do coração, x = 16 sin³(t) — em t = π a velocidade cai para 0,0002, a ponta do coração
Epicicloide - Uma cardioide, a epicicloide de uma cúspide — velocidade máxima 4,0000 em t = π, mesmo em frente à cúspide
Hipotrocoide tipo deltoide - Uma deltoide — a mesma família 2cos(t) ± cos(2t) da cardioide com um sinal trocado, e tem três cúspides em vez de uma
Espiral de Arquimedes - A espiral de Arquimedes — velocidade 6,3621 em t = 6,283 e a crescer sem limite, porque cada volta é mais longa que a anterior