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Transformação de gráficos: translações, dilatações e reflexões

Escolha um gráfico base e defina os quatro números em y = a·f(bx + c) + d. A página desenha a função original esbatida e a curva movida a cheio, com uma seta de cada ponto marcado até ao seu destino, e calcula a translação, as dilatações e o ponto de chegada de cada um.

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Lição

A teoria — Transformação de gráficos: translações, dilatações e reflexões

Uma transformação de um gráfico move todos os seus pontos segundo a mesma regra. Para y = a·f(bx + c) + d, o ponto (p, q) de y = f(x) passa para ((p − c)/b, a·q + d). Os dois números dentro dos parênteses, b e c, atuam em x antes da aplicação de f e movem o gráfico lateralmente: a sua translação horizontal é −c/b e as suas larguras são multiplicadas por 1/b. Os dois de fora, a e d, atuam na altura depois de f e movem-no para cima e para baixo.

O que significa cada símbolo

a
o fator de dilatação vertical; um a negativo também reflete o gráfico no eixo dos x
b
o número a multiplicar x dentro dos parênteses; as larguras são multiplicadas por 1/b, e um b negativo também reflete o gráfico no eixo dos y
c
o número adicionado a bx dentro dos parênteses
d
a translação vertical
h
a translação horizontal, −c/b, o x em que o interior dos parênteses é zero
Pressupõe
A fórmula é lida na sua própria ordem: primeiro calcula-se bx + c, depois f, seguido da multiplicação por a e, por fim, da adição de d. Escrita ao contrário, a·(f(bx + c) + d), a curva é levantada em a·d em vez de d.
Falha quando
Os quatro números conseguem transladar, dilatar e refletir um gráfico em cada direção, e nada mais. Não o conseguem rodar. Uma parábola rodada num ângulo inferior a meia volta nem sequer é o gráfico de uma função de x, porque, a uma distância suficiente, uma linha vertical interseta-a duas vezes.

Um sinal de menos dentro dos parênteses move o gráfico para a direita 🖖

Prima (x − 3)². Todas as setas apontam para a direita, e o vértice chega a (3, 0). Quando Rina Zazkis e dois colegas questionaram alunos do secundário e professores sobre esta exata parábola em 2003, a maioria achou a translação para a direita contraintuitiva. A nova curva em x assume o valor que x² tinha em x − 3, logo só atinge o valor mais baixo da parábola quando x − 3 = 0, em x = 3: é o gráfico antigo a chegar três unidades atrasado. Tudo o que se faz a x dentro dos parênteses acontece antes de f o processar, e o gráfico mostra a reversão. Subtraia 3 e o gráfico move-se 3 para o outro lado; multiplique por 2, como em sin 2x, e o gráfico chega lá duas vezes mais cedo, de modo que cada largura cai para metade e o ponto do seno em 2π, 6,2832, chega a 3,1416. Os dois números de fora, a e d, atuam na altura depois de f ter feito o seu trabalho, e fazem exatamente o que dizem.

O 6 em √(2x − 6) não é a translação 🖖

Prima 2√(2x − 6) + 1. A curva começa em x = 3. Uma raiz quadrada começa onde o que está por baixo é zero, e 2x − 6 é zero em 3, não em 6. Fatorize o interior primeiro, 2x − 6 = 2(x − 3), e a translação é o número que fica nos parênteses. A primeira linha da tabela de resultados faz exatamente isso, −c/b = −(−6)/2. Existem duas formas corretas de interpretar os movimentos a partir da fórmula: desloque o gráfico 6 para a direita e depois comprima-o para metade da largura em direção ao eixo dos y, o que puxa o início de 6 para 3, ou comprima primeiro e desloque 3. A interpretação que falha é a que toma os números pela ordem em que estão escritos, comprimindo e depois deslocando 6.

(2x)² e 4x² são a mesma curva 🖖

Prima (2x)². O gráfico é a parábola comprimida para metade da sua largura, e a última linha da tabela de resultados escreve-a como 4x², a parábola esticada para quatro vezes a sua altura. São uma única curva, porque (2x)² = 2²·x². Para b > 0 a mesma identidade, (bx)ⁿ = bⁿxⁿ, verifica-se para todas as potências, logo para x², |x|, x³, √x e 1/x qualquer dilatação horizontal pode ser trocada por uma vertical, e nada no gráfico regista que movimento foi feito. A exponencial troca o outro movimento. 2ˣ⁺³ é 2ˣ deslocada 3 para a esquerda, e é também 8·2ˣ, porque 2ˣ⁺³ = 2³·2ˣ. O seno é a única função base nesta página que não troca nenhum: comprimi-la, ou deslocá-la por qualquer valor que não seja um múltiplo de π, move os seus zeros, e uma dilatação vertical deixa todos os zeros onde estavam.

Problema resolvido na íntegra

  1. Mover √x para começar em (3, 1) e passar por (5, 5) 4 passos

    Determine a, b, c e d para que y = a√(bx + c) + d comece em (3, 1) e passe por (5, 5). Depois indique quantas respostas existem. Prima 2√(2x − 6) + 1 para verificar uma delas.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Uma raiz quadrada começa onde o interior é zero, e a altura aí é d. O interior tem de se anular em x = 3, o que fixa c em −3b, e a altura do início fixa d em 1.

    2. Agora o segundo ponto. Em x = 5 o interior é 5b − 3b = 2b, logo a condição é a√(2b) + 1 = 5. Trata-se de uma equação para duas incógnitas.

    3. Escolha b = 2 e a equação dá a = 2 e c = −6, o valor predefinido. Escolha b = 1 e dá a = 4/√2 = 2,8284 e c = −3, que é a curva que a última linha da tabela de resultados imprime para a predefinição.

    4. Concordam porque √(bx − 3b) = √b·√(x − 3), por isso todas as curvas da família são a√b·√(x − 3) + 1, e o segundo ponto fixa apenas o produto a√b, em 2√2.

    Resposta

    Infinitos conjuntos de quatro números, e exatamente uma curva. Qualquer b > 0 funciona, com a = 2√2/√b, c = −3b e d = 1. Tome b = 8: então a = 1 e y = √(8x − 24) + 1, que passa por (5, 5) porque √16 = 4. A pergunta "determine a e b" não tem uma resposta única; a pergunta "determine a curva" tem uma, 2,8284√(x − 3) + 1.

Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.