Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

Indica o valor de uma função trigonométrica e um quadrante, e a página encontra o ângulo, o valor da outra função através da identidade que as liga, e as quatro restantes a partir do ponto P. Ou arrasta o ângulo e vê sec θ, csc θ e cot θ mudarem como comprimentos na figura.

Secante, cossecante, cotangente	$sec θ = \frac{1}{cos θ}, csc θ = \frac{1}{sin θ} cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}$
Identidade pitagórica	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
Dividida por cos²θ	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
Dividida por sin²θ	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

Exemplo resolvido — Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

Ângulo	143,1301°
Pela identidade, com o sinal do quadrante II	−0,8
Seno	0,6
Cosseno	−0,8
Tangente	−0,75
Secante	−1,25
Cossecante	1,6667
Cotangente	−1,3333

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

As funções secante, cossecante e cotangente são sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ e cot θ = cos θ/sin θ, cada uma definida onde o denominador não é zero. As identidades pitagóricas sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ verificam-se em todos os ângulos onde ambos os membros estão definidos.

De onde vem a fórmula

Parte da circunferência. P = (cos θ, sin θ) está à distância 1 de O em qualquer ângulo, logo cos²θ + sin²θ = 1 em todos os quadrantes. Os quadrados não veem os sinais, e é por isso que o triângulo de catetos |cos θ| e |sin θ| dá a mesma equação.
$x_{P}^{2} + y_{P}^{2} = 1 \Rightarrow cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
Divide por cos²θ, ou por sin²θ. Cada divisão é permitida exatamente onde as novas funções estão definidas.
$\div cos^{2} θ : \div sin^{2} θ : 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$
Extrai a raiz e depois escolhe o sinal. Uma identidade dá o quadrado da incógnita, por isso fixa o seu valor absoluto; o quadrante fixa o sinal.
$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ, sec θ = \pm 1 + tan^{2} θ$

Pressupõe: Cada identidade só se verifica onde as suas funções estão definidas: a segunda falha nos múltiplos ímpares de 90°, a terceira nos múltiplos de 180°.

Problemas resolvidos na íntegra

Dado o seno de um ângulo obtuso 2 passos
sin θ = 3/5 e θ é obtuso. Determina exatamente as outras cinco funções.

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1. Um ângulo obtuso fica no quadrante II, onde o cosseno é negativo. De sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $cos θ = - 1 - (\frac{3}{5})^{2} = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5}$
2. As outras quatro são quocientes e inversos:
  
  $tan θ csc θ = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}, = \frac{1}{sin θ} = \frac{5}{3}, sec θ cot θ = \frac{1}{cos θ} = - \frac{5}{4} = \frac{1}{tan θ} = - \frac{4}{3}$
Resposta

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}, sec θ = - \frac{5}{4}, csc θ = \frac{5}{3}, cot θ = - \frac{4}{3}$
Da tangente à secante 2 passos
tan θ = −12/5 e 270° < θ < 360°. Determina sec θ, cos θ e sin θ.

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1. No quadrante IV o cosseno é positivo, e a secante também. De 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $sec θ = + 1 + (- \frac{12}{5})^{2} = \frac{169}{25} = \frac{13}{5}$
2. Depois, cos θ é o inverso, e sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $cos θ = \frac{5}{13}, sin θ = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = - \frac{12}{13}$
Resposta

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$sec θ = \frac{13}{5}, cos θ = \frac{5}{13} \approx 0.3846, sin θ = - \frac{12}{13} \approx - 0.9231$
Da cotangente à cossecante 2 passos
cot θ = 3/4 e 180° < θ < 270°. Determina csc θ, sin θ e cos θ.

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1. No quadrante III o seno é negativo, e a cossecante também. De 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $csc θ = - 1 + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - \frac{5}{4}$
2. Depois, sin θ é o inverso, e cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{5}$
Resposta

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$csc θ = - \frac{5}{4}, sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}$
Valores exatos a 30° 3 passos
Determina exatamente sec 30°, csc 30° e cot 30°.

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1. Metade de um triângulo equilátero de lado 2 tem lados 1, √3 e 2, logo
  
  $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2. Inverte e racionaliza o denominador:
  
  $sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$
3. Confirma com a segunda identidade:
  
  $1 + tan^{2} 3 0^{\circ} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = (\frac{2}{3})^{2}$
Resposta

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$sec 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3} \approx 1.1547, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1.7321$
Simplificar com duas identidades 2 passos
Simplifica (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
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1. Cada parêntese é um membro de uma identidade; substitui-o pelo outro membro:
  
  $(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = sin^{2} θ \cdot csc^{2} θ$
2. e csc θ = 1/sin θ:
  
  $sin^{2} θ \cdot \frac{1}{sin ^{2} θ} = 1$
Resposta

1, em todos os ângulos que não sejam múltiplos de 180°, onde cot θ não está definida.

$(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = 1, θ \neq = k \cdot 18 0^{\circ}$
Uma demonstração com a identidade fatorizada 3 passos
Mostra que 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ e verifica-o em θ = 60°.

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1. Multiplica o numerador e o denominador por sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{sec θ - tan θ} = \frac{sec θ + tan θ}{sec ^{2} θ - tan ^{2} θ}$
2. Por 1 + tan²θ = sec²θ, o denominador é 1:
  
  $= \frac{sec θ + tan θ}{1} = sec θ + tan θ$
3. A 60°, sec θ = 2 e tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3$
Resposta

Os dois membros são iguais onde quer que estejam definidos; a 60° ambos valem 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{sec 6 0 ^{\circ} - tan 6 0 ^{\circ}} = 2 + 3 \approx 3.7321$
Um valor que nenhum ângulo tem 2 passos
Determina todos os ângulos com sec θ = 1/2.

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1. sec θ = 1/2 significaria
  
  $cos θ = \frac{1}{sec θ} = 2$
2. mas cos θ é uma coordenada de um ponto de uma circunferência de raio 1, logo |cos θ| ≤ 1 e, portanto,
  
  $∣ sec θ ∣ = \frac{1}{∣ cos θ ∣} \geq 1$
Resposta

Não há nenhum: sec θ e csc θ nunca tomam um valor estritamente entre −1 e 1. O exemplo recusa 1/2 e mantém θ em 60°, onde o inverso vai no sentido contrário: cos θ = 1/2 e sec θ = 2.

${θ : sec θ = \frac{1}{2}} = \emptyset$
Eliminar o parâmetro 2 passos
Uma curva é dada por x = 3 sec t, y = 2 tan t. Determina a sua equação cartesiana.
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1. Isola as duas funções:
  
  $sec t = \frac{x}{3}, tan t = \frac{y}{2}$
2. e substitui-as em sec²t − tan²t = 1:
  
  $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$
Resposta

x²/9 − y²/4 = 1, uma hipérbole. Como |sec t| ≥ 1, todos os seus pontos têm |x| ≥ 3.

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1, ∣ x ∣ \geq 3$

Três identidades são um triângulo em três tamanhos 🖖

O triângulo OMP tem catetos |cos θ| e |sin θ| e hipotenusa 1, e Pitágoras aplicado a ele é sin²θ + cos²θ = 1. Amplia-o pelo fator 1/|cos θ| e os lados passam a 1, |tan θ| e |sec θ|, os do triângulo OAT, assente na tangente x = 1. Pitágoras em OAT dá 1 + tan²θ = sec²θ. Amplia antes por 1/|sin θ| e os lados passam a 1, |cot θ| e |csc θ|, os de OBS sobre a reta y = 1, o que dá 1 + cot²θ = csc²θ. Em álgebra, a ampliação é dividir a primeira identidade por cos²θ ou por sin²θ: vale a pena decorar uma identidade, e as outras duas são uma linha de cálculo. A figura mostra também onde cada uma falha: a 90° a reta OP é paralela a x = 1 e OAT fica sem terceiro vértice. Thomas Fincke introduziu os termos tangente e secante na sua Geometriae rotundi, de 1583; em latim significam que toca e que corta, e AT está numa reta que toca a circunferência, enquanto OT está numa que a atravessa.

√(1 − sin²θ) não é cos θ 🖖

Carrega em sin θ = 3/5, quadrante II. A identidade dá cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, e 0,64 tem duas raízes quadradas. O símbolo de raiz designa a positiva, por isso √(1 − sin²θ) é |cos θ|, e escrever cos θ = √(1 − sin²θ) está errado para qualquer ângulo dos quadrantes II e III. Aqui cos θ = −0,8. A identidade fixa o valor absoluto e só o quadrante fixa o sinal; é por isso que o enunciado tem de dizer onde fica θ, como faz «θ é obtuso». Com o valor ainda em 0,6, clica em I: θ passa para 36,8699° e cos θ passa a +0,8. Clica em III e a página recusa, porque aí o seno é negativo.

Perto de 90°, sec θ e tan θ são enormes e quase iguais 🖖

Carrega em θ = 89°: tan θ = 57,29 e sec θ = 57,2987, a apenas 0,0087 uma da outra. Tão perto de 90°, não se podem afastar, e a razão é a segunda identidade. Escrita como sec²θ − tan²θ = 1 e fatorizada, diz que (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1, pelo que a diferença é exatamente 1 a dividir pela soma, e 1/114,5887 ≈ 0,0087. Arrasta θ para mais perto de 90° e a soma cresce sem limite enquanto a diferença encolhe para 0; nos próprios 90°, nenhuma das funções está definida. A forma fatorizada é também o passo de uma demonstração clássica: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, porque multiplicar o numerador e o denominador por sec θ + tan θ deixa o denominador igual a 1.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.