Fórmulas da soma e da diferença de ângulos

Define A e B em graus ou, como é habitual nos exames, pelo valor de uma função trigonométrica e pelo quadrante. Escolhe depois A + B ou A − B. Na figura, chega-se a P em dois percursos: cos B ao longo do eixo rodado e ±sen B na perpendicular. A tabela aplica as três fórmulas. Quando A e B são múltiplos inteiros de 15°, apresenta também os valores exatos do seno e do cosseno em radicais, bem como o da tangente, desde que as tangentes envolvidas estejam definidas.

Seno	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Cosseno, sinal contrário	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Tangente	$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$

Exemplo resolvido — Fórmulas da soma e da diferença de ângulos

Soma ou diferença de ângulos	75°
Seno de A	0,7071
Cosseno de A	0,7071
Seno de B	0,5
Cosseno de B	0,866
Fórmula do seno	0,9659
Fórmula do cosseno	0,2588
Fórmula da tangente	3,7321

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Fórmulas da soma e da diferença de ângulos

As fórmulas da soma e da diferença de ângulos permitem calcular o seno, o cosseno e a tangente de A + B e de A − B a partir dos senos e cossenos de A e de B.

De onde vem a fórmula

Roda os eixos de um ângulo A. O novo eixo x tem a direção e o sentido de (cos A, sen A); o novo eixo y, de (−sen A, cos A). Neste referencial, P faz um ângulo B, pelo que as suas componentes ao longo desses eixos são cos B e sen B, respetivamente.
$P = cos B (cos A, sin A) + sin B (- sin A, cos A)$
Determina as coordenadas de P. Em relação ao eixo x original, P faz um ângulo A + B. As suas coordenadas são, portanto, cos(A + B) e sen(A + B). Cada coordenada resulta da soma de dois produtos: os catetos laranja dão a componente horizontal; os azuis, a vertical.
$cos (A + B) sin (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B + cos A sin B$
Substitui B por −B. Como cos(−B) = cos B e sen(−B) = −sen B, só mudam de sinal os termos que contêm sen B.
$cos (A - B) sin (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B$
Divide o seno pelo cosseno. Ao dividir todos os termos por cos A cos B, obtêm-se tangentes e um termo igual a 1. Para o fazer, cos A e cos B têm de ser diferentes de zero.
$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

Problemas resolvidos na íntegra

Um valor exato a partir da soma de ângulos notáveis 2 passos
Calcula o valor exato de sen 75°.

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1. 75° = 45° + 30°, e conhecemos os valores exatos do seno e do cosseno de ambos os ângulos. Pela fórmula da soma:
  
  $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
2. Substituindo os valores e reduzindo os termos ao denominador 4:
  
  $= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$
Resposta

sen 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0.9659$
Uma tangente exata a partir de uma diferença 2 passos
Calcula o valor exato de tg 15° na forma a + b√3.

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1. 15° = 60° − 45°, com tg 60° = √3 e tg 45° = 1:
  
  $tan 1 5^{\circ} = \frac{tan 6 0 ^{\circ} - tan 4 5 ^{\circ}}{1 + tan 6 0 ^{\circ} tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{3 - 1}{1 + 3}$
2. Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por √3 − 1:
  
  $= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$
Resposta

tg 15° = 2 − √3 ≈ 0,2679.

$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 \approx 0.2679$
Um seno e um cosseno em quadrantes diferentes 3 passos
sen A = 4/5, com A obtuso, e cos B = −5/13, com 180° < B < 270°. Calcula sen(A + B), cos(A + B) e tg(A + B) e indica o quadrante de A + B.

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1. Calculamos primeiro os dois valores em falta, usando sen² + cos² = 1 e o sinal correspondente a cada quadrante: o cosseno é negativo no quadrante II e o seno é negativo no quadrante III.
  
  $cos A = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}, sin B = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$
2. Aplicamos depois as fórmulas da soma:
  
  $sin (A + B) cos (A + B) = \frac{4}{5} (- \frac{5}{13}) + (- \frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$
3. Ambos os valores são positivos. A soma A + B está entre 270° e 450°. Como o seno e o cosseno são positivos, tem de estar entre 360° e 450°, no quadrante I. A tangente é o quociente:
  
  $tan (A + B) = \frac{16/65}{63/65} = \frac{16}{63}$
Resposta

sen(A + B) = 16/65 ≈ 0,2462, cos(A + B) = 63/65 ≈ 0,9692, tg(A + B) = 16/63 ≈ 0,254 e A + B pertence ao quadrante I.

$sin (A + B) = \frac{16}{65}, cos (A + B) = \frac{63}{65}, tan (A + B) = \frac{16}{63}$
A soma de dois ângulos a partir das tangentes 2 passos
tg A = 1/2 e tg B = 1/3, com A e B agudos. Determina A + B sem calculadora.

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1. Substituímos as duas tangentes na fórmula:
  
  $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$
2. As duas tangentes são inferiores a 1, pelo que A e B são ambos inferiores a 45° e A + B está entre 0° e 90°. Nesse intervalo, o único ângulo com tangente igual a 1 é 45°.
  
  $0^{\circ} < A + B < 9 0^{\circ}, tan (A + B) = 1 \Rightarrow A + B = 4 5^{\circ}$
Resposta

A + B = 45°, embora A ≈ 26,5651° e B ≈ 18,4349° não sejam ângulos notáveis.

$A + B = 4 5^{\circ}$
Quando tg(A + B) não está definida 3 passos
tg A = 2 e tg B = 1/2, com A e B agudos. O que acontece a tg(A + B) e qual é o valor de A + B?

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1. O denominador da fórmula é zero:
  
  $1 - tan A tan B = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
2. Esse denominador é igual a cos(A + B)/(cos A cos B). Como cos A cos B é diferente de zero, temos
  
  $1 - tan A tan B = \frac{cos ( A + B )}{cos A cos B} = 0 \Rightarrow cos (A + B) = 0$
3. A soma A + B está entre 0° e 180°, e o único ângulo nesse intervalo com cosseno igual a 0 é 90°:
  
  $0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ} \Rightarrow A + B = 9 0^{\circ}$
Resposta

tg(A + B) não está definida, pois A + B = 90°. Para A e B agudos, a igualdade tg A tg B = 1 significa sempre que os ângulos somam 90°.

$A + B = 9 0^{\circ}, cos (A + B) = 0$
Reconhecer a fórmula de uma diferença 2 passos
Calcula o valor exato de cos 80° cos 20° + sen 80° sen 20°.

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1. A expressão cos · cos + sen · sen corresponde à fórmula de cos(A − B), aqui com A = 80° e B = 20°:
  
  $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ})$
2. Como 80° − 20° = 60°:
  
  $= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Resposta

cos 80° cos 20° + sen 80° sen 20° = cos 60° = 1/2.

$cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Demonstrar uma identidade 3 passos
Demonstra que sen(A + B) + sen(A − B) = 2 sen A cos B e verifica a igualdade para A = 45° e B = 30°.

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1. Aplicamos as fórmulas aos dois senos:
  
  $sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
2. Os termos cos A sen B anulam-se:
  
  $= 2 sin A cos B$
3. Para 45° e 30°, o primeiro membro é sen 75° + sen 15° e o segundo é 2 sen 45° cos 30°:
  
  $\frac{6 + 2}{4} + \frac{6 - 2}{4} = \frac{6}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$
Resposta

sen(A + B) + sen(A − B) = 2 sen A cos B para quaisquer A e B; para 45° e 30°, ambos os membros são iguais a √6/2 ≈ 1,2247.

$sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$
Deduzir as fórmulas do ângulo duplo 2 passos
Faz B = A nas fórmulas da soma para obter sen 2A e cos 2A. Calcula depois ambos os valores para sen A = 3/5, com A obtuso.

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1. Com B = A, os dois produtos na fórmula do seno são iguais e a fórmula do cosseno dá uma diferença de quadrados:
  
  $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
2. Como A é obtuso, cos A = −4/5:
  
  $sin 2 A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
Resposta

sen 2A = −24/25 = −0,96 e cos 2A = 7/25 = 0,28. O ângulo 2A ≈ 286,2602° pertence ao quadrante IV, onde o seno é negativo e o cosseno é positivo.

$sin 2 A = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{7}{25}$
Uma equação com uma soma de ângulos 3 passos
Resolve sen(x + 30°) = 2 cos x para 0° ≤ x < 360°.

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1. Aplicamos a fórmula da soma ao primeiro membro:
  
  $sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$
2. Reunimos os termos com cos x no segundo membro e dividimos por cos x. Este não pode ser 0, pois a equação obrigaria também a ter sen x = 0, e nenhum ângulo tem seno e cosseno ambos nulos.
  
  $\frac{3}{2} sin x = \frac{3}{2} cos x \Rightarrow tan x = 3$
3. A tangente tem período 180°:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
Resposta

x = 60° ou x = 240°. Para 60°, ambos os membros são iguais a 1; para 240°, são iguais a −1.

$x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcula o valor exato de cos 105°.

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(√2 − √6)/4 ≈ −0,2588

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
Calcula o valor exato de tg 105°.

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−2 − √3 ≈ −3,7321

$tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$
sen A = 5/13 e cos B = 3/5, com A e B agudos. Calcula cos(A − B).

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56/65 ≈ 0,8615

$cos (A - B) = \frac{56}{65}$
Escreve sen 3x cos x − cos 3x sen x como uma única função trigonométrica.

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sen 2x

$sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin 2 x$
tg A = 3 e tg B = 1/2, com A e B agudos. Determina A − B.

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A − B = 45°

$A - B = 4 5^{\circ}$
Resolve cos(x − 60°) = sen x para 0° ≤ x < 360°.

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x = 75° ou x = 255°

$x = 7 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$

As fórmulas descrevem uma rotação 🖖

Em relação ao eixo rodado de A, o ponto P faz um ângulo B. Para lá chegar, percorremos cos B ao longo desse eixo até Q e depois sen B na perpendicular. Cada percurso tem uma componente horizontal e uma vertical. Na horizontal, temos cos A cos B e depois −sen A sen B, correspondente ao percurso em sentido contrário. Na vertical, temos sen A cos B e depois cos A sen B. A coordenada horizontal de P é cos(A + B); a vertical é sen(A + B). O raciocínio aplica-se a qualquer quadrante, pois os produtos já incluem os sinais: quando um cateto muda de sentido, o produto correspondente muda de sinal. Seleciona sen A=4/5, cos B=−5/13: A é obtuso, B pertence ao quadrante III e Q fica no eixo rodado, para trás de O. As mesmas somas continuam a dar o ponto P, de coordenadas (0,9692; 0,2462). Em linguagem matricial, (cos(A + B), sen(A + B)) resulta de aplicar a matriz de rotação de ângulo A a (cos B, sen B). As duas fórmulas exprimem assim a mesma propriedade: rodar de A e depois de B equivale a rodar de A + B. No século II, Ptolemeu trabalhava com cordas em vez de senos. As suas regras para a corda da soma e da diferença de arcos correspondem às duas fórmulas do seno e permitiram-lhe construir uma tabela de cordas com intervalos de meio grau.

sen(A + B) quase nunca é igual a sen A + sen B 🖖

Seleciona sen 75° = sen(45° + 30°). A soma sen 45° + sen 30° = 0,7071 + 0,5 = 1,2071 ultrapassa o valor máximo de um seno, enquanto sen 75° = 0,9659. Na fórmula, cada seno é multiplicado pelo cosseno do outro ângulo, cujo valor absoluto não excede 1. As duas expressões só coincidem quando A, B ou A + B corresponde a um número inteiro de voltas. A fatorização da diferença mostra porquê: sen A + sen B − sen(A + B) = 4 sen(A/2) sen(B/2) sen((A + B)/2). A igualdade falha, portanto, para quase todos os pares de ângulos. Verifica-se, por exemplo, para 120° e 240°, pois A + B = 360° e ambos os membros são 0.

A fórmula da tangente pode falhar mesmo quando a tangente existe 🖖

Seleciona A = 90°, B = 45°. Temos tg 135° = −1, mas a fórmula exige tg 90°, que não está definida. Por isso, a fórmula também não dá um valor. Na sua dedução, dividiu-se por cos A cos B, e cos 90° = 0. Se dividirmos o numerador e o denominador por tg A, onde esta estiver definida e for diferente de 0, obtemos (1 + cotg A tg B)/(cotg A − tg B). Esta expressão também está definida para A = 90°: como cotg 90° = 0, resulta 1/(0 − 1) = −1. Há ainda um caso em que a própria tangente não existe. Seleciona tg A = 2, tg B = 1/2: o denominador 1 − tg A tg B é 0. Este denominador é igual a cos(A + B)/(cos A cos B), pelo que se anula precisamente quando cos(A + B) se anula. Aqui, A + B = 90° e a tangente não está definida. Para ângulos agudos, tg A tg B = 1 significa que B = 90° − A.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (2)

The sum and difference formulae for sine, cosine and tangent, the exact value of cos 75° from 45° + 30°, and the unit-circle distance proof of cos(α − β): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.2, “Sum and Difference Identities”.
Insight block 1: Ptolemy (about AD 85 to 165) “used formulae for the Crd function which are analogous to our formulae for sin(a+b) and sin(a−b)” to build a table of chords “at intervals of 1/2 a degree”, in the first two books of the Almagest: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Claudius Ptolemy”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (April 1999).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.