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Teorema de Pick: Área por Contagem de Pontos

Coloque os vértices de um polígono nos pontos de uma malha quadrada, clicando ou escolhendo uma predefinição. A página conta os pontos da malha no interior e nas arestas. Depois, calcula a área tanto a partir dessas contagens como das coordenadas dos vértices, e mostra que ambos coincidem. A tabela debaixo do desenho encarrega-se da contagem e da aritmética.

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Lição

A teoria — Teorema de Pick: Área por Contagem de Pontos

Um polígono reticulado é um polígono simples cujos vértices são pontos de uma malha quadrada com coordenadas inteiras. O teorema de Pick afirma que a sua área é A = I + B ÷ 2 − 1, onde I é o número de pontos da malha estritamente no interior e B o número nas suas arestas, vértices incluídos. Uma aresta de um ponto da malha para outro atravessa gcd(|Δx|, |Δy|) passos na malha, logo B é a soma destes passos ao longo de todas as arestas. Um polígono com h buracos tem A = I + B ÷ 2 + h − 1, sendo as arestas dos buracos contabilizadas em B.

O que significa cada símbolo

I
os pontos da malha estritamente no interior do polígono
B
os pontos da malha nas suas arestas, vértices incluídos. Cada aresta contribui com mdc(|Δx|, |Δy|)
A
a área, em quadrados da malha. Sempre um múltiplo de ½
h
o número de buracos. Cada um adiciona um à fórmula

Conte os pontos e obtém a área 🖖

Prima Estrela de 4 pontas. O polígono tem 53 pontos da malha no seu interior e 8 nas arestas, e a sua área é 53 + 8 ÷ 2 − 1 = 56. A fórmula de Gauss, que utiliza as coordenadas dos vértices e não conta absolutamente nada, também dá 56. Esse é o teorema de Pick, publicado por Georg Pick em 1899. Para qualquer polígono simples, uma única fronteira sem cruzamentos e sem buracos, cujos vértices assentem em pontos da malha, a área é I + B ÷ 2 − 1. Aqui, I conta os pontos no interior e B os pontos na fronteira. Arraste um vértice e ambos os números movem-se em simultâneo. Nada de réguas, subtrações de triângulos ou aproximações. A área de um polígono deste tipo é determinada por dois números inteiros.

Qualquer triângulo vazio tem área igual a um meio 🖖

Prima Triângulo estreito. Tem 13 unidades de largura e parece quase uma linha; para além dos seus três vértices, não toca em mais nenhum ponto da malha. A sua área é exatamente ½. Qualquer triângulo reticulado sem outros pontos da malha no interior ou na fronteira tem essa mesma área, por muito comprido ou estreito que seja. É nisto que o teorema se baseia. Qualquer polígono reticulado simples pode ser cortado nesses triângulos, em número de 2I + B − 2, mais dois por cada buraco. Prima Estrela de 4 pontas, ative Mostrar triângulos primitivos e conte-os: 112 triângulos de ½ cada um, perfazendo 56 no total.

A três dimensões as duas contagens não são suficientes 🖖

Prima Reeve, r = 5. Os seus quatro vértices são pontos da malha, e não há qualquer outro ponto no seu interior ou sobre ele, independentemente da sua altura. O volume é a altura dividida por 6: 5 ÷ 6 a uma altura de 5. A tabela lista as alturas de 1 a 10 com dez volumes diferentes ao lado das mesmas contagens, ou seja, nenhum ponto no interior e quatro na fronteira. Uma fórmula que transformasse essas duas contagens num volume teria de produzir dez resultados diferentes a partir de um único dado. John Reeve descobriu este sólido em 1957. É por esta razão que o teorema de Pick não tem uma versão tridimensional do mesmo tipo.

Problema resolvido na íntegra

  1. A área de um quadrado, por contagem 5 passos

    Um quadrado tem vértices em (2, 2), (6, 2), (6, 6) e (2, 6). Encontre a sua área contando os pontos da malha através do teorema de Pick. Depois, verifique o resultado com a fórmula de Gauss e indique quais seriam as contagens se o quadrado fosse duplicado. Prima Quadrado para verificar.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Cada aresta estende-se por 4 unidades ao longo de uma linha da malha. Tem, portanto, mdc(4, 0) = 4 passos, e a contagem da fronteira é:

    2. Os pontos estritamente no interior formam um bloco de 3 por 3:

    3. Teorema de Pick:

    4. A fórmula de Gauss a partir dos vértices, para comparação:

    5. Duplicado, o quadrado passa a 8 por 8, com 7 por 7 pontos no interior e 32 nas arestas:

    Resposta

    A área é 16 por contagem e 16 por coordenadas. Ao ser duplicado, as contagens passam para 49 no interior e 32 nas arestas, e a área é 64, quatro vezes maior. A contagem da fronteira apenas duplicou. Logo, para que a área quadruplicasse, a contagem interior teve de crescer mais depressa, passando de 9 para 49. Um polígono duplicado tem sempre 4I + B − 3 pontos no interior.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.