Rotas de Círculo Máximo

Escolha dois pontos no globo. A página simula a rota mais curta entre eles lado a lado com aquela que mantém um único rumo. Mostra as distâncias e as direções de ambas e divide o trajeto em trechos, como faria um navegador.

Exemplo resolvido — Rotas de Círculo Máximo

Ângulo entre A e B, a partir do centro da Terra	78,78°
Círculo máximo, a rota mais curta	8.760,1 km
Rumo ao partir de A	311,7°
Rumo ao chegar a B	214,1°
Ponto da rota mais afastado do equador	62,26° N
O rumo único para chegar a B	258,4°
Distância percorrida com esse rumo	9.732,5 km
Rumo único, mais longo que o círculo máximo em	972,4 km

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Rotas de Círculo Máximo

Um círculo máximo resulta do corte da superfície de uma esfera por um plano que passa pelo seu centro. O seu arco menor entre dois pontos constitui a trajetória mais curta sobre a esfera, servindo como o equivalente curvo de uma linha reta. Uma loxodrômia (ou linha de rumo) corta todos os meridianos no mesmo ângulo, permitindo navegar com um único rumo de bússola. No mapa de Mercator, ela transforma-se numa linha reta. A menos que os dois locais fiquem no equador ou num mesmo meridiano, o círculo máximo é sempre mais curto e o seu rumo muda constantemente ao longo do trajeto.

O que significa cada símbolo

σ: o ângulo entre os dois lugares a partir do centro da Terra; o círculo máximo mede Rσ de comprimento, onde σ está em radianos
θ: um rumo, medido no sentido horário a partir do norte: θ₁ ao partir de A, θ₂ ao chegar a B
ψ: a latitude isométrica, ln tan(45° + φ/2): a altura da latitude φ no mapa de Mercator de um globo unitário
R: o raio da Terra, aqui assumido como o raio médio de 6.371,0088 km

Pressupõe: Uma esfera com o raio médio da Terra. O planeta apresenta um achatamento aproximado de 1 parte para cada 298. No elipsoide WGS 84, a rota mais curta do aeroporto de Heathrow, em Londres, para Los Angeles perfaz 8.781,1 km pelo método de Vincenty. O valor fica 0,24% maior que os 8.760,1 km da esfera. Numa grande amostra de rotas, a aproximação esférica gera um erro máximo de meio por cento, verificado em trajetos curtos no sentido norte-sul próximos ao equador.

Para chegar a uma cidade a sudoeste, parta rumo a noroeste 🖖

Pressione Londres a Los Angeles. Los Angeles encontra-se 17,5 graus de latitude a sul de Londres e 118 graus a oeste. Um navegador que mantivesse o rumo fixo de 258,4° percorreria 9.732,5 km até lá. A rota mais curta parte rumo a 311,7° (noroeste), atravessa o sul da Groenlândia aos 62,26° N e desce para Los Angeles aos 214,1°, já com proa sudoeste. São 8.760,1 km, o que poupa 972,4 km. Observe a agulha ciano da bússola. Ela gira 97,5° e mesmo assim a rota nunca curva nem à esquerda nem à direita. O que se move é a direção do norte. Como todos os meridianos convergem para o mesmo polo, um círculo máximo corta cada um deles em ângulos diferentes. No mapa plano abaixo, a linha reta representa a rota de rumo único. O círculo máximo curva-se em direção ao polo para encurtar a viagem em quase mil quilómetros.

Um paralelo de latitude não é uma linha reta 🖖

Madrid encontra-se a 40,49° N e Nova Iorque a 40,64° N. A rota de rumo constante entre ambas avança, portanto, quase diretamente para oeste, a 270,2°, e quase ao longo do paralelo: 5.930,8 km. O círculo máximo deixa Madrid a 294,7°, cruza o Atlântico mais a norte, aos 46,30° N, e chega 169,9 km antes. Percorrer um paralelo parece retilíneo. Não é. Longe do equador, um paralelo é um círculo menor traçado em redor do polo. Para se manter nos 40,49° N, teria de curvar para o polo 0,768° a cada 100 km; largue o leme e derivará para sul ao longo de um círculo máximo. O equador é o único paralelo que dispensa essa correção, pois é o único cujo centro coincide com o centro da Terra.

Reduza os trechos à metade e o excesso cai para um quarto, a não ser perto dos polos 🖖

Os navios seguiam círculos máximos muito antes dos pilotos automáticos, dividindo a viagem em vários trechos de rumo fixo entre pontos de passagem. Pressione Quatro trechos. A rota de Londres a Los Angeles aos 299,2°, 267,1°, 236,5° e 219,3° resulta em 74,6 km além do círculo máximo, em contraste com os 972,4 km para um único rumo. A tabela simula o corte sucessivo pela metade, mostrando 972,4, 282,0, 74,6, 18,9 e 4,8 km, fixando a razão perto de 4. Isso acontece porque a distância adicional de um trecho curto cresce com o cubo do próprio trecho. Ao reduzir o trecho à metade, cada um custa a oitava parte do excesso, mas passam a existir o dobro deles. Pressione Singapura a Nova Iorque e essa regra falha. A trajetória passa a 2,53° do polo, região onde um rumo constante contorna o polo em vez de o atravessar. Dois trechos continuam a acrescentar 2.976,7 km contra os 3.160,4 de apenas um. As proporções flutuam de 1,06 a 3,92 e voltam para 2,27. Apenas a partir de 32 trechos, cada um com cerca de 480 km, é que a razão retoma o valor de 4.

Problema resolvido na íntegra

Manter um rumo constante para sempre 4 passos
Parta de um ponto no equador rumo aos 45° (nordeste) e nunca altere essa direção. Qual é a distância percorrida até alcançar o Polo Norte, e quantas vezes girará ao seu redor durante o trajeto? Pressione primeiro Londres a Los Angeles. A página calcula o comprimento dessa loxodrômia, e a mesma regra responde à pergunta.

Abrir este problema na ferramenta
1. O comprimento indicado na página para a rota de rumo constante entre Londres e Los Angeles, dividido numa componente norte-sul e noutra leste-oeste, ambas medidas como ângulos no centro da Terra, em radianos:
  
  $d_{r} = R Δ φ^{2} + (q Δ λ)^{2} = 6371.0088 \times 0.30595 6^{2} + 1.49667 8^{2} = 9, 732.5 km$
2. Ao longo de uma loxodrômia o rumo nunca se altera. Portanto, cada quilómetro percorrido avança o mesmo valor em direção ao norte: cos θ de um quilómetro. A distância do equador até o polo equivale à quarta parte de um meridiano, πR/2:
  
  $d = \frac{π R /2}{cos 4 5 ^{\circ}} = \frac{10 , 007 . 56}{0 . 707107} = 14, 152.8 km$
3. A longitude forma a outra metade. Numa loxodrômia, tan θ = Δλ/Δψ. Assim, a um rumo de 45°, o avanço na longitude iguala a variação da latitude isométrica ψ (em radianos). Cada ganho de 2π representa uma volta inteira ao redor do polo. Faltando um grau para o polo, a 157,3 km de espiral do fim:
  
  $Δ λ = tan 4 5^{\circ} Δ ψ = ψ (8 9^{\circ}) = 4.7413 \Rightarrow n = \frac{4 . 7413}{2 π} = 0.755$
4. Contudo, o valor de ψ nunca para de crescer. Perto do polo, ψ aproxima-se muito do logaritmo de 2 a dividir pela colatitude restante. Logo, cada redução que coloque o objetivo dez vezes mais perto adiciona a mesma grandeza ao resultado e idêntica fração de volta:
  
  $ψ (φ) \approx ln \frac{2}{π /2 - φ} \Rightarrow Δ n = \frac{ln 10}{2 π} = 0.3665$
Resposta

14.152,8 km e infinitas voltas. A distância é finita porque cada quilómetro de espiral ganha 0,707 km em direção ao norte. Consequentemente, a espiral inteira corresponde a √2 vezes um quarto de meridiano. As voltas nunca acabam dado que ψ não tem teto, mas ocorrem no final e de forma condensada. Somam 0,755 de uma volta aos 89° N e 1,488 aos 89,99° N, quando faltam 1,573 km de espiral. A partir desse ponto, acrescenta-se 0,3665 de uma volta a cada passo dez vezes mais próximo. O mapa de Mercator nunca consegue mostrar o fim do trajeto, pois o polo fica infinitamente alto no papel.

$d = 14, 152.8 km, n \to \infty, n (89.9 9^{\circ}) = 1.488$

Percurso de aprendizagem

Geometria numa superfície curva

Referências (2)

Geodesics on the Earth: the great circle as the sphere's shortest path, Clairaut's relation sin α₀ = sin α cos β that fixes how the heading changes along one (on a sphere, the sine rule), and the WGS 84 semi-axes this page's mean radius (2a + b)/3 is taken from: C. F. F. Karney, "Algorithms for geodesics", Journal of Geodesy 87(1), 43–55 (2013).
The ellipsoidal distance the lesson compares the sphere with: Vincenty's iterative inverse formula, used here on the WGS 84 ellipsoid for London Heathrow to Los Angeles (8,781.1 km against the sphere's 8,760.1 km): T. Vincenty, "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations", Survey Review 23(176), 88–93 (1975).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.