Transporte Paralelo numa Esfera

Desenhe uma curva fechada numa esfera e faça uma seta percorrê-la apontando sempre na mesma direção. A página mostra onde a seta acaba, a sua diferença em relação ao início e como a rotação se compara com a área da curva.

Exemplo resolvido — Transporte Paralelo numa Esfera

Lados, como ângulos ao centro	90,00°, 90,00°, 90,00°
Ângulo em A	90,00°
Ângulo em B	90,00°
Ângulo em C	90,00°
A soma dos três ângulos	270,00°
Excesso angular	90,00°
Fração interior da esfera	0,1250
Área interior	1,5708 R²

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Transporte Paralelo numa Esfera

O transporte paralelo desloca uma seta ao longo de um percurso numa superfície sem a rodar: a cada passo a seta mantém-se na superfície e altera-se apenas o estritamente imposto por esta. Numa folha plana, uma seta transportada à volta de qualquer percurso fechado regressa tal como partiu. Numa superfície curva pode regressar rodada, e a rotação iguala a curvatura somada ao longo da área interior ao percurso, menos quaisquer voltas completas. Numa esfera de raio R o valor é área/R² em radianos, o que para um triângulo de arcos de círculo máximo corresponde ao seu excesso angular A + B + C − 180°.

O que significa cada símbolo

E: o excesso angular de um triângulo, A + B + C − 180°; em radianos equivale à área interior em unidades de R²
R: o raio da esfera; para a Terra consideramos aqui 6.371,0088 km
φ: a latitude do círculo percorrido pela seta

Sem nunca rodar, a seta regressa com 90° de desvio 🖖

Clique em Três ângulos retos. O triângulo desce do Polo Norte até ao equador, percorre um quarto da sua extensão e sobe novamente até ao polo. Os seus três ângulos medem 90°. Observe agora a seta laranja. Ao longo de cada aresta, esta mantém sempre o mesmo ângulo em relação ao trajeto, o único significado possível de «não rodar» numa superfície curva, mantendo-se estática em cada vértice. A seta regressa ao polo com uma rotação de 90° no sentido anti-horário face à posição tracejada inicial. O mostrador indica o destino destes 90°. Alguém a percorrer este triângulo rodará 90° em cada vértice, num total de 270°, embora um percurso fechado numa folha de papel resulte exatamente em 360°. Os 90° em falta representam a rotação da seta. Este valor corresponde também à área do triângulo: π/2 em unidades de R², ou seja, um oitavo da esfera.

Apenas a área importa e a Paris de Foucault ocupa quase um oitavo da esfera 🖖

Prima Mesma área, redondo: um paralelo a 48,59° N, onde sen φ = 3/4, por isso a calota superior corresponde a um oitavo da esfera, tal como o octante. Um círculo não tem vértices nem partilha mais nada com esse triângulo, e a seta regressa rodada pelos mesmos 90°. A rotação depende unicamente da área delimitada: 720° multiplicados pela fração da esfera contida no interior, menos quaisquer voltas completas, e o segundo gráfico coloca todos os percursos numa única linha. Prima Paris, 48,836° N, a latitude do pêndulo de Foucault em Efeito Coriolis e Pêndulo de Foucault: a seta regressa com 88,98° no sentido anti-horário. O pêndulo é esta seta. Num dia sideral a Terra transporta a sua oscilação uma vez à volta do paralelo e nada a torce. Face ao solo em rotação, atrasa-se 360° − 88,98° = 271,02°, no sentido horário, que são os 11,32° por hora que a página indica para Paris. A 30° N a calota ocupa um quarto da esfera e a seta regressa invertida.

Uma formiga consegue calcular o raio do seu mundo sem sair dele 🖖

A rotação dividida pela área é a mesma para qualquer percurso fechado numa esfera que abranja menos de metade da sua superfície, e é 1/R²: esta razão é a curvatura. Prima Londres, Tóquio, Los Angeles. Na Terra o triângulo cobre 47.696.300 km² e roda a seta 67,33°, o que corresponde a 1,17508 radianos, e √(47.696.300 / 1,17508) dá 6.371,0 km, o raio da Terra, deduzido através de duas medições feitas na superfície. É necessário um percurso enorme para o notar. Reduza a metade os lados de um triângulo equilátero e, assim que for pequeno, a rotação cai para um quarto (a tabela: 4,059, 4,015, 4,004), logo um triângulo com 100 km de lado roda a seta 22,0 segundos de arco. Os topógrafos compensam exatamente isso desde Legendre: cada ângulo de um pequeno triângulo esférico é maior do que o do triângulo plano com os mesmos lados em quase exatamente um terço do excesso.

Problema resolvido na íntegra

Um triângulo cujos ângulos somam 181° 4 passos
Na Terra, um triângulo equilátero de arcos de círculo máximo tem ângulos cuja soma é exatamente 181°. Que superfície cobre e qual o comprimento dos seus lados? Clique primeiro em Três ângulos retos: o excesso aí é de 90° e a página indica a respetiva área na Terra.

Abrir este problema na ferramenta
1. No octante, o excesso é um quarto de volta e a área corresponde a esse excesso em radianos multiplicado por R²:
  
  $E = 27 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 90.0 0^{\circ} = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{2} R^{2} = 63, 758, 235 km^{2}$
2. Um excesso de 1° corresponde a π/180 radianos, pelo que o cálculo da área se torna imediato independentemente da forma do triângulo:
  
  $A = \frac{π}{180} \times 6371.008 8^{2} = 708, 424.8 km^{2}$
3. Para calcular os lados, recorremos ao facto de o triângulo ser equilátero. Cada ângulo mede 181°/3. A lei dos cossenos para um triângulo esférico com três lados iguais s reduz-se a cos A = cos s / (1 + cos s), permitindo isolar o termo cos s:
  
  $A = \frac{18 1 ^{\circ}}{3} = 60.333 3^{\circ}, cos s = \frac{cos A}{1 - cos A} = \frac{0 . 49495324}{0 . 50504676} = 0.9800147 \Rightarrow s = 11.474 1^{\circ}$
4. e a medida do lado, em quilómetros, obtém-se multiplicando esse ângulo em radianos por R:
  
  $s = 11.474 1^{\circ} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \times 6371.0088 km = 1, 275.9 km$
Resposta

708.425 km², com lados de 1.275,9 km. Um triângulo plano com os mesmos três lados teria ângulos de exatamente 60° e uma área de cerca de 704.900 km², menos 0,50%. Um grau inteiro de excesso exige um triângulo da dimensão de um grande país. Reduza os seus lados a metade e o excesso decresce para 0,249°, sensivelmente a quarta parte. É por isso que os ângulos de um triângulo medido num campo de cultivo somam 180° no que diz respeito à precisão de qualquer transferidor.

$A = 708, 425 km^{2}, s = 1, 275.9 km$

Percurso de aprendizagem

Geometria numa superfície curva

Referências (2)

The turn of a parallel-transported vector round a circle of latitude, 2π(1 − sin φ), equal to the area of the cap it bounds on the unit sphere; the Foucault pendulum as that transport, with Paris turning about 271° against the ground in a sidereal day; and, for a geodesic triangle, the curvature inside equal to the angle sum minus π: O. Stoytchev, "From Foucault's Pendulum to the Gauss–Bonnet Theorem", arXiv:1701.01666 [math.HO] (2017).
The area of a spherical triangle, (A + B + C − π)r², proved from lunes; the law of cosines the results table uses for the angles; and Legendre's theorem, that each angle of a small spherical triangle exceeds the flat triangle's with the same sides by a third of the excess, with its use in measuring the Earth: I. Todhunter, Spherical Trigonometry for the Use of Colleges and Schools, 5th edition, Macmillan, 1886, Arts. 96–97 and 106–108 (Project Gutenberg ebook 19770).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.