O Plano Hiperbólico

O plano de curvatura negativa constante, desenhado no disco de Poincaré. Construa um triângulo e compare os seus ângulos e área com um plano, coloque um ponto ao lado de uma reta e veja quais as retas que, passando por ele, nunca a cruzam, ou meça um círculo em relação a 2πr.

Exemplo resolvido — O Plano Hiperbólico

Lados, distâncias no plano	1,0000, 1,0000, 1,0000
Ângulo em A	52,643°
Ângulo em B	52,643°
Ângulo em C	52,643°
Os três ângulos juntos	157,93°
Área	0,385
Como proporção de π	12,26%
Um triângulo plano igual (Herão)	0,43

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Plano Hiperbólico

O plano hiperbólico é a superfície completa, simplesmente conexa, cuja curvatura gaussiana é o mesmo número negativo em todo o lado; aqui K = −1, portanto as distâncias são expressas em unidades do raio de curvatura e as áreas no seu quadrado. A área de um triângulo é π menos a soma dos seus ângulos, e por um ponto que não pertença a uma reta passam infinitas retas que nunca a cruzam. O disco de Poincaré desenha todo o plano infinito dentro de um círculo: as retas passam a arcos que cruzam a borda em ângulos retos, os ângulos mantêm os valores reais, e os comprimentos encolhem em direção à borda, que está infinitamente distante.

O que significa cada símbolo

K: a curvatura gaussiana, −1 em todos os pontos deste plano
Π(d): o ângulo de paralelismo: as retas que passam por um ponto à distância d de uma reta cruzam-na apenas a menos de Π(d) da perpendicular

Nenhum triângulo aqui contém mais que π, por mais longos que sejam os seus lados 🖖

Pressione Equilátero, lado 1. Os lados são retas deste plano, desenhadas como arcos porque o disco é um mapa, e os ângulos somam 157,93°. O que falta para 180° é a área: 180° − 157,93° = 22,07°, o que em radianos é 0,385. Agora pressione Equilátero, lado 10. Cada ângulo fechou-se para 0,772°, a soma é 2,32°, e a área é 3,101, 98,71% de π, enquanto um triângulo plano com lados de 10 tem 43,30. Como a área é π menos a soma dos ângulos, e os ângulos não podem ser inferiores a zero, nenhum triângulo neste plano contém mais que π, independentemente dos seus lados. A tabela mostra a aproximação: o lado 5 já atinge 84,41% de π, o lado 20 atinge 99,99%. Apenas um triângulo cujos vértices recuaram até ao infinito, com três ângulos de 0°, tem uma área exatamente igual a π.

Por um ponto exterior a uma reta, infinitas retas nunca a cruzam 🖖

Pressione Paralelas a distância 1. A linha preta é uma reta deste plano, e o ponto está a 1 de distância dela. Observe a reta a girar pelo ponto. Ela só cruza a reta preta enquanto se encontra a menos de 40,395° da perpendicular, de um lado ou do outro. Lobachevsky chamou a este ângulo o ângulo de paralelismo, Π(d), e em 1840 descreveu-o como tan(Π/2) = e^−d. As duas retas exatamente em Π(d), a rosa, aproximam-se da reta preta nas suas extremidades mas nunca a alcançam, e todas as retas entre elas, nos restantes 99,21°, também falham o cruzamento. A geometria de Euclides tem apenas uma paralela a passar pelo ponto; esta tem infinitas. Pressione Paralelas a distância 3: Π(d) cai para 5,700°, e 168,60° das direções não a cruzam. Em vez disso, aproxime o ponto e o leque estreita quase até desaparecer, 55,05° para d = 0,5: perto da reta, o plano comporta-se quase como uma folha de papel.

A borda de um círculo cresce exponencialmente, e a maior parte do disco reside perto da margem 🖖

Pressione Círculo de raio 10. A circunferência mede 2π sinh 10 = 69.198,18, contra 62,83 no papel, sendo 1.101 vezes mais longa. A área interior, 2π(cosh 10 − 1) = 69.191,90, é quase o mesmo número, e 63,22% dela encontra-se a menos de 1 de distância da borda. Longe do centro, cada passo de 1 multiplica a borda quase por e. Henderson e Taimina fazem crochê de um modelo deste plano com essa regra: em cada nova carreira, transformam N pontos em N + 1, de modo que cada carreira é um mesmo fator mais longa do que a anterior, e o tecido, contendo mais borda do que uma folha plana tem espaço para acomodar, é obrigado a dobrar e ondular. A sela no Theorema Egregium de Gauss expandia-se da mesma forma. Digite r = 0,5 aqui e o anel indica uma curvatura de −1,0126 (a estimativa só é exata à medida que o anel encolhe), enquanto o anel da sela dava −0,884 com o mesmo raio: este plano tem curvatura −1 em toda a parte, a sela apenas no seu centro.

Problema resolvido na íntegra

Um triângulo conhecido apenas pelos seus ângulos 4 passos
Um triângulo neste plano tem ângulos de 30°, 45° e 60°. Qual é a sua área e qual o comprimento dos seus lados? No papel, a pergunta não tem resposta: qualquer ampliação de um triângulo mantém os seus ângulos. Pressione primeiro Equilátero, lado 1, onde a página apresenta a soma dos ângulos e a área.

Abrir este problema na ferramenta
1. Na predefinição, a área é π menos a soma dos ângulos, em radianos:
  
  $A = π - (A + B + C) = (18 0^{\circ} - 157.9 3^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = 0.385$
2. A mesma regra fornece imediatamente a área deste triângulo:
  
  $A = (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{π}{4} = 0.7854$
3. Para os lados, este plano tem uma segunda lei dos cossenos, que recebe os ângulos e devolve um lado:
  
  $cosh a = \frac{cos 3 0 ^{\circ} + cos 4 5 ^{\circ} cos 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ} sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{0 . 866025 + 0 . 353553}{0 . 612372} = 1.991564 \Rightarrow a = 1.3121$
4. e os outros dois da mesma forma, partindo de B e de C:
  
  $cosh b = \frac{cos B + cos C cos A}{sin C sin A} \Rightarrow b = 1.6231, cosh c = \frac{cos C + cos A cos B}{sin A sin B} \Rightarrow c = 1.8131$
Resposta

Área π/4 = 0,7854, lados 1,3121, 1,6231 e 1,8131. Nenhum outro triângulo tem estes ângulos: se o ampliar, a sua área cresce, logo a soma dos ângulos tem de descer. Não existem triângulos semelhantes de tamanhos diferentes neste plano, e os ângulos de um triângulo trazem consigo uma escala de comprimento, o raio de curvatura.

$A = \frac{π}{4} = 0.7854, a, b, c = 1.3121, 1.6231, 1.8131$

Percurso de aprendizagem

Geometria numa superfície curva

Referências (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.