Cálculo de Ângulos

encontre o ângulo assinalado, utilizando uma regra de cada vez

Exemplo resolvido — Cálculo de Ângulos

Passos na cadeia	2
Regras utilizadas	2
Determinados	5 / 6
Outros caminhos para este ângulo	6, de 1 a 3 passos
Dado	30°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Cálculo de Ângulos

Uma pesquisa de ângulos é o exercício de determinar um ângulo não marcado numa figura. O processo envolve a aplicação de uma única regra de cada vez, recorrendo em cada passo aos ângulos que já descobriu. As regras resumem-se àquele pequeno conjunto fixo que qualquer curso de geometria ensina. Todas elas se traduzem em equações lineares sobre os ângulos desconhecidos. A soma dos ângulos internos de um triângulo é a + b + c = 180, os ângulos opostos pelo vértice são a = b, e assim por diante. Eis por que motivo a simples eliminação de variáveis resolve sempre o exercício. A verdadeira questão não é o valor do ângulo, mas sim saber se a figura tem informação suficiente para o revelar e qual a distância a percorrer depois de perceber que sim.

O que significa cada símbolo

180°: a soma dos ângulos de qualquer triângulo e dos ângulos que preenchem um dos lados de uma linha reta
360°: os ângulos à volta de um ponto
rank: quantos ângulos desconhecidos da figura são efetivamente determinados pelos dados e regras

Pressupõe: Uma figura plana, desenhada sem contradições. Todas as figuras aqui são construídas escolhendo primeiro os seus ângulos e só depois calculando as coordenadas, pelo que não podem ser impossíveis por acidente — uma garantia que as figuras desenhadas à mão nos manuais escolares não oferecem.

Pode responder à pergunta sem que a figura esteja resolvida 🖖

Clique em Um passo e leia o cartão marcado como Determinados. Indica 4 de 6. A figura tem seis ângulos desconhecidos, e os dados fornecidos, em conjunto com as regras, determinam quatro deles. Dois permanecem livres: a ceviana poderia intersetar BC em qualquer ponto de um intervalo sem alterar nada do que lhe foi dito. O ângulo pedido é garantido independentemente disso. Vale a pena refletir sobre este facto, porque a sensação de bloqueio é idêntica em ambos os casos. Um leitor que não consiga descobrir o ∠ADB saltou um passo. Um leitor que não consiga encontrar o ∠BAD não falhou absolutamente nada, uma vez que esse ângulo não tem um valor único aqui. Comparar as incógnitas com o que as regras conseguem determinar separa as duas situações numa só linha e responde a uma pergunta que a simples procura de ângulos nunca responde: se existe, de facto, uma resposta.

Nove regras, e repetir uma delas é o que torna a busca longa 🖖

Todas as cadeias geradas por esta ferramenta baseiam-se em nove regras: a soma dos ângulos internos de um triângulo e de um quadrilátero, ângulos suplementares, ângulos verticalmente opostos, ângulos em torno de um ponto, a igualdade dos ângulos da base num isósceles, ângulos alternos e correspondentes entre paralelas, e a recomposição das partes de um ângulo dividido. Em sete das oito figuras, a resolução raramente aplica a mesma regra duas vezes. O quadrilátero nunca o exige. O cruzamento fá-lo em 0,0% das suas resoluções, e o triângulo cortado em três atinge os 4,7%. Surge então a escada. Aqui, 30,1% das resoluções aplicam uma regra três vezes ou mais. É também a única figura que exige oito passos. Ambos os factos descrevem o mesmo fenómeno: o problema prolonga-se por repetição. Transporta-se um valor de um extremo ao outro do percurso, alternando entre ângulos alternos e ângulos suplementares, a cada curva. O seu tamanho advém da distância a percorrer e não de uma maior complexidade.

Uma resolução longa reflete geralmente a pergunta, não as suas capacidades 🖖

Pressione Outro problema algumas vezes sem tocar na figura. O ângulo pedido costuma ser o mesmo; o que muda são os ângulos fornecidos. Na escada, podemos chegar a ∠A0A1A2 de 32 maneiras diferentes. O caminho mais curto exige um passo, enquanto o mais longo exige oito. Mesma figura, mesmo ângulo, mesma resposta de 30°. Em todas as oito figuras aqui presentes, 63,0% dos ângulos podem ser encontrados por caminhos que diferem em dois passos ou mais, e 32,8% em três ou mais. Portanto, quando uma resolução parece se arrastar, isso geralmente é reflexo dos ângulos que o problema ofereceu e não do seu método, e o cartão Outros caminhos para este ângulo exibe ambos os números para o que estiver na tela. Esse também é o motivo pelo qual comparar o seu raciocínio com o de outra pessoa vale a pena e não deve ser motivo de preocupação: dois caminhos corretos com comprimentos muito diferentes representam a regra geral.

Problema resolvido na íntegra

Um passo, ou oito, para o mesmo ângulo 5 passos
Na escada, o ∠A0A1A2 mede 30°. Encontre-o duas vezes (uma usando os ângulos que facilitam a tarefa, outra usando os que não a facilitam) e explique o que esta diferença significa de facto. Escolha Escada entre paralelas e pressione Outro problema até a pergunta pedir o ∠A0A1A2.

Abrir este problema na ferramenta
1. A resposta não depende de nada disto. O ∠A0A1A2 mede 30° nesta figura e mediria 30° fossem quais fossem os dados. A figura foi construída antes de a pergunta ter sido feita.
  
  $∠ A_{0} A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$
2. Vejamos o percurso mais simples. Se a pergunta lhe der os dois ângulos de cada lado de A1, toda a pesquisa se resume a uma subtração numa reta. Os três ângulos em A1 abaixo da paralela inferior somam 180°, e conhecemos dois deles.
  
  $from ∠ N A_{1} A_{0} = 3 0^{\circ} and ∠ A_{2} A_{1} M = 12 0^{\circ} : 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3. Agora vejamos o percurso mais difícil para o mesmo ângulo. A pergunta dá-lhe um ângulo em A0, um em A2 e um em A3, e nenhum em A1. Terá de transportar cada um deles ao longo do caminho até chegar a A1. O processo requer oito passos, três dos quais atravessam o espaço entre as paralelas.
  
  $from ∠ A_{1} A_{0} R, ∠ A_{3} A_{2} A_{1}, ∠ A_{2} A_{3} M : eight steps, three of them across the parallels$
4. Nenhum dos percursos é mais engenhoso do que o outro. A única diferença reside na escolha dos ângulos iniciais que a pergunta marcou. Esta mesma figura oferece 32 opções distintas para chegar ao mesmo alvo. A opção mais curta exige um passo e a mais longa exige oito.
  
  $what the question handed you both angles at A_{1} one angle at each of A_{0}, A_{2}, A_{3} steps 18$
5. Essa dispersão não é incomum. Em todas as oito figuras aqui presentes, 63,0% dos ângulos podem ser encontrados por caminhos que diferem em dois passos ou mais, e 32,8% em três ou mais.
  
  $32 ways in, 1 \leq steps \leq 8$
Resposta

A extensão de uma pesquisa de ângulos é uma propriedade da pergunta, e não da pessoa que a resolve. Vale a pena ter isto presente por um motivo muito prático. Quando uma resolução se prolonga, a reação mais útil é verificar se não será mais fácil chegar primeiro a um ângulo diferente na figura, em vez de assumir que perdeu um atalho. É também por este motivo que ter duas soluções corretas com extensões muito diferentes representa o cenário mais comum, e não a prova de que uma delas está errada. Revela, igualmente, por que razão um examinador que avalia o raciocínio, e não apenas o resultado final, está a avaliar a parte mais difícil da tarefa.

$same figure, same angle, same 3 0^{\circ}$

Referências (3)

The angle sum, which is the rule every chain on this page leans on hardest: Euclid, Elements, Book I, Proposition 32. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Vertical angles, the rule that is the only bridge between the two halves of the crossing: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
The equal base angles, which is where the chase stops and the algebra starts: Euclid, Elements, Book I, Proposition 5 (the pons asinorum). D. E. Joyce (ed.), Clark University.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.