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Problemas: do enunciado às equações

Leia o enunciado, escolha letras para as incógnitas e escreva as equações descritas. A página indica se as equações traduzem o texto, mostra se falta alguma parte e resolve o sistema passo a passo. Novos números geram um novo enunciado do mesmo tipo.

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Lição

A teoria — Problemas: do enunciado às equações

Um problema de texto descreve quantidades em frases. Traduzi-lo significa escolher incógnitas, ou seja, letras para as quantidades que o enunciado não revela, e escrever cada facto declarado como uma equação. Quando todas as equações são lineares, com cada incógnita multiplicada apenas por um número, o sistema resolve-se por eliminação. Basta somar múltiplos de uma equação a outra até sobrar uma única incógnita. Um sistema pode ter uma, nenhuma, ou infinitas soluções. O processo de eliminação descobre qual dos três cenários ocorre. Se o enunciado permite ou não a resposta encontrada, como um volume negativo ou um mês antes do início de um pacote, é algo que se verifica contra o próprio texto.

O que significa cada símbolo

x, y, z
as incógnitas. O que cada uma representa escreve-se logo ao início, e um sistema só está correto para as letras com que foi escrito
a₁x + b₁y = c₁
uma equação linear. Cada facto no enunciado converte-se numa
0 = c
o que sobra da eliminação quando c ≠ 0: os factos contradizem-se e não há resposta
0 = 0
o que sobra da eliminação quando um facto repete o outro. Não acrescenta nada; se restarem menos equações do que incógnitas, existem infinitas respostas

O frasco de moedas e a mistura são o mesmo problema 🖖

Selecione Um frasco de moedas e escreva as respetivas equações: x + y = 21 para a quantidade, 0,10x + 0,20y = 2,90 para o valor. Agora, selecione Misturar duas soluções: x + y = 45 para o volume, 0,25x + 0,60y = 20,7 para a substância. Temos duas histórias sem nada em comum, mas com o mesmo formato nas equações. Há um total, e o mesmo total em que cada parte pesa segundo o valor de uma unidade. Os bilhetes a dois preços e os investimentos a duas taxas voltam a ter este formato. A álgebra não muda de um para o outro; o que o problema avalia é se consegue ver qual o total que está a ser ponderado e porquê.

Uma solução correta pode responder à pergunta errada 🖖

Selecione Dois trabalhadores. O trabalho fica concluído com 4 h de um e 10 h de outro, ou com 6 h e 5 h. Se apenas as horas forem as incógnitas, as equações deixam de ser lineares: 4/A + 10/B = 1. Escritas em taxas, ou seja, a fração da tarefa que cada um faz numa hora, ficam assim: 4x + 10y = 1 e 6x + 5y = 1, o que dá x = 1/8 e y = 1/20. A pergunta quer saber o tempo que cada um levaria sozinho, e a resposta é o inverso disto: 8 h e 20 h, e não 1/8 e 1/20. Selecione Alcançar e atribua ao tempo do Jonas a letra pensada para a Lena. O sistema continua a resolver-se perfeitamente. No entanto, a página avisa que as suas equações só se ajustam ao enunciado se o x e o y trocarem de lugar, porque a resposta acaba por dar a cada condutor o tempo do outro.

Alguns sistemas não têm resposta, e a eliminação explica porquê 🖖

Selecione Planos que não se cruzam. O ginásio A custa 25 € de inscrição e o ginásio B 55 €, cobrando ambos 19 € por mês. Elimine uma incógnita e tudo o que tem letra desaparece, restando 0 = −30 (ou 0 = 30, se o ginásio B for escrito primeiro). A diferença de 30 € existe no primeiro dia e nenhum número de meses a consegue fechar. Selecione Um plano, duas versões. O pacote do ginásio B custa 166 € por 6 meses, o que é exatamente os 10 € do ginásio A somados a seis meses de 26 €, e a partir daí ambos cobram 26 €. Na eliminação, obtém 0 = 0: as duas equações representam uma só reta. A equação do ginásio B apenas descreve o valor a pagar a partir do mês 6, logo é o enunciado, e não a eliminação, que dita que qualquer mês do sexto em diante serve como resposta. Uma contradição e a falta de factos independentes são as duas formas de um sistema linear falhar em ter uma única solução. Cada uma tem um motivo claro no texto.

Problema resolvido na íntegra

  1. O frasco de moedas, escrito e resolvido 5 passos

    Um frasco contém 21 moedas, todas de 10 cêntimos ou 20 cêntimos, que valem 2,90 € no total. Escreva as equações e descubra quantas moedas existem de cada tipo. Selecione Um frasco de moedas e escreva-as para verificar.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Escolha as incógnitas e indique o que cada uma representa:

    2. Um facto conta as moedas, o outro soma o seu valor em euros:

    3. Multiplique a segunda equação por 10 para remover as casas decimais, e subtraia a primeira:

    4. Substitua o y de volta na primeira equação:

    5. Confirme face ao enunciado, e não apenas nas equações:

    Resposta

    Existem 13 moedas de dez cêntimos e 8 de vinte cêntimos. O passo fundamental é a verificação final. São 21 moedas que valem 2,90 €, que era exatamente o que o texto dizia, em vez de ser um par de números que apenas satisfaz as equações que alguém escreveu.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.