Construções com Régua e Compasso

Duas ferramentas e mais nada: uma régua que desenha uma reta a passar por dois pontos, e um compasso que desenha um círculo com centro num ponto a passar por outro. Reproduza as construções clássicas passo a passo, teste que polígonos regulares e que trisseções são possíveis, ou construa algo você mesmo. A tabela por baixo do desenho calcula os comprimentos e a álgebra.

Exemplo resolvido — Construções com Régua e Compasso

Operações de compasso	2
Operações de régua	1
Total de operações	3
Raio de ambos os círculos	1,0000
Distância MA	0,5000
Distância MB	0,5000
Ângulo entre as retas	90,0000°
Maior desvio do exato	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Construções com Régua e Compasso

Uma construção usa duas operações: desenhar a reta a passar por dois pontos já construídos, e desenhar o círculo com centro num ponto construído a passar por outro. Onde retas e círculos se cruzam, novos pontos são construídos. Um comprimento é construtível quando alguma sequência finita destes passos o produz. A começar num comprimento unitário, os comprimentos construtíveis são exatamente aqueles alcançados pelas quatro operações aritméticas e por raízes quadradas, pelo que um número que precise de uma raiz cúbica, ou de qualquer outra coisa, não pode ser construído.

O que significa cada símbolo

n: o número de lados de um polígono regular
φ(n): o totiente de Euler, a contagem de números inteiros de 1 a n que não têm outro fator comum com n além de 1
F_k: um primo de Fermat, 2^(2^k) + 1. Apenas 3, 5, 17, 257 e 65537 são conhecidos
cos θ: o comprimento que constrói um ângulo θ. Construir o ângulo e construir este número são o mesmo problema
deg: o grau de cos(360°/n) sobre os racionais, φ(n) ÷ 2. O polígono de n lados pode ser construído exatamente quando for uma potência de 2

Gauss construiu o polígono de 17 lados aos 18, e ninguém construirá alguma vez o de 7 🖖

Prima O polígono de 17 lados e veja-o ser construído: 41 círculos e 30 retas nesta construção, e os dezassete vértices ficam igualmente espaçados até quinze casas decimais. Carl Friedrich Gauss descobriu em 1796, aos dezoito anos, que pode ser feito, e diz-se que pediu um na sua lápide. Ele demonstrou que um polígono regular de n lados pode ser construído sempre que n seja uma potência de 2 vezes um produto de primos de Fermat distintos (os conhecidos são 3, 5, 17, 257 e 65537), e Pierre Wantzel provou em 1837 que nenhum outro n funciona. Prima Porquê não o de 7 lados. O sete é primo mas não é um primo de Fermat, e a tabela desdobrável lista cada n de 3 a 100: apenas 24 deles podem ser construídos. O polígono de 9 lados também falha, porque o 3 aparece duas vezes.

Pode trissectar 90° em cinco movimentos e 60° nunca 🖖

Prima Trissectar 90°: 30° é um ângulo do triângulo equilátero, e cinco operações dividem o ângulo reto em três. Agora prima Trissectar 60°. Um terço deste é 20°, e cos 20° é uma raiz da cúbica 8c³ − 6c − 1 = 0. Um compasso e uma régua apenas podem produzir comprimentos alcançados pelas quatro operações aritméticas e por raízes quadradas, e uma cúbica com coeficientes racionais e sem raiz racional não tem nenhuma raiz que raízes quadradas consigam alcançar. A tabela verifica todos os oito candidatos racionais e nenhum funciona. Wantzel publicou esta demonstração no mesmo artigo de 1837, encerrando um problema que os gregos tinham deixado em aberto durante dois mil anos. Nos ângulos desta página, múltiplos inteiros de 3°, um ângulo pode ser trissectado exatamente quando é um múltiplo de 9°.

Um compasso que se esquece da sua abertura não perde nada 🖖

O terceiro postulado de Euclides permite-lhe desenhar um círculo apenas com centro num ponto a passar por outro, um compasso que, como se costuma dizer, colapsa no momento em que é levantado, pelo que não pode transportar uma distância de um lugar para outro. Parece uma limitação incapacitante, mas a sua segunda proposição mostra que não o é: qualquer comprimento pode ser copiado de qualquer forma, com algumas retas e círculos extra. Abra Copiar um ângulo e alterne entre o compasso rígido e o colapsável. Nesta gravação o rígido precisa de 3 círculos e 1 reta, e o colapsável de 11 círculos e 5 retas, para fazer exatamente o mesmo trabalho. Tudo o que um compasso consegue construir, o outro também consegue. O esquecido apenas torna cada construção mais longa.

Problema resolvido na íntegra

De onde vem cos 72° no pentágono 5 passos
Um pentágono regular é inscrito num círculo de raio 1 pela construção nesta página: tome o ponto médio M do raio OH₂, desenhe o círculo com centro em M a passar por A, o topo do círculo, e deixe-o cruzar o diâmetro em N. Encontre o comprimento ON, cos 72°, e o lado do pentágono. Prima Pentágono regular para verificar.

Abrir este problema na ferramenta
1. M é o ponto médio de um raio, logo:
  
  $O M = \frac{1}{2}$
2. A está no topo do círculo, à distância de um ângulo reto de H₂, pelo que Pitágoras nos dá MA:
  
  $M A = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{2} = 1.1180$
3. N encontra-se no círculo com centro em M a passar por A, logo MN = MA, e N está do lado oposto a O:
  
  $O N = M N - O M = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 0.6180$
4. ON é o lado do decágono regular, e a sua metade é o cosseno do ângulo central do pentágono:
  
  $cos 7 2^{\circ} = \frac{O N}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090$
5. O lado do pentágono AN é a hipotenusa do triângulo retângulo OAN:
  
  $A N = 1^{2} + O N^{2} = 1 + 0.3820 = 1.1756 = 2 sin 3 6^{\circ}$
Resposta

ON = 0,6180, cos 72° = 0,3090 = (√5 − 1) ÷ 4, e o lado do pentágono é 1,1756, que é 2 sen 36°. Cada passo usou apenas um círculo, uma reta e uma raiz quadrada, que é a exata razão pela qual o pentágono pode ser construído: o seu cosseno precisa de √5 e nada pior.

$cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090, A N = 1.1756$

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.