Efeito Coriolis e Pêndulo de Foucault

Escolha uma latitude e a página faz oscilar o pêndulo de Foucault sobre um chão que gira com a Terra. O movimento é integrado ao vivo, com o lapso de tempo que definir. Em baixo, uma bola atravessa um carrossel em rotação, vista do chão e do próprio carrossel, e uma pedra cai num poço de mina. Todos os valores são calculados a partir da rotação da Terra Ω.

Exemplo resolvido — Efeito Coriolis e Pêndulo de Foucault

Velocidade a que o plano gira face ao chão	11,32°/h
Tempo para uma volta completa do plano	31,79 h
O quanto gira em 24 horas	271,76°
Uma oscilação, ida e volta	6,65 s
A mesma, em unidades de g	1,12×10⁻⁶ g
Desvio lateral ao atravessar uma bacia de 0,2 m	0,022 mm
Tempo de queda na profundidade do poço, sem ar	5,686 s

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Efeito Coriolis e Pêndulo de Foucault

A aceleração de Coriolis é o termo −2Ω × v que surge quando o movimento é descrito a partir de um referencial a girar com velocidade angular Ω, neste caso o chão. É perpendicular à velocidade, pelo que altera a direção de um corpo e nunca a sua rapidez, e não há nenhuma força que a produza. Para o movimento ao longo do solo conta apenas a parte da rotação da Terra em torno da vertical local, Ω sin φ. É esta que faz girar o plano de um pêndulo de Foucault a essa taxa e define o parâmetro de Coriolis f = 2Ω sin φ. A componente ao longo do solo, Ω cos φ, empurra o movimento vertical para leste ou para oeste.

O que significa cada símbolo

Ω: a rotação da Terra, 7,292115×10⁻⁵ rad/s: uma volta face às estrelas em 23,93 h
φ: latitude, negativa a sul do equador
f: parâmetro de Coriolis, 2Ω sin φ: a aceleração lateral de um corpo a mover-se ao longo do solo, por metro por segundo da sua velocidade
Ro: número de Rossby U/(fL): a aceleração que um movimento tem por si só a dividir pela sua aceleração de Coriolis

Pressupõe: Pequenas oscilações, pelo que o movimento do pêndulo consiste em duas oscilações perpendiculares. A parte centrífuga da rotação da Terra está englobada em g, que aponta ao longo da linha de prumo, com g = 9,80665 m/s² em todo o lado. A pedra cai no vácuo. O carrossel é plano e não tem atrito, por isso nada empurra a bola depois de esta ser rolada.
Falha quando: Um pêndulo real cuja oscilação se abriu numa ligeira elipse sofre precessão por si próprio, a uma taxa que cresce com a largura da elipse. É por isso que Foucault largou o seu peso queimando o fio que o segurava de lado, sem lhe dar qualquer empurrão lateral. O ar abranda uma bola em queda: a de Reich demorou cerca de 6,01 s a cair, contra 5,69 s no vácuo. Ao longo de centenas de quilómetros, f varia com a latitude, que esta página mantém fixa.

Em Paris o plano leva 31,79 horas para dar a volta, não 24 🖖

Prima Observatório Paris 1851 e deixe a animação correr a uma hora por segundo. Nada faz o plano oscilar em torno da vertical. É o chão que gira por baixo, e um chão gira apenas com a parte da rotação da Terra que se alinha com a sua própria vertical. Na latitude φ, isso corresponde a Ω sin φ. No Polo Norte isso é a totalidade, e o plano dá uma volta em 23,93 h, acompanhando a linha tracejada de uma vez por dia. A 48,836° N o valor é de 11,32°/h em vez de 15,04°/h. Uma volta completa leva 31,79 h, e ao fim de 24 horas o plano avançou apenas 271,76°. Léon Foucault afirmou precisamente isso na nota publicada nos Comptes rendus a 3 de fevereiro de 1851. Apresentou a lei do seno e relatou que nas “nossas latitudes” o plano não completa uma volta em vinte e quatro horas. No equador o chão não gira de todo em torno da vertical. O plano permanece onde foi largado enquanto o peso oscilar. A sul, o chão gira no sentido inverso, e Sydney regista 8,38°/h no sentido anti-horário.

Medida face ao seu próprio movimento, a água num lavatório sente mais o efeito de Coriolis do que o pêndulo de 11 m de Foucault 🖖

No pêndulo de 11 m em Paris, a força lateral de Coriolis nunca excede 1/8 600 da tração que faz o peso oscilar. A água que atravessa uma bacia a 0,1 m/s sofre uma aceleração de Coriolis de 1,12×10⁻⁶ g e desvia-se 0,022 mm no seu percurso de 0,2 m. Face ao próprio movimento da água, isso corresponde a um número de Rossby de 4 550, comparado com os 8 600 do pêndulo na tabela abaixo. O que os separa é tudo o resto. Apenas a Terra faz girar o plano de um pêndulo, pelo que cada oscilação acrescenta a mesma pequena rotação, e uma hora soma 11,32°. A água numa bacia mantém qualquer turbilhão com que foi vertida, e o escoamento concentra-o, da mesma forma que um patinador gira mais rápido quando encolhe os braços. O enchimento, uma corrente de ar ou uma parede quente decidem o sentido muito antes da Terra. Em 1962, Ascher Shapiro do MIT fez um tanque esvaziar no sentido anti-horário ao enchê-lo com um turbilhão no sentido horário. Cobriu-o, manteve a temperatura da sala constante e esperou 24 horas. O flutuador sobre o ralo só começou a girar decorridos 12 a 15 minutos de um escoamento de 20 minutos. Um sistema meteorológico com 1 000 km de diâmetro, a mover-se a 10 m/s, encontra-se no outro extremo da tabela com um número de Rossby de 0,0911. Aí, é a rotação que domina.

Uma pedra atirada num poço de mina aterra a leste, não a oeste 🖖

Se o chão se afastasse sob uma pedra em queda, uma que fosse largada 158,5407 m acima do fundo de um poço em Freiberg aterraria 1,67 km a oeste. Essa é a distância que o chão ali viaja para leste nos 5,686 s que a queda dura. Prima Poço de Freiberg, 1831: aterra 27,65 mm a leste. A pedra movia-se com o topo do poço quando foi largada. Como o topo está mais longe do eixo da Terra do que o fundo, a pedra começa com uma velocidade para leste ligeiramente superior à do chão em direção ao qual cai. Descrita a partir do chão em rotação, essa é a aceleração de Coriolis. Corresponde a 2Ω cos φ vezes a velocidade descendente da pedra, e aponta para leste em ambos os hemisférios. Entre 19 de agosto e o início de setembro de 1831, Ferdinand Reich deixou cair 106 bolas no Drei-Brüder-Schacht, uma queda média de 158,5407 m a 50°53′22,81″ N, e mediu 28,396 mm a leste. Também mediu 4,374 mm para sul, mas não confiou no resultado. Qualquer termo para sul na teoria é da ordem de Ω²ht², cerca de 0,03 mm aqui. A pedra responde à componente da rotação ao longo do solo, Ω cos φ, o inverso do pêndulo: nula no polo, máxima no equador.

Problema resolvido na íntegra

Dispare uma bola a direito para cima no poço: onde é que ela desce? 5 passos
Em Freiberg, uma bola é disparada diretamente para cima a partir do fundo do poço de Reich, apenas com a rapidez necessária para chegar ao topo, 158,5407 m acima, e cai de volta. Onde aterra, em relação ao local de onde foi disparada? Prima Poço de Freiberg, 1831 para verificar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. A pedra da página, atirada do topo, cai durante 5,686 s e aterra 27,65 mm a leste. A bola partilha a mesma latitude e o mesmo g:
  
  $t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 158 . 5407}{9 . 80665} = 5.686 s, x = \frac{1}{3} g Ω t^{3} cos φ = 27.65 mm east$
2. Para subir 158,5407 m deve partir a v₀ = √(2gh), e fica no ar durante 2v₀/g:
  
  $v_{0} = 2 g h = 2 \times 9.80665 \times 158.5407 = 55.76 m/s, T = \frac{2 v _{0}}{g} = 11.37 s$
3. No referencial em rotação a aceleração de Coriolis é −2Ω × v. A sua componente para leste é −2Ω cos φ vezes a velocidade ascendente, v₀ − gt: para oeste na subida, para leste na descida.
  
  $a_{E} = - 2Ω cos φ (v_{0} - g t)$
4. Integrado uma vez, isso dá a velocidade lateral. No topo, t = v₀/g, a bola desvia-se para oeste a Ω cos φ v₀²/g. A descida demora exatamente o mesmo tempo, e o empurrão para leste repõe essa velocidade a zero no instante em que a bola aterra, sem a trazer de volta ao ponto de partida.
  
  $v_{E} (t) = - 2Ω cos φ (v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}) : v_{E} (\frac{v _{0}}{g}) = - \frac{Ω cos φ v _{0}^{2}}{g} = - 14.59 mm/s, v_{E} (\frac{2 v _{0}}{g}) = 0$
5. Integrado novamente ao longo de todo o voo, T = 2v₀/g:
  
  $x_{E} (T) = - 2Ω cos φ (\frac{1}{2} v_{0} T^{2} - \frac{1}{6} g T^{3}) = - \frac{4}{3} Ω cos φ \frac{v _{0}^{3}}{g ^{2}} = - 110.58 mm$
Resposta

Aterra 110,58 mm a oeste de onde foi disparada. É quatro vezes a distância a que a pedra em queda aterra a leste, e chega sem qualquer velocidade lateral. O rácio é exatamente 4 a qualquer altura e latitude, dado que ambas as distâncias variam com Ω cos φ h^3/2/√g.

$x_{E} = - 110.58 mm = - 4 \times 27.646 mm (west)$

Percurso de aprendizagem

Rotação e momento angular

Referências (3)

Foucault's own announcement: the pendulum's plane turns against the floor at the Earth's rotation times the sine of the latitude, so that at Paris it does not make a whole turn in twenty-four hours; first a 2 m pendulum in a cellar, then 11 m in the Meridian Room of the Paris Observatory: L. Foucault, "Démonstration physique du mouvement de rotation de la terre au moyen du pendule." Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 32 (1851), 135–138.
The eastward fall measured: 106 balls dropped down the Drei-Brüder-Schacht at Freiberg in August and September 1831, a mean fall of 158.5407 m at 50°53′22.81″ N, landing 28.396 mm east (and 4.374 mm south, which Reich doubted), against his own computed 27.512 mm: F. Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde, angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg. Freiberg: J. G. Engelhardt, 1832, pp. 46–47.
A sink's drain direction is set by how it was filled, unless everything else is removed: Shapiro filled a tank with a clockwise swirl, covered it, kept the room's temperature steady, let it settle for 24 hours, and saw it drain counterclockwise: A. H. Shapiro, "Bath-Tub Vortex." Nature 196 (1962), 1080–1081. doi:10.1038/1961080b0

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.