O Teorema da Raquete de Tênis

Pressione Eixo central, ε 10⁻³. O corpo tem momentos de inércia na proporção 1 : 2 : 3 e gira uma vez por segundo no eixo 2, com um milésimo dessa rotação em cada um dos outros dois. Aos 2,37 s ele fica de lado e um instante depois de cabeça para baixo. Decorridos mais 4,38 s ele repete o movimento, e continuará a fazê-lo enquanto a simulação durar. A seta vermelha é seu momento angular L e ela não se move. Após 60 s a energia e |L| mantêm 1,000000 de seus valores iniciais, e L vagou pelo espaço por apenas 5,9×10⁻¹⁰ de seu comprimento, o que é o próprio erro do integrador. Nenhum torque atua, e inverter a posição não custa energia. O segundo painel mostra por que isso ocorre no eixo 2 e em nenhum outro. Sendo E e |L| fixos, a direção de L vista do corpo só pode percorrer uma curva da família ali desenhada. Em torno de ±1 e ±3 elas são pequenos laços fechados, de modo que uma pequena oscilação continua pequena. Em ±2 elas se cruzam formando uma sela, e a curva que passa por um ponto próximo a +2 se estende até −2. Pressione Maior momento, ε 10⁻³: a mesma oscilação no eixo 3 é uma linha plana no terceiro painel, e nenhuma inversão ocorre.

Pressione Eixo central, ε 10⁻⁶, o mesmo arremesso feito com mil vezes mais precisão. As inversões agora acontecem a cada 8,19 s em vez de 4,38 s. A tabela sob os resultados dá continuidade ao padrão: abaixo de 10⁻², cada fator de dez a menos de oscilação acrescenta os mesmos 1,27 s, até chegar a 10⁻¹². O terceiro painel revela a origem disso. Uma oscilação no eixo intermediário cresce como e^λt, uma linha reta em escala logarítmica. Após cada inversão ela encolhe de volta a cerca de ε, de cabeça para baixo, e precisa crescer novamente antes da próxima. A queda para ε leva cerca de ln(1/ε)/λ e a subida de volta leva o mesmo tempo, logo cada fator de dez em ε custa 2 ln 10/λ, o que resulta em 1,27 s com λ = 3,628 s⁻¹. Altere os momentos e a tabela acompanha: abaixo de uma oscilação de 10⁻², o passo fica a menos de meio por cento de 2 ln 10/λ. É por isso que um celular capota quando você o lança ao ar. Pressione Um celular arremessado: Michael Wheatland e colegas calcularam os momentos de um iPhone 8 Plus a partir de sua massa e tamanho como 1,04, 4,23 e 5,25 ×10⁻⁴ kg·m², e a 17,002 rad/s o seu λ é de 13,125 s⁻¹. Cada fator de dez de cuidado lhe rende 0,35 s, e uma oscilação de 0,2 o inverte aos 0,32 s. O giroscópio do celular deles registrou a mesma inversão durante um arremesso real.

Pressione Perda de energia, eixo 1. O eixo 1, de menor momento, era estável instantes atrás. Agora sua rotação se abre lentamente, inverte aos 40,60 s e se estabiliza no eixo 3 com 0,333712 da energia com que começou e todo o seu momento angular intacto. O atrito interno consegue extrair energia de um corpo em rotação, mas não altera seu L total. Para um L fixo, a energia L²/2I é mínima onde I é máximo. Uma rotação no eixo 1 carrega a maior energia que L permite. Como consequência, uma perda arrasta L pela esfera no segundo painel, atravessando a sela, até ±3. O Explorer 1 enfrentou isso em 1958. Tratava-se de um corpo longo e fino projetado para girar no seu eixo longo, o de menor inércia. Ele carregava quatro antenas flexíveis e se recusou a manter essa rotação, um caso que abre o artigo de 2001 de Michael Efroimsky sobre asteroides oscilantes. A perda de energia nesta página é um modelo com exatamente essas duas propriedades, extração de energia e L intocado, em uma taxa que a página escolheu; não é uma modelagem das antenas. Sem a perda, as inversões nos dois primeiros blocos continuam indefinidamente. Com ela, como J. A. de la Torre e Pep Español notaram, a porca-borboleta de Dzhanibekov teria sido encontrada girando em torno de seu eixo principal caso fosse observada por tempo suficiente.