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Corrida de Rolamento e Momento de Inércia

Coloque até quatro corpos numa rampa e solte-os juntos. Escolha a forma, a massa e o tamanho de cada um, incline a rampa e defina o atrito. A tabela abaixo dos gráficos calcula a aceleração de cada corpo, o seu tempo e para onde foi a energia.

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Lição

A teoria — Corrida de Rolamento e Momento de Inércia

O momento de inércia I traduz a dificuldade de pôr um corpo a girar, do mesmo modo que a massa traduz a dificuldade de o empurrar. Para um corpo de massa m e raio r, a expressão é I = k m r². O fator de forma k depende apenas de como a massa está distribuída: 2/5 para uma esfera maciça, 1/2 para um cilindro maciço, 2/3 para uma esfera oca fina, e 1 para um aro. Um corpo que rola sem deslizar desenrola uma medida da sua circunferência perfeitamente igual à distância percorrida, v = ωr. Numa rampa de ângulo θ, a sua aceleração equivale a a = g sin θ ÷ (1 + k).

O que significa cada símbolo

k
o fator de forma, I ÷ mr². A única propriedade do corpo que afeta o seu tempo enquanto ele rola; no momento em que passa a deslizar, o valor k deixa de intervir
I
o momento de inércia, em kg·m². O equivalente rotacional da massa
a
a aceleração ao longo da rampa. O valor é g sin θ para um escorregar sem atrito, e inferior para qualquer corpo que role
μ_s
o atrito estático, o máximo que o ponto de contato suporta sem escorregar. Rolar exige que μs ≥ tan θ · k ÷ (1 + k)
μ_k
o atrito cinético, a resistência que o contato oferece a partir do momento em que desliza. Geralmente inferior a μs

Massa e tamanho se cancelam, e o formato decide a corrida 🖖

Pressione Cilindro pesado vs. leve. Um cilindro pesa 5 kg e o outro 0,2 kg. Um deles tem cinco vezes o raio do outro, e ambos cruzam a linha juntos aos 1,537 s. Um corpo mais pesado sofre uma atração gravitacional maior, mas é proporcionalmente mais difícil de acelerar. Já um corpo maior da mesma forma tem um momento de inércia r² vezes superior, só que gira 1/r vezes mais rápido. Logo, a energia que ele aplica na rotação, ½Iω² = ½kmv², acaba por ser proporcional à sua massa de qualquer forma. O que resta é um único número a representar a forma, k = I ÷ mr², e a aceleração é g sin θ ÷ (1 + k). Pressione Corrida clássica: a esfera maciça (k = 0,4) vence o cilindro maciço (0,5), que vence a esfera oca (0,667), que vence o aro (1). Qualquer esfera maciça que role sem deslizar demora 1,485 s nesta rampa.

Um aro gasta metade da sua energia na rotação 🖖

As barras de energia mostram o destino da altura perdida de cada corpo. Tudo o que rola precisa dividir essa energia entre a descida da rampa e a rotação. A porção destinada a girar equivale a k ÷ (1 + k): 28,6% para a esfera maciça e exatos 50% para o aro, cuja massa se concentra inteiramente na borda. A energia gasta a girar não se converte em velocidade, e esse é o único motivo da derrota do aro. Pressione Latas de sopa. A lata com líquido vence em 1,316 s. No limite que a página modela, o líquido não gira junto com a embalagem: apenas o metal gira, e 9,1% da energia vai para a rotação. Defina o conteúdo da mesma lata como sólido e o tempo subirá para 1,563 s. A lata vazia, tratada neste modelo com extremidades abertas e logo idêntica a um aro, chega em último.

No gelo, o mais lento a rolar desliza primeiro, e quem desliza pode vencer 🖖

Rolar requer aderência, e o aro é o que mais precisa dela. Ele só consegue rolar enquanto a inclinação da rampa for menor que o seu ângulo crítico, 11,31° com um atrito de 0,1, contra os 19,29° da esfera maciça. Pressione Rampa de gelo. Aos 15°, o aro e a esfera oca escorregam, investem menos energia na rotação e ganham velocidade. Ainda assim, terminam atrás dos dois corpos que continuam a rolar. Havendo um único coeficiente de atrito, o resultado é sempre este. Um corpo que deslize pode, no máximo, igualar a velocidade de um que role, mas nunca o ultrapassará. Na realidade, a maioria das superfícies adere com mais força no repouso do que durante um deslizamento. Pressione Deslizar ultrapassa, em que o atrito estático é de 0,3 e o de deslizamento é de 0,1. Ali, o aro que escorrega termina o percurso em 0,849 s, batendo os 0,942 s da bola que rola.

Problema resolvido na íntegra

  1. Uma bola e um aro na mesma rampa 4 passos

    Uma bola maciça e um aro são soltos do repouso no topo de uma rampa de 2 m de comprimento, com uma inclinação de 15°. Ambos rolam sem deslizar. Calcule quanto tempo cada corpo leva para alcançar a base, e a que distância o aro se encontra quando a bola termina. Assuma g = 9,81 m/s². Pressione Corrida clássica para verificar.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. A componente da gravidade orientada ao longo da rampa é igual para ambos:

    2. A aceleração de cada corpo resulta da divisão desse valor por um mais o seu fator de forma:

    3. Partindo do repouso, s = ½at², portanto o tempo para os 2 m é:

    4. Quando a bola termina, o aro percorreu apenas ½ a_aro t_bola²:

    Resposta

    A bola demora 1,485 s e o aro demora 1,775 s. Quando a bola cruza a linha de chegada o aro está 0,600 m atrás, quase um terço de toda a rampa. Nem a massa nem o raio surgiram em nenhuma etapa dos cálculos. A mesma resposta é válida para qualquer bola maciça uniforme, desde uma bolinha de gude até uma bola de boliche.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.