Momento Angular

Suba para uma plataforma que gira sem atrito, segure um haltere em cada mão, comece a girar e puxe-os para dentro. Defina a rotação, os halteres, o momento de inércia do seu próprio corpo e a distância a que as mãos vão e vêm. A página integra o movimento em tempo real, indica o que se mantém fixo e o que muda, e soma o trabalho que os seus braços realizam.

Exemplo resolvido — Momento Angular

Momento de inércia, mãos afastadas	3,600 kg·m²
Momento de inércia, mãos recolhidas	1,200 kg·m²
Momento angular, inalterado	22,62 kg·m²/s
Rotação com as mãos recolhidas	3,000 rev/s
Rotação com halteres no eixo	3,462 rev/s
Energia cinética, mãos afastadas	71,06 J
Energia cinética, mãos recolhidas	213,18 J
Aumento na rotação e energia	3,000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Momento Angular

O momento angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é L = Iω, o seu momento de inércia em relação a esse eixo multiplicado pela sua velocidade angular. O momento de inércia soma cada pedaço de massa vezes o quadrado da sua distância ao eixo, portanto um haltere cujo centro está em r carrega m r² + I_own, o teorema dos eixos paralelos; para duas anilhas a uma distância d de cada lado da mão, I_own = m d². Sem torque externo sobre o eixo L não pode mudar, logo I_out ω_out = I_in ω_in, enquanto a energia cinética ½ I ω² = L²/2I muda através do trabalho que os braços realizam.

O que significa cada símbolo

I: momento de inércia em relação ao eixo da plataforma, kg·m²
ω: velocidade angular em rad/s; a página imprime f = ω/2π em rev/s
L: momento angular em relação ao eixo, Iω, em kg·m²/s
I_b: momento de inércia próprio do corpo e da plataforma, que não se altera ao puxar os braços
d: metade do comprimento da barra de um haltere, 0,1 m: as suas anilhas situam-se a uma distância d de cada lado da mão

Pressupõe: Uma plataforma giratória sem atrito no rolamento e mais nada a tocar no corpo, garantindo que não existe torque sobre o eixo. Os braços não têm massa; braços reais, com alguns quilogramas cada, adicionariam ao momento de inércia com as mãos afastadas e ao ganho de energia. Cada haltere consiste em duas anilhas pontuais numa barra leve, mantida nivelada e perpendicular ao braço, e o momento de inércia próprio do corpo mantém-se fixo independentemente do que os braços façam. O trabalho contabilizado é o da tração mω²r que mantém os halteres nos seus círculos; a pequena energia do movimento para dentro e para fora é nula em ambos os extremos e não é considerada.

Puxe os halteres para dentro e a energia cinética triplica 🖖

Pressione Puxar, 2 kg e observe as duas setas no eixo. L mantém o seu comprimento enquanto a rotação triplica, de 1 para 3,000 rev/s: nada no exterior exerce um torque em torno do eixo, logo L = Iω tem de sobreviver à redução do momento de inércia de 3,600 para 1,200 kg·m². A energia cinética, ½Iω² = L²/2I, não tem essa proteção e sobe pelo mesmo fator, de 71,06 J para 213,18 J. A energia extra tem uma fonte. Para manter os dois halteres a girar no raio r, as mãos têm de os puxar para dentro com 2mω²r, e recolhê-los ao longo dessa tração é trabalho: a área sombreada sob a curva no segundo painel. A tabela de resultados faz a soma ao longo de mil faixas e obtém 142,12 J, o ganho até ao último dígito impresso. Empurre as mãos de volta para fora e a mesma tração realiza, em vez disso, trabalho sobre os braços, e a rotação cai de volta para 1 rev/s.

Mãos quatro vezes mais próximas, e apenas o triplo da rotação 🖖

Se os halteres fossem tudo o que há, como pontos nas mãos, L = 2mr²ω ditaria que trazê-los de 0,8 m para 0,2 m o faria girar dezesseis vezes mais rápido. A página indica 3,000. A maior parte do que gira não se move quando você puxa os braços. O seu corpo e a plataforma mantêm o seu 1 kg·m², e cada haltere conserva a parte do seu momento que diz respeito ao seu próprio tamanho, md² pelo teorema dos eixos paralelos, por mais que os aproxime do centro. Portanto, existe um teto: com os dois halteres no eixo, a linha sob a rotação indica 3,462 rev/s, e nenhum puxão consegue ultrapassar este valor. Halteres mais pesados compõem uma fração maior do que gira. A opção Mais pesado, 10 kg multiplica a rotação por 7,000, mas mesmo começando com apenas um quarto de volta por segundo, as mãos já têm de segurar 483,6 N no final.

Mesmo sem nenhum momento angular, você consegue girar 🖖

Pressione Do repouso, braçada. L é zero do início ao fim, e cada braçada ainda deixa o corpo girado em 25,00°. Varra os braços em 45° com as mãos afastadas e o corpo gira 32,50° para o outro lado, já que os halteres representam 2,600 dos 3,600 kg·m² que giram. Recolha-os e varra de volta, e o corpo regressa apenas 7,50°, porque agora representam 0,200 dos 1,200. Os braços terminam onde começaram, em relação ao corpo; o corpo não. O momento angular nulo impede uma rotação que perdure: entre as varreduras o corpo fica parado, e Braçada, mãos afastadas traz o corpo de volta a 0,00°. Um gato solto de costas a partir do repouso também não tem momento angular, e ainda assim cai de pé. Thomas Kane e M. P. Scher publicaram uma explicação dinâmica para esse fenómeno em 1969 e, em 1970, um estudo sobre como uma pessoa pode girar o próprio corpo ao mover os membros.

Problema resolvido na íntegra

Onde é que a tração é mais forte ao longo do percurso? 4 passos
Os halteres de 2 kg movem-se de 0,8 m para 0,2 m com L = 22,62 kg·m²/s. A tração que as duas mãos seguram é de 126,3 N no início e 284,2 N no final. Será mais forte no final? Se não, onde, e com que intensidade? Pressione Puxar, 2 kg para verificar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. As mãos mantêm os halteres no seu círculo com 2mω²r, e ω = L/I(r), portanto a tração depende apenas de r:
  
  $F (r) = 2 m (\frac{L}{I ( r )})^{2} r = \frac{2 \times 2 \times 22 . 6 2 ^{2} r}{( 1 . 04 + 4 r ^{2} ) ^{2}} F (0.8) = 126.3 N, F (0.2) = 284.2 N$
2. A linha de 0,30 m na tabela, 313,2 N, está acima de ambos os extremos, logo a tração máxima encontra-se em algum lugar no meio. Defina a derivada de r/I² a zero, com I′ = 4mr:
  
  $\frac{d}{d r} \frac{r}{I ^{2}} = \frac{I - 2 r I ^{'}}{I ^{3}} = \frac{I - 8 m r ^{2}}{I ^{3}} = 0 \Rightarrow I = 8 m r^{2}$
3. Escreva I por extenso e resolva em ordem a r:
  
  $I_{b} + 2 m d^{2} + 2 m r^{2} = 8 m r^{2} \Rightarrow r^{* 2} = \frac{I _{b} + 2 m d ^{2}}{6 m} = \frac{1 . 04}{12} = 0.08667 \Rightarrow r^{*} = 0.2944 m$
4. Substitua r* de volta em I e na equação da tração:
  
  $I (r^{*}) = 8 \times 2 \times 0.08667 = 1.3867 kg m^{2} F (r^{*}) = \frac{4 \times 22 . 6 2 ^{2} \times 0 . 2944}{1 . 386 7 ^{2}} = 313.3 N$
Resposta

A tração é mais forte com as mãos a 0,2944 m do eixo: 313,3 N nas duas mãos, 156,7 N em cada uma, aproximadamente o peso de uma massa de 16 kg. Mais perto do centro a rotação continua a subir, mas r diminui mais rápido do que ω² cresce, e os últimos 9 cm requerem menos tração.

$r^{*} = 0.2944 m : F_{m a x} = 313.3 N = 2 \times 156.7 N (\approx 16 kg a hand)$

Percurso de aprendizagem

Rotação e momento angular

Referências (3)

Conservation of angular momentum when the moment of inertia changes, and the skater's kinetic energy rising by I/I′ because of the work she does pulling her arms in, the page's first two claims: W. Moebs, S. J. Ling and J. Sanny, University Physics Volume 1, OpenStax, Houston, 2016. Section 11.3, "Conservation of Angular Momentum".
The falling cat, which turns over with no angular momentum, given a dynamical explanation: T. R. Kane and M. P. Scher, "A dynamical explanation of the falling cat phenomenon", International Journal of Solids and Structures 5(7), 663–670, 1969.
A person turning themselves round by moving their limbs, the page's third claim in a human body: T. R. Kane and M. P. Scher, "Human self-rotation by means of limb movements", Journal of Biomechanics 3(1), 39–49, 1970.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.