Giroscópio

Ponha a roda a girar, escolha o ângulo a que o eixo é largado e decida se lhe dá um empurrão lateral nesse momento. A página integra o movimento enquanto observa e mostra a distância que a roda desce, a velocidade a que vira e até que ponto a fórmula do manual diverge do comportamento real.

Exemplo resolvido — Giroscópio

Momento de inércia em relação ao eixo (aro)	0,180 kg·m²
Momento angular de rotação	11,31 kg·m²/s
Torque do peso em relação ao pivô	3,923 N·m
Uma volta a essa velocidade	18,12 s
Simulação face à fórmula	−0,005%
Descida abaixo do ponto de largada, simulada	0,597°
Subida acima da largada, simulada	0,000°
Estimativa de pião rápido da descida ou subida	0,597°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Giroscópio

Neste contexto, um giroscópio é uma roda a girar cujo eixo assenta num pivô fixo numa das extremidades. Com o eixo horizontal, o seu peso exerce um torque τ = mgl em relação ao pivô, horizontal e perpendicular ao eixo. O torque é a taxa de variação do momento angular. Assim, o momento angular da rotação L = I₃ω₃ é virado de lado em vez de inclinado para baixo. Em precessão estacionária o eixo gira em torno da vertical a Ω = mgl/L. Largado do repouso, o eixo cai inicialmente um pouco e depois nuta. Oscila entre a sua altura inicial e um ponto mais baixo, situado cerca de 2I₁mgl/L² radianos abaixo, a um ritmo de cerca de L/(2πI₁) vezes por segundo.

O que significa cada símbolo

L: momento angular da rotação em relação ao eixo, I₃ω₃
Ω: velocidade de precessão estacionária, mgl/L, a velocidade a que o eixo vira em torno da vertical
I_3: momento de inércia em relação ao eixo; mR² para um aro
I_1: momento de inércia em relação a uma linha que passa pelo pivô e é perpendicular ao eixo, ml² + ½mR²
l: distância do pivô ao centro da roda
k: velocidade de viragem lateral no momento da largada, em unidades de Ω

Pressupõe: Assume-se uma roda rígida tratada como um aro com toda a sua massa na borda, num eixo leve, apoiado num pivô pontual sem atrito. Gravidade padrão, 9,80665 m/s². Não existe ar nem atrito em parte alguma. Assim, a energia e os momentos angulares em relação à vertical e em relação ao eixo são todos conservados. A tabela de resultados mostra até que ponto o integrador os mantém.
Falha quando: Um pivô real tem atrito. Isso amortece a oscilação e deixa a roda a precessar suavemente um pouco abaixo da altura a que foi largada. O atrito no rolamento também abranda a rotação. À medida que L diminui, a precessão acelera e a descida acentua-se, até a roda cair.

Largada, uma roda em rotação cai antes de virar 🖖

Pressione Largar a 10 rev/s e observe o segundo painel. Virar de lado significa que o centro da roda está em movimento. Essa energia cinética tem de vir de algum lugar, pelo que a roda não pode começar a precessar no momento em que a larga. Ela cai primeiro. O eixo desce 0,597°, o seu centro 2,09 mm, e no ponto mais baixo da descida a velocidade lateral já atingiu 0,6937 rad/s, o dobro da sua média. Depois, sobe de volta à altura a que foi largada, onde o movimento lateral para completamente. O ciclo recomeça: a extremidade do eixo desenha uma sucessão de cúspides, 10,59 por segundo. Os apontamentos de dinâmica do MIT de Peraire e Widnall chamam a isto movimento cuspidal, e as aulas de Cambridge de David Tong deduzem-no como sendo exatamente o que um pião faz quando se o põe a girar e se larga. Uma descida tão pequena é difícil de ver, e o atrito num pivô real dissipa a oscilação. É por isso que uma roda de demonstração parece flutuar. O fantasma cinzento é a mesma roda sem rotação, pendurada a direito para baixo após 0,39 s.

Com o dobro da rotação, vira a metade da velocidade 🖖

O torque do peso em relação ao pivô, 3,923 N·m com o eixo horizontal, altera L em 3,923 kg·m²/s a cada segundo, sempre de lado. Quanto maior for L, mais tempo este demora a ser virado. Por isso, a velocidade de viragem é Ω = mgl/L: uma volta em 9,06, 18,12 e 36,23 s a 5, 10 e 20 rev/s. A descida varia na proporção de 1/L², um quarto por cada duplicação: a simulação dá 2,386°, 0,597° e 0,149°. A fórmula Ω = mgl/L assume que L se situa sempre ao longo do eixo. Isto só é verdade enquanto o momento angular da rotação ofuscar a parte acrescentada pela viragem lateral. A tabela acompanha a descida: a roda simulada vira 0,087% mais devagar que a fórmula a 5 rev/s, 3,026% a 2, e 21,481% a 1. Aqui, a roda balança 39,013° para baixo e comporta-se mais como um pêndulo com torção do que como um giroscópio.

Empurre o eixo de lado e a roda sobe 🖖

Um empurrão na extremidade do eixo é um torque. Tal como o do peso, move a ponta de L na direção do torque, não na do empurrão. Um empurrão na mesma direção em que a roda já está a virar cria um torque para cima, pelo que o eixo sobe. Pressione Empurrada a 2Ω. Largada já a virar de lado ao dobro da velocidade constante, o eixo sobe 0,597°, a mesma distância que a roda não empurrada desceu, e a sua velocidade de viragem média continua a ser 0,3468 rad/s. Trave-a com um empurrão de −1 e esta desce 1,195°, o dobro da distância. Pressione Largar a virar a Ω e não verá descida nem oscilação, porque para um eixo horizontal a precessão constante a exatamente mgl/L é uma solução das equações completas a qualquer rotação. Defina o empurrão para 1 e consulte a tabela. A 1 rev/s, onde largar do repouso gerava 21,481% de erro, a roda vira agora a 3,4684 rad/s, o número da própria fórmula. O erro a baixas rotações é o preço a pagar por a largar do repouso. Os apontamentos de Tong referem a necessidade de dar "exatamente o empurrão certo" para fazer um pião precessar sem oscilar.

Problema resolvido na íntegra

O que suporta o pivô e a que velocidade deve a roda girar? 5 passos
A roda gira a 10 rev/s com o seu eixo horizontal, em precessão estacionária. Com que força é que o pivô empurra o eixo, para cima e para o lado? E que rotação seria necessária para manter a descida abaixo de 0,1° após ser largada do repouso? Pressione Largar a 10 rev/s para verificar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. O momento angular da rotação e a velocidade de viragem constante estão na página:
  
  $L = I_{3} ω_{3} = 0.180 \times 2 π \times 10 = 11.31 kg m^{2} /s Ω = \frac{m g l}{L} = \frac{3 . 923}{11 . 31} = 0.3468 rad/s$
2. Em precessão estacionária com o eixo horizontal, o centro mantém-se a uma altura constante, pelo que não há aceleração vertical e o pivô exerce uma força para cima igual ao peso. A rotação não suporta carga alguma:
  
  $N_{z} = m g = 2 \times 9.80665 = 19.61 N$
3. O centro percorre um círculo de raio l a Ω, pelo que o pivô tem também de o empurrar em direção ao suporte:
  
  $N_{h} = m l Ω^{2} = 2 \times 0.2 \times 0.346 8^{2} = 0.0481 N$
4. Para a segunda pergunta, reorganize a estimativa de pião rápido para a descida, com δ = 0,1° = 0,001745 rad:
  
  $δ = \frac{2 I _{1} m g l}{L ^{2}} \Rightarrow L \geq \frac{2 I _{1} m g l}{δ} = \frac{2 \times 0 . 170 \times 3 . 923}{0 . 001745} = 27.64 kg m^{2} /s$
5. e divida por I₃ e por 2π:
  
  $ω_{3} = \frac{27 . 64}{0 . 180} = 153.6 rad/s = \frac{153 . 6}{2 π} rev/s = 24.44 rev/s$
Resposta

O pivô suporta 19,61 N para cima, o peso total da roda, e 0,0481 N de lado na direção do suporte, menos de um quarto de por cento deste peso. A rotação não torna a roda mais leve. Manter a descida abaixo de 0,1° exige 24,44 rev/s. Resolver a equação de energia exatamente a essa rotação resulta numa descida de 0,0999997°, pelo que a estimativa é precisa até cerca de 2,5 partes por milhão nesse ponto.

$N_{z} = 19.61 N, N_{h} = 0.0481 N, f \geq 24.44 rev/s (exact drop 0.099999 7^{\circ})$

Percurso de aprendizagem

Rotação e momento angular

Referências (2)

The heavy symmetric top from its Lagrangian: the two conserved momenta and the energy, the three kinds of nutation, why a top that is spun and simply let go falls first and traces cusps, and why precessing without bobbing needs exactly the right push: D. Tong, "Classical Dynamics", lecture notes for a final-year undergraduate course, University of Cambridge, chapter 3 "The Motion of Rigid Bodies", section 3.6 "The Heavy Symmetric Top".
Steady precession from Euler's equations in Euler angles, the gyroscopic limit in which the precession rate is the weight's moment over the spin angular momentum, and the names unidirectional, looping and cuspidal for the three kinds of unsteady motion: J. Peraire and S. Widnall, "Lecture L30 - 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes", 16.07 Dynamics, MIT OpenCourseWare, Fall 2009.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.