A Flambagem de Euler e a Coluna Esbelta

Escolha um material, uma seção transversal, o comprimento e o tipo de apoio nas extremidades. A página calcula a carga na qual a coluna flamba, a carga sob a qual seria simplesmente esmagada e qual dos dois eventos ocorre primeiro.

Exemplo resolvido — A Flambagem de Euler e a Coluna Esbelta

Área da seção transversal	706,86 mm²
Momento de inércia da área	3,976 × 10⁻⁸ m⁴
Raio de giração, √(I ÷ A)	7,500 mm
Esbeltez, KL ÷ r	400,0
Carga de flambagem	8,72 kN
Carga de esmagamento	176,71 kN
Qual delas ocorre primeiro	8,72 kN
Logo, a falha é por	flambagem

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Flambagem de Euler e a Coluna Esbelta

Uma coluna curta carregada ao longo de seu eixo falha por esmagamento: a tensão atinge a resistência do material e a peça cede sob uma carga igual à área multiplicada por essa resistência. Uma coluna longa não chega a esse estágio. Ela falha por flambagem, curvando-se lateralmente e depois dobrando, ao atingir a carga crítica de Euler, P = π²EI ÷ (KL)², onde E é a rigidez, I é o momento de inércia da área, L é o comprimento e K é um fator determinado pelo tipo de apoio nas pontas. A falha que ocorre na prática é, pura e simplesmente, a que acontecer com a carga mais baixa. Ambas costumam ser comparadas pelo índice de esbeltez λ = KL ÷ r, em que r = √(I ÷ A) representa o raio de giração, um comprimento que indica o quão distante do centro o material da seção está localizado.

O que significa cada símbolo

E: rigidez, em pascais. Mede a dificuldade de alongar o material e é a única propriedade de material na fórmula de Euler
I: momento de inércia da área, em m⁴. Uma propriedade que depende exclusivamente da FORMA geométrica, e o motivo pelo qual um tubo supera uma barra do mesmo peso
r: raio de giração, √(I ÷ A), em metros. A distância efetiva na qual a massa da seção se posiciona em relação ao centro
λ: esbeltez, KL ÷ r. O único valor capaz de determinar qual das duas falhas a coluna vai apresentar
K: o fator de apoio nas extremidades. Vale 1 para as pontas rotuladas, 0,5 quando ambas são engastadas e 2 para um extremo livre

Pressupõe: Pressupõe uma coluna perfeitamente reta, carga perfeitamente centrada, seção geométrica constante e um material capaz de se manter em regime elástico até o instante da ruptura. Cada uma dessas condições é generosa. A carga de Euler define a marca em que uma coluna teórica perde a sua estabilidade, mas não a força responsável por quebrar uma coluna de verdade. Toda peça real nasce com ligeiras curvaturas e carregamentos excêntricos, o que induz a flexão desde o início e leva a estrutura a falhar abaixo dessa linha. Trate a resposta do cálculo como um limite superior inatingível e não como uma carga de uso, o que também explica por que as normas substituem o vértice rígido entre as duas curvas por uma transição suave baseada em ensaios.
Falha quando: A teoria quebra nas imediações da zona de transição, onde nenhuma das idealizações se comprova. Nessa região a coluna já apresenta robustez para que a face comprimida do material comece a escoar antes mesmo da chegada da carga de flambagem elástica, posicionando a falha real abaixo das duas curvas. O modelo também não reflete a realidade visível do perfil I. Uma viga laminada pode ser treze vezes mais rígida por um de seus eixos. Isso significa que, na ausência de contraventamento, ela flambará de lado pelo eixo de menor inércia, invalidando para dimensionamento os números exibidos nesta mesma página para o eixo de maior inércia. Na madeira o modelo omite uma falha não abarcada na tabela. O número apresentado retrata a resistência característica à compressão de um lote classificado e não um ponto de escoamento. Esse fenômeno sequer existe na madeira, visto que ela rompe pelo esmagamento físico e desmoronamento direto da parede celular.

Aço mais resistente não flamba com carga maior 🖖

Pressione Uma escora esbelta e, em seguida, A mesma, aço mais forte. Trata-se da mesma barra, com o mesmo comprimento, os mesmos apoios e um material 2,76 vezes mais resistente. A carga de flambagem é de 8,72 kN antes e 8,72 kN depois. Os valores não são apenas próximos; eles são idênticos em todos os dígitos que o computador calcula. A carga de Euler é π²EI ÷ (KL)², e a resistência do material não entra nesse cálculo em momento algum. O único fator levado em conta é E, a rigidez. Esse valor é igual para as duas opções porque todas as ligas de aço são quase igualmente rígidas. A única vantagem que o aço mais forte trouxe foi elevar a carga de esmagamento de 176,71 kN para 487,73 kN, o que representa uma força que a coluna jamais alcançará. A linha que indica a fração da resistência solicitada move-se na direção oposta, caindo de 4,93% para 1,79%: o material de qualidade superior entrega o pior desempenho neste quesito.

Existe um comprimento no qual os dois tipos de falha se invertem 🖖

O esmagamento não é afetado pelo comprimento, enquanto a flambagem depende de muito pouco além dele. Por essa razão, as duas curvas do primeiro painel inevitavelmente se cruzam. O ponto onde elas se encontram é a esbeltez de transição, dada por λ = π√(E ÷ resistência). Essa expressão não contém informações sobre comprimento, área ou formato da seção, resumindo-se puramente às duas propriedades do material. O aço estrutural tem sua transição em 88,86, ao passo que a do aço de alta resistência ocorre em 53,49. Esse cruzamento revela a mesma realidade sob outra ótica: quanto mais resistente é o material, mais cedo o investimento extra em resistência passa a ser desperdício. Abaixo da transição você está de fato comprando resistência. Acima dela, o que você compra é rigidez e geometria, e a resistência intrínseca da liga não faz mais qualquer diferença.

A espessura atua à quarta potência, a resistência à primeira 🖖

Se a resistência não resolve o problema nessa região, o que resolve? O segundo painel percorre as dimensões da seção e mede a inclinação do gráfico em vez de apenas presumi-la. No ramo de flambagem, a carga crítica de uma barra redonda maciça cresce com a quarta potência do seu diâmetro, medida como 4,000000. Já no ramo de esmagamento o aumento segue a proporção do quadrado, medido como 2,000000. Dobrar o diâmetro multiplica a carga de flambagem por dezesseis. Um tubo vazado apresenta resultados ainda melhores em relação ao seu próprio peso. Afastar a mesma quantidade de metal do centro eleva I e quase não altera A. Este é exatamente o motivo pelo qual o poste de um andaime ou o quadro de uma bicicleta são ocos, e por que a barra maciça da primeira predefinição representa um péssimo uso do aço.

Problema resolvido na íntegra

A escolha entre dois aços para uma escora de 3 m 6 passos
Uma escora de 3 m, rotulada nas extremidades, deve ser fabricada como uma barra redonda maciça de 30 mm. Você recebe ofertas de aço estrutural a 250 MPa e aço de alta resistência a 690 MPa por um preço superior. Calcule a capacidade de carga de cada opção e decida qual comprar. Pressione Uma escora esbelta para ver a primeira parte na ferramenta.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comece pela geometria, pois ela é idêntica nos dois casos e fornece tudo de que a fórmula de Euler precisa. Uma barra redonda de 30 mm tem uma área de 706,86 mm² e um momento de inércia da área de 3,976 × 10⁻⁸ m⁴.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = 706.86 m m^{2}, I = \frac{π d ^{4}}{64} = 3.976 \times 1 0^{- 8} m^{4}$
2. O raio de giração é calculado em seguida. Em uma barra redonda maciça ele corresponde a apenas um quarto do diâmetro: 7,500 mm.
  
  $r = \frac{I}{A} = \frac{d}{4} = 7.500 mm$
3. Apoios rotulados significam K = 1, de modo que a esbeltez é apenas o comprimento dividido por esse raio: 3 ÷ 0,0075 = 400. É uma coluna extremamente esbelta, cuja transição no caso do aço estrutural ocorre aos 88,86.
  
  $λ = \frac{K L}{r} = \frac{1 \cdot 3 . 0}{0 . 0075} = 400.0 λ_{c} = π \frac{E}{σ _{y}} = 88.86$
4. Em seguida aplica-se a fórmula de Euler, utilizando E = 200 GPa nos dois casos porque essa é a rigidez característica do aço:
  
  $P_{E} = \frac{π ^{2} E I}{( K L ) ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 200 \times 1 0 ^{9} \cdot 3 . 976 \times 1 0 ^{- 8}}{3 . 0 ^{2}} = 8.72 kN$
5. Por último as cargas de esmagamento, que formam a única parte do cálculo em que as duas ligas apresentam alguma diferença:
  
  $σ_{y} A σ_{y} P_{E} 250 MPa 176.71 kN 8.72 kN 690 MPa 487.73 kN 8.72 kN$
6. Ao comparar os resultados, fica claro que a escora flamba com 8,72 kN em ambos os cenários e nunca se aproximará dos limites de esmagamento. Logo, o aço superior não contribui em absolutamente nada para a capacidade de carga da estrutura.
  
  $\frac{8 . 72}{176 . 71} = 4 . 93%, \frac{8 . 72}{487 . 73} = 1 . 79%$
Resposta

Compre o aço mais barato. As duas versões flambam a 8,72 kN, e o único efeito prático da liga de 690 MPa é derrubar a fração da resistência solicitada de 4,93% para 1,79%. Você pagaria a mais por resistência bruta e não receberia qualquer vantagem prática. O que realmente traria ganhos seria alterar algum parâmetro que faça parte da fórmula de Euler: adotar uma escora mais curta, posicionar um travamento no meio do vão, engastar as extremidades ou afastar esse mesmo material em relação ao eixo. Ao substituir a barra maciça de 30 mm por um tubo de 78 × 3 mm você mobiliza 706,86 mm² de aço em ambas as configurações, arcando com o exato mesmo peso próprio e o exato mesmo custo de material. Contudo, o momento de inércia cresce 12,52 vezes e alavanca a carga de flambagem de 8,72 kN para expressivos 109,18 kN. São doze vezes mais capacidade na coluna pelo mesmo preço, um ganho obtido apenas por mover o metal para o exterior no lugar de comprar uma liga de qualidade superior. Esse é o conceito central do dimensionamento de pilares, e a razão pela qual a resposta para um problema de flambagem nunca está em utilizar um material melhor.

$P_{E}_{250} = P_{E}_{690} = 8.72 kN \Rightarrow \frac{I _{78 \times 3}}{I _{30}} = 12.52$

Percurso de aprendizagem

Para onde vai a carga

Referências (2)

Euler's own, and it is an appendix rather than the book. The critical load appears in the additamentum De curvis elasticis, which is where the elastica and this page's formula both start: L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Additamentum I: De curvis elasticis. Lausanne and Geneva, 1744.
Where the five materials' stiffness and strength figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, e.g. the CRC Handbook of Chemistry and Physics or a structural-steel design code such as EN 1993-1-1 for steel and EN 338 for graded timber.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.