Treliça Hiperestática e a Barra Redundante

Suspenda uma carga em três barras ou apenas em duas. Escolha os materiais e as secções transversais, aqueça uma barra ou imponha um assentamento num apoio, e aumente a carga até as barras cederem. A tabela por baixo do desenho faz os cálculos na mesma ordem em que os faria à mão.

Exemplo resolvido — Treliça Hiperestática e a Barra Redundante

Grau de hiperestaticidade	1
Rigidez da barra central	50,000 kN/mm
Rigidez da barra exterior	35,355 kN/mm
Rigidez do nó K_xx	35,355 kN/mm
Rigidez do nó K_xy	0,000 kN/mm
Rigidez do nó K_yy	85,355 kN/mm
Vetor de forças R_x	0,000 kN
Vetor de forças R_y	+150,000 kN

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Treliça Hiperestática e a Barra Redundante

Uma estrutura é isostática quando as equações de equilíbrio bastam para determinar todos os esforços, e hiperestática quando há mais esforços desconhecidos do que equações. O número de incógnitas excedentárias é o grau de hiperestaticidade, e cada elemento excedentário diz-se redundante. As equações em falta provêm da compatibilidade: os elementos estão ligados, por isso os seus alongamentos têm de ser compatíveis com um único deslocamento do nó. O alongamento de um elemento elástico é igual ao esforço dividido pela sua rigidez k = EA ÷ L, acrescido do alongamento que resultaria apenas de uma variação de temperatura. É assim que as propriedades dos materiais entram num cálculo que a estática, por si só, não permite concluir.

O que significa cada símbolo

k: rigidez axial de uma barra, EA ÷ L, em kN por mm. É a força necessária para a alongar um milímetro
Δ: alongamento de uma barra segundo o próprio eixo, em mm. A compatibilidade estabelece uma relação entre estes alongamentos
N_y: força de cedência de uma barra, igual à área da secção vezes a tensão de cedência. A barra não suporta mais do que esta força, por mais que se alongue
P_y: carga à qual cede a primeira barra. Depende das rigidezes e de qualquer tensão inicial
P_c: carga de colapso, à qual também cedem as barras que ainda estavam no regime elástico. É determinada apenas pela estática

Falha quando: Admite-se que as barras continuam a alongar-se depois de atingirem a cedência. O aço macio pode fazê-lo até várias vezes a sua extensão de cedência, o que permite aproveitar a reserva do primeiro bloco. Uma barra de ferro fundido, ou qualquer barra frágil que rompa perto da primeira cedência, não redistribui esforço algum. Nesse caso, a carga de colapso coincide com a carga de primeira cedência, tal como na treliça de duas barras.

Retire a barra central e a primeira cedência torna-se o colapso 🖖

Prima Aço, três barras e aumente a carga. A barra central é a primeira a atingir a cedência, aos 213,39 kN, sem que nada caia. Continua a suportar 125 kN enquanto se alonga; as duas barras exteriores recebem cada quilonewton acrescentado daí em diante, e a treliça só entra em colapso aos 301,78 kN. Prima agora Sem barra central. As duas barras atingem a cedência em simultâneo aos 176,78 kN, e não há uma terceira barra para receber a carga. Com barras iguais a 45°, a carga de colapso da treliça de três barras é exatamente √2 vezes a carga de primeira cedência, razão que a linha da reserva apresenta como 1,414. Numa treliça de três barras, a cedência de uma delas é um aviso; numa treliça de duas barras, é o fim.

Uma tarde quente introduz 19,88 kN numa treliça descarregada 🖖

Prima Aquecida, sem carga. Não há carga, e a barra central está 40 K mais quente do que as outras duas. Se estivesse livre, alongar-se-ia 0,960 mm. As barras exteriores impedem o nó de descer tanto, pelo que a barra central fica comprimida com uma força de 19,88 kN e cada barra exterior fica tracionada com 14,06 kN, antes mesmo de se suspender qualquer carga da treliça. Prima depois Duas barras, uma aquecida: aplica-se a mesma diferença de 40 K a uma das barras da treliça de duas barras, e cada uma suporta 106,07 kN, esteja quente ou fria, com todos os algarismos iguais. Duas equações determinaram essas duas forças, e a temperatura não aparece em nenhuma delas; o nó limita-se a deslocar-se. É esse o preço da reserva do primeiro bloco. Numa estrutura hiperestática, os esforços dependem da rigidez dos elementos, da temperatura e dos assentamentos dos apoios; numa estrutura isostática, dependem apenas da carga e da geometria. Dois resistores em paralelo já enfrentam o mesmo problema: a conservação da corrente diz que as correntes se somam, mas só as resistências determinam como se repartem. A ponte de Wheatstone da página sobre as leis de Kirchhoff é o circuito em que já não há qualquer simplificação em série ou em paralelo que o possa disfarçar.

O calor desloca a primeira cedência e deixa o colapso inalterado 🖖

Mantenha as três barras e ajuste a temperatura. Se arrefecer a barra central em 100 K, ela já estará tracionada antes da aplicação de qualquer carga e será a primeira a atingir a cedência, aos 128,54 kN. Se a aquecer em 100 K, a carga terá primeiro de anular uma compressão para só depois alongar a barra; a primeira cedência passa então para 298,24 kN. A carga de colapso é de 301,78 kN nos dois casos e para qualquer temperatura ou assentamento permitido pelos controlos, desde que nada mais se altere. Sob uma carga vertical, as três barras encontram-se nas respetivas forças de cedência no instante do colapso, seja qual for o percurso até esse estado, e a estática basta para determinar a carga que as equilibra. Uma tensão inicial determina quando cede a primeira barra, mas não quando cai a estrutura. É por isso que se pode dimensionar um pórtico de aço dúctil para o colapso sem conhecer as tensões residuais deixadas pela montagem e pelos assentamentos. Para isso, as barras têm de suportar grandes alongamentos depois da cedência; se uma barra frágil romper logo nessa altura, a reserva desaparece com ela.

Problema resolvido na íntegra

Três barras sob uma carga suspensa 7 passos
Uma carga de 150 kN está suspensa por três barras de aço com 500 mm² de secção: uma barra vertical com 2 m de comprimento e duas barras a 45°, uma de cada lado, todas fixas à mesma viga. Determine o esforço em cada barra, a carga à qual cede a primeira barra e a carga à qual o conjunto entra em colapso. Considere E = 200 GPa e uma tensão de cedência de 250 MPa. Prima Aço, três barras para verificar cada resultado.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comecemos pela estática. Por simetria, os esforços nas duas barras exteriores são iguais, pelo que o equilíbrio horizontal fica automaticamente satisfeito. Resta a equação de equilíbrio vertical, com duas incógnitas:
  
  $N_{c} + 2 N_{o} cos 4 5^{\circ} = 150 kN$
2. A terceira equação vem da compatibilidade. Seja v a descida do nó. A barra central alonga-se v, e cada barra exterior alonga-se segundo a componente de v na direção do seu eixo:
  
  $Δ_{c} = v, Δ_{o} = v cos 4 5^{\circ}$
3. A rigidez de cada barra é EA ÷ L. As barras exteriores têm √2 vezes o comprimento da barra central e, portanto, são menos rígidas:
  
  $k_{c} = \frac{E A}{L} = \frac{200 \times 1 0 ^{9} \cdot 500 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 50.000 kN/mm, k_{o} = \frac{E A cos 4 5 ^{\circ}}{L} = 35.355 kN/mm$
4. A rigidez vertical do nó resulta da soma da rigidez da barra central com a contribuição vertical das duas barras exteriores. Daí se obtém a descida:
  
  $K_{y y} = k_{c} + 2 k_{o} cos^{2} 4 5^{\circ} = 50.000 + 35.355 = 85.355 kN/mm, v = \frac{150}{85 . 355} = 1.7574 mm$
5. Multiplique a rigidez de cada barra pelo respetivo alongamento. Os dois esforços satisfazem a equação de equilíbrio vertical, o que permite verificar o resultado:
  
  $N_{c} = 50.000 \cdot 1.7574 = 87.87 kN, N_{o} = 35.355 \cdot 1.7574 \cdot 0.7071 = 43.93 kN$
6. Enquanto as barras permanecem no regime elástico, todos os esforços são proporcionais à carga. A barra central é a primeira a atingir a força de cedência, igual a 500 mm² × 250 MPa = 125 kN. Basta então aumentar proporcionalmente a carga até esse ponto:
  
  $P_{y} = 150 \cdot \frac{125}{87 . 87} = 213.39 kN$
7. A partir daí, a barra central mantém 125 kN e as barras exteriores recebem a carga restante até também atingirem 125 kN. Conhecidos todos os esforços, o equilíbrio vertical fornece a carga de colapso:
  
  $P_{c} = N_{y} + 2 N_{y} cos 4 5^{\circ} = 125 + 2 \cdot 125 \cdot 0.7071 = 301.78 kN$
Resposta

As barras suportam 87,87 kN na barra central e 43,93 kN em cada barra exterior. A barra central atinge primeiro a cedência, aos 213,39 kN, mas o conjunto só entra em colapso aos 301,78 kN. Repare em que passos foi necessário conhecer as rigidezes. A repartição dos 150 kN e a carga de primeira cedência dependeram delas, nos passos 2 a 5. A carga de colapso não: o passo 7 retoma a equação do passo 1 com todas as barras nas respetivas forças de cedência, e E não aparece em lado nenhum.

$N_{c} = 87.87, N_{o} = 43.93, P_{y} = 213.39, P_{c} = 301.78 kN$

Percurso de aprendizagem

Para onde vai a carga

Referências (3)

The three-bar truss is the textbook's own first example of a problem statics cannot finish, and this page's closed form for it is the one check:compute asserts against the stiffness solution: S. Timoshenko, Strength of Materials, Part I: Elementary Theory and Problems, 3rd ed. D. Van Nostrand, New York, 1955. The chapter on statically indeterminate problems in tension and compression.
Insight 3 is the plastic theorems at work: a self-stress from heat or settlement moves the first yield and not the collapse load. A modern account of compatibility, the plastic theorems and why an elastic solution is fragile where a collapse load is not: J. Heyman, Basic Structural Theory. Cambridge University Press, 2008. DOI 10.1017/cbo9780511754487
Where the four materials' stiffness, yield and expansion figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, or a design code such as EN 1993-1-1 for structural steel and EN 1999-1-1 for aluminium.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.