Círculo de Mohr e tensões num plano inclinado

Defina as três tensões num ponto e rode o elemento. O círculo mostra todos os planos em simultâneo: onde a tensão normal atinge o máximo, onde o cisalhamento atinge o máximo, e o círculo através da espessura que a imagem no plano omite. A tabela sob o desenho calcula cada valor.

Exemplo resolvido — Círculo de Mohr e tensões num plano inclinado

Centro do círculo	20,00 MPa
Semidiferença	30,00 MPa
Raio	50,00 MPa
Tensão principal σ1	70,00 MPa
Tensão principal σ2	−30,00 MPa
Produto tensões principais	−2.100,00 MPa²
Ângulo principal θp	26,57°
Plano de σ2	−63,43°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Círculo de Mohr e tensões num plano inclinado

A tensão que atua num plano através de um ponto depende do plano que se corta. Em duas dimensões, três valores descrevem-na: σx, σy e τxy. Rodar o plano num ângulo θ gera novos valores através das equações de transformação. O círculo de Mohr traça-os a todos de uma só vez. Cada plano é um ponto (σ, τ) num círculo centrado em (σx + σy) ÷ 2 com raio R = √(((σx − σy) ÷ 2)² + τxy²), e ao rodar o plano de θ, o seu ponto move-se 2θ ao longo do círculo. As interseções do círculo com o eixo σ são as tensões principais σ1 e σ2, em planos que não suportam cisalhamento. O topo e a base do círculo indicam o cisalhamento máximo no plano, R, em planos a 45° destas tensões.

O que significa cada símbolo

σ1: a tensão principal maior no plano, C + R. A maior tensão normal em qualquer plano perpendicular à página
σ2: a tensão principal menor no plano, C − R. O seu plano é perpendicular ao de σ1
R: o raio do círculo e o cisalhamento máximo em qualquer plano perpendicular à página
θp: o ângulo desde o eixo x até ao plano de σ1. Metade do ângulo entre eles no círculo
τ_abs: o cisalhamento máximo absoluto, metade da amplitude de σ1, σ2 e σ3 = 0. Maior que R sempre que σ1 e σ2 partilharem o mesmo sinal

Falha quando: A teoria das paredes finas ignora a tensão radial, que é −p na face interna. No vaso de pressão predefinido, σ3 é −2 MPa nessa face em vez de zero, e com a tensão circunferencial de parede fina o cisalhamento máximo na superfície interior é de 51 MPa, não 50. A condição σ3 = 0 verifica-se exatamente apenas na superfície exterior. As próprias tensões de parede fina são aproximações, com precisão de cerca de 1% para uma parede com esta espessura.

Ao tracionar uma barra o cisalhamento máximo ocorre na diagonal 🖖

Pressione Tração uniaxial. A barra é tracionada a 100 MPa e na sua secção transversal, a θ = 0, o cisalhamento é zero. Rode o elemento e o cisalhamento surge, aumentando até θ = 45°, onde atinge a magnitude de 50 MPa, metade da tração, diminuindo em seguida. A tabela exibe este valor como −50,00: segundo a convenção de sinais, o cisalhamento num plano rodado nesse sentido aponta na direção negativa. No círculo, esse é o ponto superior ou inferior, a um quarto de volta de onde começou, pois cada ângulo no elemento duplica no círculo. Metais como o aço escoam pelo deslizamento de deslocações ao longo de planos de escorregamento, um processo impulsionado pelo cisalhamento. Assim, eles falham de forma inclinada. Uma barra de ensaio de aço, tracionada até à rutura, termina num padrão de taça e cone cujo rebordo apresenta uma inclinação de aproximadamente 45° em relação ao eixo. O critério de Tresca converte este facto numa regra. Um metal dúctil escoa quando o seu cisalhamento máximo alcança metade da sua tensão de escoamento à tração.

Torça um giz e este quebra numa espiral a 45° 🖖

Pressione Cisalhamento puro. Um eixo sob torção suporta 100 MPa de cisalhamento na sua secção transversal, e ao rodar o elemento em 45° o cisalhamento desaparece. Um par de faces é tracionado com 100 MPa enquanto o outro é comprimido com 100 MPa. A torção consiste em tração e compressão perpendiculares entre si, orientadas a 45° em relação ao eixo, e qual das duas faz o material ceder determina a forma como ele quebra. Pressione Ferro fundido à torção. O ferro fundido é fraco à tração, logo falha onde a tração atua, no plano a +45°, e uma barra de ferro fundido sob torção fissura ao longo de uma hélice a 45° do seu eixo. Um pau de giz faz o mesmo entre os seus dedos. Em contraste, um eixo de aço falha por cisalhamento. Este é máximo na própria secção transversal, θs = 0°, portanto o aço torce e rompe perpendicularmente à barra.

O cisalhamento máximo de um vaso de pressão não está no círculo que desenhou 🖖

Pressione Vaso de pressão: 100 MPa na direção circunferencial e 50 MPa ao longo do eixo. O círculo que passa por ambas tem um raio de 25 MPa, e 25 MPa é o cisalhamento máximo em qualquer plano perpendicular à parede. A parede tem uma terceira direção, ao longo da sua espessura. Na superfície exterior nada a comprime, pelo que σ3 = 0. O círculo de 100 até 0 tem o dobro do tamanho e o seu cisalhamento é de 50 MPa, em planos inclinados através da espessura. Avalie o vaso segundo o círculo no plano e o fator de segurança de Tresca será 250 ÷ (2 × 25) = 5,00. O valor de 2,50 apresentado na página é o correto. Esta armadilha surge sempre que as duas tensões principais partilham o mesmo sinal. O caso mais evidente é o estado Biaxial igual. Aí, o círculo no plano é apenas um ponto e nenhum plano ao longo da chapa suporta cisalhamento, contudo, 30 MPa de cisalhamento atravessam a espessura.

Problema resolvido na íntegra

Verificação ao escoamento num vaso de pressão 5 passos
Um cilindro de aço com 500 mm de raio e uma parede de 10 mm contém gás a 2 MPa. O aço escoa a 250 MPa. Determine as tensões na parede, o cisalhamento máximo e o fator de segurança ao escoamento segundo o critério de Tresca. Pressione Vaso de pressão para confirmar cada valor.

Abrir este problema na ferramenta
1. A teoria dos vasos de parede fina fornece as duas tensões na parede diretamente. A tensão circunferencial é o dobro da tensão axial:
  
  $σ_{h} = \frac{p r}{t} = \frac{2 \cdot 500}{10} = 100 MPa, σ_{a} = \frac{p r}{2 t} = 50 MPa$
2. Nenhuma das direções suporta cisalhamento, logo estas já são as tensões principais e o círculo no plano segue-se de imediato:
  
  $σ_{1} = 100, σ_{2} = 50, C = \frac{100 + 50}{2} = 75, R = \frac{100 - 50}{2} = 25 MPa$
3. O cisalhamento máximo em qualquer plano perpendicular à parede é o raio:
  
  $τ_{m a x, in} = R = 25 MPa$
4. Na superfície exterior nada comprime a parede, pelo que a terceira tensão principal é zero, e o maior dos três círculos vai de σ1 até ela:
  
  $σ_{3} = 0, τ_{abs} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{100 - 0}{2} = 50 MPa$
5. O critério de Tresca compara o dobro do cisalhamento máximo com a tensão de escoamento:
  
  $σ_{T} = 2 τ_{abs} = 100 MPa, n = \frac{250}{100} = 2.50$
Resposta

A parede suporta 100 MPa na direção circunferencial e 50 MPa ao longo do eixo. O cisalhamento máximo é de 50 MPa através da espessura, e não os 25 MPa que o círculo no plano mostra. O fator de segurança de Tresca é de 2,50. Calculado apenas com o círculo no plano seria de 5,00, o dobro do valor real que o vaso possui.

$n = 2.50, \frac{250}{2 \cdot 25} = 5.00$

Percurso de aprendizagem

Para onde vai a carga

Referências (2)

Where the circle comes from. Mohr published the graphical construction for the state of stress at a point in 1882: O. Mohr, "Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes." Zivilingenieur 28, 1882.
Where the two material values would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specification: ASTM A36 or EN 10025 S275 for structural steel, ASTM A48 for grey cast iron.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.