Análise de Treliças e o Método dos Nós

Escolha um padrão de alma, um vão, uma altura e a posição da carga. A página resolve todos os membros pelo método dos nós, assinala os que não suportam carga e mostra o que a mesma ponte faria caso as suas diagonais estivessem invertidas.

Exemplo resolvido — Análise de Treliças e o Método dos Nós

Reação no apoio móvel	60,00 kN
Reação no apoio fixo	60,00 kN
Primeira incógnita no nó L0: L0–U0	-69,97 kN
Segunda incógnita nesse nó: L0–L1	+36,00 kN
Tração máxima, em L2–L3, L3–L4	+180,00 kN
Compressão máxima, em U2–U3	-216,00 kN
Membros sem carga	0
Membros + reações − 2 × nós	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Análise de Treliças e o Método dos Nós

Uma treliça é uma estrutura de barras retas ligadas pelas suas extremidades e carregada unicamente nessas uniões. Ao idealizar estes nós como rótulas sem atrito, cada membro passa a suportar apenas uma força ao longo do seu comprimento, seja tração se for puxado ou compressão se for empurrado, não existindo qualquer flexão. É isto que permite resolver o sistema apenas com aritmética. Em cada nó as forças devem anular-se em duas direções, o que fornece 2j equações para m forças nos membros e r reações. Quando m + r = 2j a treliça é estaticamente determinada e o equilíbrio por si só fixa cada força, sem que o material, a rigidez ou a secção transversal entrem nas contas. O método dos nós baseia-se na resolução destas equações um nó de cada vez, começando em qualquer ponto onde se cruzem apenas duas incógnitas.

O que significa cada símbolo

m: o número de membros. Cada um suporta uma única força incógnita ao longo da sua linha
j: o número de nós. Cada um fornece duas equações, uma para cada direção, logo o valor a atingir é 2j
r: o número de componentes de reação, que são três neste caso: duas no apoio fixo e uma no apoio móvel
F: a força num membro em quilonewtons. Um valor positivo indica tração em toda esta página, pelo que o sinal representa metade da resposta
θ: o ângulo que uma diagonal forma com o banzo inferior. Trata-se da única trigonometria existente no método

Pressupõe: Nós rotulados, barras retas e cargas aplicadas exclusivamente nos nós. Cada uma destas premissas é uma idealização que não se verifica plenamente numa ponte real. As chapas de ligação são aparafusadas ou soldadas e transferem alguma flexão. Os membros têm um peso próprio que não atua num nó, e o tabuleiro distribui a sua carga ao longo do banzo em vez de a concentrar num ponto. Estes três aspetos têm um efeito reduzido numa treliça bem proporcionada. É por essa razão que a idealização resistiu a século e meio de construção de pontes sólidas. A análise assume igualmente que a treliça não se move. Todas as forças aqui indicadas resultam do equilíbrio, não indicando esta página se a ponte sofreria uma flecha aceitável.
Falha quando: Ocorre no instante em que m + r deixa de ser igual a 2j. Adicione mais um membro e o equilíbrio deixa de ser suficiente. As forças passam a depender da rigidez de cada barra, o que implica conhecer o material e a secção transversal, falhando todo o método desta página. Esta é a mesma limitação que as Leis de Kirchhoff enfrentam quando não é possível reduzir um circuito em ponte, e a solução é idêntica: procurar mais equações para lá do equilíbrio. O modelo também falha no sentido oposto. Retire um membro e a estrutura transforma-se num mecanismo que colapsa em vez de se sustentar, com a linha da determinabilidade a assumir valores negativos. A própria idealização da rótula falha quando os membros são robustos e curtos, casos em que a ligação tem rigidez suficiente para lhes impor uma flexão efetiva.

Três destes membros não suportam carga, e consegue identificá-los desde logo 🖖

Clique em Mesmo vão, Pratt. Três membros marcam exatamente zero: L1–U1, L3–U3 e L5–U5. Não precisou da calculadora para os determinar. Observe o nó U3 com dois banzos superiores em linha reta e o montante. Mais nada atua nesta ligação. Como não existe nenhuma outra força para equilibrar o montante, o seu esforço é nulo. Este princípio mantém-se independentemente da carga e da sua posição. Os outros dois casos resultam da mesma lógica aplicada aos seus nós inferiores. A ferramenta encontra estes resultados de duas formas totalmente distintas. Fá-lo uma vez através das forças calculadas e outra apenas através do desenho sem qualquer aritmética. As duas respostas coincidiram em 23.814 treliças e carregamentos diferentes. Estes membros não são elementos a mais. Uma barra sem carga hoje mantém alinhado um elemento sob esforço direto amanhã, sendo esse o tema central da próxima lição.

Espelhe as diagonais e os membros longos mudam de sinal 🖖

Clique em Mesmo vão, Pratt e a seguir em Diagonais espelhadas. Nós idênticos, a mesma quantidade de membros e a mesma carga. Na Pratt as quatro diagonais interiores, de 7,81 m cada, apresentam uma tração de +93,72 kN. Os montantes curtos de 5 m absorvem a compressão ou ficam inativos. Espelhe estas barras e essas mesmas quatro ficam sob compressão a −93,72 kN, ao passo que todos os montantes são tracionados. As duas diagonais extremas estão comprimidas em ambos os casos, uma vez que transmitem a reação diretamente para cima na treliça e nada consegue alterar esse comportamento. O módulo não sofreu alteração, mudando apenas o sinal. Isto é relevante porque uma barra longa sob compressão sofre encurvadura a uma carga que não depende da resistência do seu aço. Por outro lado, um membro longo tracionado não é afetado pelo seu comprimento. Esse é o motivo pelo qual uma treliça ferroviária em aço é quase sempre Pratt e uma estrutura em madeira, onde as ligações favorecem a compressão, é muitas vezes Howe.

A mesma troca transfere 72 kN entre os dois banzos 🖖

Isto altera também os banzos. Na Pratt o banzo inferior suporta +144,00 kN e o superior −216,00 kN, valores que na Howe se invertem para +216,00 e −144,00. Faça um corte na treliça entre o terceiro e o quarto nós de forma a atravessar três barras: um banzo, outro banzo e uma diagonal. Calcule o equilíbrio de momentos no ponto de cruzamento das outras duas e a força no banzo surge de forma direta. Na Pratt a diagonal desce de U2 para L3, encontrando o banzo superior em U2, a doze metros do apoio. Espelhada, ela sobe de L2 para U3 e cruza o banzo superior em U3, a dezoito metros de distância. Com a mesma reação e a mesma altura, temos um braço de alavanca de 12 m contra um de 18 m: 60 × 12 ÷ 5 = 144 face a 60 × 18 ÷ 5 = 216.

Problema resolvido na íntegra

Resolver o primeiro nó à mão e avançar os cinco seguintes 6 passos
Uma treliça Pratt de 36 m, com 5 m de altura, seis painéis e 120 kN aplicados a meio do vão. Determine a força nos dois membros que se encontram no apoio esquerdo. Depois calcule o esforço no banzo inferior a meio do vão sem resolver os quatro nós intermédios. Clique em Mesmo vão, Pratt para acompanhar o raciocínio.

Abrir este problema na ferramenta
1. A carga está a meio do vão, logo as duas reações dividem o esforço em partes iguais. O padrão da alma não tem qualquer influência neste passo.
  
  $R_{A} = R_{B} = \frac{120}{2} = 60 kN$
2. Comece no nó L0 por ser a única ligação da treliça com apenas dois membros incógnitos. Os restantes nós apresentam três barras e o método não tem por onde pegar. A diagonal sobe 5 m num avanço de 6 m, pelo que sen θ = 0,6402 e cos θ = 0,7682.
  
  $sin θ = \frac{5}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.6402, cos θ = \frac{6}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.7682$
3. O equilíbrio vertical em L0 engloba apenas a reação e a diagonal. O banzo inferior é horizontal e não oferece resistência.
  
  $Σ F_{y} = 0 : 60 + F_{1} sin θ = 0$
4. O sinal dá a resposta. Um valor negativo significa que o membro empurra o nó, portanto a barra L0–U1 encontra-se sob compressão a 93,72 kN.
  
  $F_{1} = - \frac{60}{0 . 6402} = - 93.72 kN$
5. Considere agora o equilíbrio horizontal no mesmo nó com a força da diagonal conhecida. O banzo inferior resulta num valor positivo, o que corresponde a tração.
  
  $Σ F_{x} = 0 : F_{2} + F_{1} cos θ = 0 \Rightarrow F_{2} = 93.72 \cdot 0.7682 = + 72.00 kN$
6. Poderia repetir este processo mais onze vezes. Em alternativa, faça um corte na treliça entre o terceiro e o quarto nós e calcule os momentos em relação a U2. Este é o ponto de encontro das duas barras que não lhe interessam. O esforço no banzo inferior obtém-se numa única linha sem que tenha sido necessário resolver os quatro nós intermédios.
  
  $Σ M_{U_{2}} = 0 : 60 \cdot 12 = F_{L_{2} L_{3}} \cdot 5 \Rightarrow F_{L_{2} L_{3}} = + 144.00 kN$
Resposta

L0–U1 a −93,72 kN e L0–L1 a +72,00 kN, estando o banzo inferior a meio do vão a +144,00 kN através de uma simples equação de momentos. Os dois métodos não competem entre si. O dos nós é sistemático e resolve toda a estrutura, enquanto o das secções avalia um membro numa única linha. O engenheiro responsável pelo dimensionamento de uma ponte foca-se na barra sob maior esforço e opta por um corte. O último passo demonstra a origem do valor 144, que corresponde aos 60 kN de reação multiplicados por um braço de alavanca de doze metros e divididos pelos cinco metros de altura. Se reduzir a altura para metade este esforço duplica. Essa é a predefinição mais plana apresentada nesta página e o motivo pelo qual uma ponte longa tem de ser alta.

$F_{1} = - 93.72, F_{2} = + 72.00, F_{L_{2} L_{3}} = \frac{60 \cdot 12}{5} = + 144.00 kN$

Percurso de aprendizagem

Para onde vai a carga

Referências (2)

Where the counting rule on this page comes from. Maxwell gives the condition a frame must satisfy for equilibrium alone to fix every force — the m + r = 2j the results table prints as a row: J. Clerk Maxwell, "On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 27(182), 1864, pp. 294-299. DOI 10.1080/14786446408643668
A standard statics text for the method of joints and the zero-force member rules the page claims a reader can apply by eye. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 14th ed. Pearson, 2016. ISBN 978-0-13-391892-6.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.