Arcos, Cabos e a Linha de Pressões

Duas estruturas que suportam carga da mesma forma, uma em tração pura e outra em compressão pura. Pendure um cabo e escolha o que ele suporta, ou construa um arco de pedra e procure uma linha de pressões contida no seu interior. A tabela por baixo do desenho calcula cada um dos valores.

Exemplo resolvido — Arcos, Cabos e a Linha de Pressões

Carga do tabuleiro	128,00 MN
Peso do cabo	52,86 MN
Tração horizontal, estimativa parabólica	200,50 MN
Tração horizontal H	201,44 MN
Reação vertical por apoio	90,43 MN
Tração nos apoios	220,80 MN
Comprimento do cabo	1.321,48 m
Fração da carga do tabuleiro	70,8%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Arcos, Cabos e a Linha de Pressões

A linha de pressões é o percurso da força de compressão através de um arco: em cada junta entre pedras, corresponde ao ponto onde a resultante de tudo o que está acima atravessa essa junta. Um arco de blocos incapazes de resistir à tração mantém-se de pé se existir uma linha de pressões inteiramente contida na alvenaria. É o teorema da segurança de Jacques Heyman. Cada ponto onde a linha toca uma face constitui uma possível rótula. Um cabo obedece ao mesmo princípio, mas à tração. A sua forma é o funicular da carga: uma parábola quando a carga se distribui uniformemente ao longo do vão; uma catenária quando se distribui uniformemente ao longo do próprio cabo.

O que significa cada símbolo

H: o empuxo horizontal, em kN por metro de largura no arco e em kN no cabo. Tem o mesmo valor em todas as secções, pois não há forças laterais
t: a espessura do arco. A página determina o menor valor que ainda permite conter uma linha de pressões
R: o raio da linha média circular. Num semicírculo, t ÷ R é o valor a comparar com os 0,1075 de Milanković
w_d: uma carga por metro de vão, como a de um tabuleiro. Sozinha, dá ao cabo a forma de uma parábola
w_c: uma carga por metro de cabo, como o peso próprio. Sozinha, dá ao cabo a forma de uma catenária

Pressupõe: As pedras não resistem à tração através das juntas, têm resistência à compressão suficiente para nunca serem esmagadas e não deslizam umas sobre as outras. São as três hipóteses de Heyman; a segunda análise põe à prova a hipótese intermédia. A página considera ainda cada pedra rígida e admite que o arco suporta apenas o peso próprio. O cabo não tem rigidez à flexão e os apoios estão à mesma cota.

O tabuleiro, não o cabo, decide a curva em que o cabo fica suspenso 🖖

Prima Cabo à escala da Golden Gate. Com uma flecha de 143 m, fica a 164,7 mm de uma parábola e a 407,7 mm de uma catenária. Prima Cabo sem tabuleiro e o mesmo cabo coincide com a catenária. Numa corrente sujeita apenas ao peso próprio, a carga distribui-se ao longo do seu comprimento; por metro de vão, pesa mais onde a inclinação é maior, o que gera uma catenária. Se dela estiver suspenso um tabuleiro, a carga distribui-se uniformemente ao longo do vão, gerando uma parábola. Galileu desenhou parábolas com uma corrente suspensa, que apenas se aproxima dessa forma; a página das funções hiperbólicas conta essa história. Numa ponte suspensa, é a parábola que dá a melhor resposta. Com esta flecha, as duas curvas distam apenas 572,4 mm entre si, ou 0,40% da flecha. Por isso, o painel superior mostra um só traço e o inferior tem de representar os desvios em milímetros. Se a flecha do cabo for metade do vão, a diferença chega a 5%.

Um arco fino rui sem que a sua pedra sofra grande tensão 🖖

Prima Semicírculo, t/R 0,12. Há uma linha de pressões inteiramente contida na pedra, e cada arranque transmite verticalmente os 94,25 kN por metro de largura do respetivo meio-arco a 0,6 m de pedra. A tensão média é 0,16 MPa, uma fração ínfima da resistência à compressão de qualquer pedra de construção. Prima Semicírculo, t/R 0,09 e nenhuma linha de pressões cabe no arco: formam-se rótulas na coroa, nos rins e nos arranques, e o arco dobra-se sem que uma única pedra seja esmagada. A estabilidade de um arco depende da sua geometria. Com as 40 aduelas predefinidas, esta página situa o limite do semicírculo em t/R = 0,1075, valor obtido por Milutin Milanković nos seus artigos sobre a linha de pressões, publicados entre 1904 e 1910, muitos anos antes da teoria orbital das eras glaciares que leva o seu nome. A resistência ao esmagamento não intervém: uma pedra dez vezes mais resistente cai com a mesma espessura.

Inverta uma corrente suspensa e o arco quase não precisa de espessura 🖖

Prima Arco catenário delgado: 0,1 m de pedra num vão de 10 m, e o arco mantém-se de pé. Escolha depois Arco parabólico delgado, com o mesmo vão, a mesma altura e a mesma espessura, e nenhuma linha cabe. A catenária funciona porque uma corrente suspensa sob o peso próprio está inteiramente sujeita a tração ao longo de todo o comprimento; ao invertê-la, todas as forças se transformam em compressão sobre a mesma linha. A linha de pressões de uma catenária invertida percorre o centro da própria pedra, pelo que não precisa de espessura para a conter. Robert Hooke percebeu-o em 1675 e ocultou a ideia num anagrama: tal como pende a linha flexível, assim, invertido, se sustentará o arco rígido. Gaudí projetou a igreja da Colònia Güell, da qual apenas se construiu a cripta, com cordéis e pequenos sacos de granalha de chumbo suspensos de uma prancha; depois virou as fotografias ao contrário. A tabela comparativa inclui as quatro formas. Quando a altura é metade do vão, o arco apontado coincide com o semicírculo; a parábola precisa de 0,1444 m e o semicírculo de 0,5373 m.

Problema resolvido na íntegra

A tração no cabo principal de uma ponte suspensa 5 passos
Um cabo principal vence um vão de 1 280 m entre torres, com uma flecha de 143 m. Suporta 100 kN de tabuleiro por metro de vão e pesa 40 kN por metro do próprio comprimento. Estime a tração junto às torres sem resolver a curva. Depois prima Cabo à escala da Golden Gate e veja até que ponto a estimativa se aproxima.

Abrir este problema na ferramenta
1. Considere toda a carga uniformemente distribuída ao longo do vão. Isto equivale a tomar o comprimento do cabo como 1 280 m, embora seja um pouco maior:
  
  $w \approx w_{d} + w_{c} = 100 + 40 = 140 kN/m, w L = 140 \cdot 1280 = 179.20 MN$
2. Uma carga uniformemente distribuída ao longo do vão dá ao cabo a forma de uma parábola. Nesse caso, a tração horizontal obtém-se calculando um único momento de metade do cabo em relação à torre:
  
  $H = \frac{w L ^{2}}{8 f} = \frac{140 \cdot 128 0 ^{2}}{8 \cdot 143} = 200.50 MN$
3. Cada torre suporta verticalmente metade da carga total:
  
  $V = \frac{w L}{2} = 89.60 MN$
4. Junto à torre, o cabo exerce tração na direção da sua tangente; o valor dessa tração combina as duas componentes:
  
  $T = H^{2} + V^{2} = 200.5 0^{2} + 89.6 0^{2} = 219.61 MN$
5. A página resolve a curva exatamente. O cabo mede 1 321,48 m, pelo que o seu peso é 52,86 MN, e não 51,20; os valores exatos são ligeiramente superiores:
  
  $H = 201.44, V = 90.43, T = 220.80 MN$
Resposta

A parábola dá cerca de 219,6 MN em cada torre, contra 220,80 MN na curva exata: uma subestimação de 0,54%. O desvio surge porque o cabo é 3,2% mais comprido do que o vão e o seu peso representa 29% da carga. Para um primeiro dimensionamento, a estimativa é tão útil como a resposta exata e exigiu apenas um momento e uma raiz quadrada.

$\frac{220 . 80 - 219 . 61}{220 . 80} = 0 . 54%$

Percurso de aprendizagem

Para onde vai a carga

Referências (5)

The paper that put the analysis of masonry on the footing this page uses: blocks that cannot take tension, cannot slide and are never crushed, and an arch that is safe if any line of thrust fits inside it: J. Heyman, "The stone skeleton." International Journal of Solids and Structures 2(2), 1966, pp. 249-279. DOI 10.1016/0020-7683(66)90018-7
Insight 2's figure t/R = 0.1075 is Milankovitch's, for radial joints, and this paper is the modern treatment of it. Its abstract gives 0.1075 for radial cuts and 0.1095 for vertical ones, which is why this page states which joints it uses: N. Makris and H. Alexakis, "The effect of stereotomy on the shape of the thrust-line and the minimum thickness of semicircular masonry arches." Archive of Applied Mechanics 83(10), 2013, pp. 1511-1533. DOI 10.1007/s00419-013-0763-4
That the astronomer of the ice ages is the same Milankovitch, and that his thrust-line papers date from 1904 to 1910: F. Foce, "Milankovitch's Theorie der Druckkurven: Good mechanics for masonry architecture." Nexus Network Journal, 2007, pp. 185-209. DOI 10.1007/978-3-7643-8699-3_3
The catenary itself, cosh and Galileo's mistake, are derived on another tool of this site rather than here: The hanging chain y = a cosh(x/a) and the 1638 story: see /math/hyperbolic on this site.
The Golden Gate-sized preset uses the bridge's span and sag and ESTIMATED loads — see the note: No source. The 1,280 m main span and a sag of about 143 m are the bridge's published dimensions, recalled; the 40 kN/m cable weight is derived from a recalled wire count and wire diameter; the 100 kN/m deck load is an estimate.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.