Explorador de Parâmetros das Cônicas

Ajuste o centro, os parâmetros de forma e a orientação para ver a geometria da equação atualizar-se em tempo real.

Exemplo resolvido — Explorador de Parâmetros das Cônicas

forma padrão da elipse	1
Centro	(0,0)
semieixo maior	4
semieixo menor	3
distância focal c	2.645751

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Só a parábola recebe uma diretriz desenhada, e o vértice fica exatamente a meio 🖖

Alterne entre as predefinições e uma linha aparece apenas na parábola: a diretriz. Não é uma falta nas outras duas — é a definição. Tome parabolaRight: o vértice está em (−2, 0), o foco em (1, 0) e a diretriz em x = −5, o que deixa o vértice exatamente a 3 de cada um. Essa distância é p, e é por isso que mexer em p afasta foco e diretriz de forma simétrica. Uma parábola é a curva cujos pontos ficam à mesma distância de um foco e de uma reta, portanto a razão está fixada em 1; elipse e hipérbole reportam em vez disso focos deslocados de c.

De onde vem o nome 🖖

A palavra "cônica" é literal: corte um cone duplo com um plano e a borda do corte é uma dessas curvas. Com o plano na horizontal você obtém um círculo; incline-o um pouco e surge uma elipse; incline-o até ficar paralelo à lateral do cone e aparece uma parábola; incline mais para cortar as duas metades e você obtém os dois ramos de uma hipérbole. Cada forma desta ferramenta é apenas um ângulo de corte diferente.

O foco escondido dentro do cone 🖖

Uma cônica desenhada como equação tem um foco, e uma cônica cortada de um cone tem um plano de corte: parecem coisas sem relação. Em 1822, Germinal Dandelin mostrou que são o mesmo ponto: encaixe uma esfera dentro do cone de modo que ela toque ao mesmo tempo o cone e o plano de corte, e o ponto de contato da esfera é exatamente o foco. Numa elipse cabem duas dessas esferas, que fixam seus dois focos.

Problema resolvido na íntegra

Uma elipse com semieixos 4 e 3 e focos em c = 2,6458 5 passos
Uma elipse com semieixos 4 e 3 tem os seus focos em c = 2,6458. Deduza esse valor e, em seguida, a propriedade que a torna, desde logo, uma elipse.
1. Os três comprimentos não são independentes. Se nos colocarmos na extremidade do eixo menor, as duas distâncias focais são iguais, formando cada uma um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a — pelo que a² = b² + c², e a relação pitagórica está presente em todas as elipses.
  
  $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a = 4, b = 3$
2. Resolvendo em ordem a c obtém-se √7. A ferramenta apresenta 2,645751, que é o valor dessa raiz irracional.
  
  $a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟹ c = 16 - 9 = 7 = 2.645751$
3. A excentricidade é a razão entre c e a, sendo o parâmetro de forma — o número único que indica o quão afastada da forma circular a curva está, independentemente do tamanho.
  
  $e = \frac{c}{a} = \frac{2.645751}{4} = 0.6614$
4. Segue-se a propriedade definidora: a soma das distâncias aos dois focos é a mesma para qualquer ponto e é igual a 2a. Verifique-se na extremidade do eixo maior, onde as distâncias são a − c e a + c.
  
  $r_{1} + r_{2} = 2 a = 8 for every point on the curve$
5. A excentricidade também classifica toda a família. Zero é uma circunferência, aproximando-se de 1 é uma parábola, acima de 1 é uma hipérbole — a mesma equação em todo o caso.
  
  $e \to 0 \Rightarrow circle; e \to 1 \Rightarrow parabola; e > 1 \Rightarrow hyperbola$
Resposta

A ferramenta apresenta a = 4, b = 3 e c = 2,645751. A propriedade da soma constante é aquela a que se deve dar atenção, pois é simultaneamente a definição e a construção: dois alfinetes e um laço de fio de comprimento 2a + 2c desenham exatamente esta curva, e isso não é um truque de artesão, mas a própria definição tornada física. É também por isso que as órbitas são elipses com o Sol num foco e não no centro — o foco é onde a física reside, e o centro é apenas o ponto médio de um desenho.

$c = a^{2} - b^{2} = 7, e = 0.661; r_{1} + r_{2} = 2 a defines the ellipse$

Referências (1)

Insight block 3 — the sphere that turns a cutting plane into a focus: G. P. Dandelin, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 2, 1822.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-21

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Problemas de exemplo

elipse larga - Os semieixos 5 e 3 colocam os focos em c = 4: dentro da elipse está o triângulo 3-4-5, e a excentricidade é exatamente 0,8.
elipse alta - É a mesma elipse de dimensões 5 por 3 que a elipse larga, agora na vertical e deslocada para (-1, 1). O mesmo c = 4, a mesma excentricidade 0,8. A orientação não altera a forma.
parábola para cima - O vértice está em (0, -2), o foco na origem e a diretriz em y = -4. O vértice dista 2 de ambos, precisamente a propriedade que define uma parábola.
parábola para a direita - Como p = 3, o foco em (1, 0) e a diretriz x = -5 ficam a uma distância de 3 do vértice, em lados opostos; a corda que passa pelo foco tem comprimento 4p = 12.
hipérbole em x - Com a = 4 e b = 2, obtém-se c = 4,472136 e assíntotas de declive 0,5. A excentricidade é 1,118034, pouco acima do valor 1 da parábola.
hipérbole em y - Com a = 3 e b = 4, obtém-se c = 5, o mesmo triângulo 3-4-5 da elipse larga. Aqui, porém, c² = a² + b², e não a² = b² + c². A excentricidade é 1,666667.