Explorador de Relatividade Restrita

Arraste o controle de velocidade para ver como o tempo, o comprimento e a massa se transformam em velocidades relativísticas.

Exemplo resolvido — Explorador de Relatividade Restrita

Razão de contração do comprimento	60%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Explorador de Relatividade Restrita

A relatividade restrita é o que resulta de manter duas afirmações ao mesmo tempo: as leis da física têm a mesma forma em qualquer referencial em movimento a velocidade constante, e a velocidade da luz é uma dessas leis. Nenhuma delas menciona relógios ou réguas. Tudo nesta página — o tempo dilatado, o comprimento encurtado, os eixos inclinados — é consequência de nos recusarmos a abrir mão de qualquer uma dessas afirmações.

O que significa cada símbolo

β: a velocidade, escrita como uma fração da velocidade da luz. β = 0.8 é o valor que vale a pena memorizar: √(1 − 0.8²) = 0.6 resulta em um valor exato, um triângulo 3-4-5, de modo que γ é exatamente 5/3 e a linha da razão exibe 60%.
γ: o fator de Lorentz. É um número puro — sem unidades próprias —, razão pela qual o valor único 1.6667 pode atuar sobre segundos, metros e quilogramas no mesmo painel sem precisar de conversão entre eles.
t₀: o tempo próprio: o intervalo lido em um único relógio que está presente em ambos os eventos — o próprio relógio de pulso do viajante. O subscrito não significa inicial. Significa medido onde o objeto está em repouso, e interpretá-lo como "o tempo no início" é a maneira mais comum de aplicar essa fórmula ao contrário.
L₀: o comprimento próprio: medido no referencial em que o objeto permanece parado. Em contrapartida, medir o comprimento de um objeto em movimento significa marcar ambas as suas extremidades no mesmo instante — e a simultaneidade é exatamente aquilo em que dois referenciais discordam, que é de onde surge a contração.

De onde vem a fórmula

Construa um relógio de luz: dois espelhos separados por uma distância d, com um pulso refletindo entre eles. Em repouso, um tic-tac é a viagem de ida e volta, t₀ = 2d/c.
Agora deixe esse mesmo relógio passar por você a uma velocidade v. Os espelhos se movem lateralmente enquanto o pulso está em trânsito, de modo que o caminho que você vê não é a distância d, mas uma diagonal mais longa — e o pulso ainda a percorre a c, porque o segundo postulado não faz exceções para lanternas em movimento.
A diagonal, a distância entre os espelhos e o deslocamento lateral formam um triângulo retângulo, portanto (c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)². Substitua d = c·t₀/2 do passo 1.
Agrupe os termos com Δt²: Δt²(c² − v²) = c²t₀², assim Δt = t₀/√(1 − β²) = γ·t₀. Nada foi presumido sobre do que o relógio é feito — e é por isso que o mesmo fator se aplica tanto ao decaimento de um múon quanto a um pulso entre espelhos, e com β = 0.8 é os 1.6667 s exibidos acima.

Como ler o que vê

No diagrama espaço-tempo, a linha tracejada laranja a 45° é a trajetória da luz. Os seus eixos são o par azul; os eixos x' e ct' do viajante são o par verde, e eles se inclinam em direção a essa linha de 45° pelo mesmo ângulo a partir de lados opostos — uma tesoura se fechando sobre o cone de luz, mas sem nunca cruzá-lo. Observe o que acontece com o comprimento: o comprimento de repouso L₀ é desenhado ao longo do próprio eixo x' do viajante, e o L contraído é a sua sombra no seu eixo x. Nada é comprimido; um segmento é projetado em uma régua com uma inclinação diferente. A hipérbole vermelha tênue que passa pelo evento é a curva de calibração — cada ponto nela está ao mesmo tempo próprio em relação à origem, e é assim que você compara as marcas dos relógios entre dois referenciais cujos eixos possuem escalas diferentes.

Pressupõe: Apenas referenciais inerciais: uma velocidade relativa constante, sem aceleração, sem gravidade. Há um único β aqui e nenhuma maneira de fazer meia-volta, portanto o paradoxo dos gêmeos não pode ser formulado nesta página — a jornada de volta é a parte que quebra a simetria entre os dois observadores, e não há jornada de volta.
Falha quando: A linha da massa relativística é uma remanescente de uma forma antiga de escrever isso, e vale a pena saber que os físicos em atividade a abandonaram. A massa é tratada como invariante hoje em dia; o fator γ pertence ao momento linear, p = γm₀v, e não ao objeto. A razão é concreta: empurre o objeto em movimento na direção do seu deslocamento e a sua resistência varia como γ³m₀; empurre-o lateralmente e ela varia como γm₀. Um único objeto, duas "massas" diferentes, dependendo de para onde você empurra — de modo que os 1.6667 kg exibidos acima são um recurso contábil, e não um objeto mais pesado.

Velocidades se recusam a somar, rapidezes somam 🖖

Ajuste β = 0,5 e a aba de Minkowski inclina os eixos do referencial em movimento em arctan β = 26,57°. Mas aplique esse mesmo impulso duas vezes e você não chega a β = 1: as velocidades se combinam como (0,5 + 0,5)/(1 + 0,25) = 0,8 exatamente, o que você pode conferir ajustando β = 0,8 e lendo γ = 1,6667. O que soma é a rapidez ψ = artanh β, a grandeza com que a inclinação daquele diagrama é construída: artanh 0,5 = 0,5493, dobrado dá 1,0986, e tanh 1,0986 = 0,8. A rapidez é o ângulo hiperbólico de um impulso, então impulsos se compõem por adição simples, como rotações, e nenhuma pilha finita deles jamais alcança c.

Por que o fator de Lorentz γ comanda tudo 🖖

Toda a ferramenta gira em torno de um número: o fator de Lorentz γ = 1/√(1−β²), com β = v/c. À velocidade de uma caminhada, γ ≈ 1, então a relatividade se esconde; à medida que v se aproxima da velocidade da luz c, γ cresce sem limite. Em v = 0.87c, γ = 2 — relógios em movimento avançam à metade do ritmo e os comprimentos caem pela metade. Como atingir c exigiria γ = ∞, nenhum objeto com massa consegue: o preço seria energia infinita.

Um objeto veloz parece girado, não encolhido 🖖

A contração do comprimento é o que você mede, não o que vê. Como a luz do lado distante de um corpo parte antes da luz do lado próximo, a fotografia de um objeto passando em alta velocidade o registra aparentemente girado em vez de achatado — uma esfera mantém o contorno redondo. Essa rotação de Terrell–Penrose passou despercebida por 54 anos, até que James Terrell e Roger Penrose a descobriram de forma independente em 1959.

A contração do comprimento foi inventada para salvar o éter 🖖

Em 1889, George FitzGerald enviou uma carta de um único parágrafo à Science propondo que um corpo em movimento através do éter se encurta fisicamente ao longo de seu movimento — exatamente pelo fator que esta página exibe como L/L₀. Lorentz chegou ao mesmo fator de forma independente. Ambos estavam tentando resgatar o éter do resultado nulo do experimento de Michelson–Morley: se o aparelho se contrai na medida exata, ele não pode detectar seu próprio movimento através do meio. O artigo de Einstein de 1905 produziu o mesmo número a partir de dois postulados e sem éter algum. Com β = 0.8, o resultado é 0.6 de qualquer maneira — a aritmética nunca mudou, apenas o seu significado: não se trata de matéria espremida por um vento contrário, mas de dois observadores fatiando o espaço-tempo em ângulos diferentes. O fator ainda carrega o nome de Lorentz.

O efeito mais importante é aquele que você não consegue ver aqui 🖖

A predefinição do múon exibe esta página em sua forma mais convincente: β = 0.9992 resulta em γ = 25.005, dilatando o tempo de vida de 2.2 µs de um múon para 5.501 × 10⁻⁵ s e afinando 650 m de atmosfera para 25.995 m, razão pela qual partículas que deveriam decair no alto da atmosfera alcançam o solo. Essa dilatação foi medida diretamente em múons circulando em um anel de armazenamento no CERN. O caso de grande impacto prático é invisível aqui: ao carregar a predefinição do GPS, o painel exibe γ = 1 e Δt = 86400 s, porque o β de um satélite, de cerca de 10⁻⁵, coloca todo o efeito abaixo de cinco algarismos significativos. Mesmo assim, o efeito é real — a velocidade orbital faz o relógio do satélite atrasar cerca de 7 µs por dia, a gravidade o faz adiantar cerca de 45 µs, e deixar a diferença sem correção descalibraria a precisão da posição em cerca de 11 km diariamente. Apenas o primeiro desses três números pertence à relatividade restrita.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Com β = 0.8 a razão de contração dos comprimentos mostra exatamente 60%. Experimenta β = 0.6, depois β = 0.28, depois β = 0.96 — e a seguir β = 0.5 para veres porque se comporta de outra maneira.

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0.6 dá 80%, 0.28 dá 96% e 0.96 dá 28%: os pares trocam de lugar. A razão é 1/γ = √(1 − β²), logo β² + (1/γ)² = 1 — a velocidade e a contração são os dois catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa 1, e essa relação não distingue qual é qual. As respostas redondas aparecem por isso exatamente onde há um terno pitagórico: (3, 4, 5) dá o par 0.6/0.8 e (7, 24, 25) dá 0.28/0.96. β = 0.5 não pertence a nenhum terno, por isso mostra 86.603%, que é √3/2.
A predefinição satélite GPS corre a β = 0.0000133, uma velocidade orbital real. γ mostra 1, o tempo dilatado mostra 1 s, o comprimento contraído mostra 1 m, a razão mostra 100% — todos os efeitos relativistas foram arredondados até desaparecerem. Ainda assim a energia cinética mostra 7.949×10⁶ J. Que leitura está a mentir?

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Nenhuma. A linha da energia cinética é a única multiplicada por c², logo a única onde o excesso sobrevive: γ − 1 vale 8.845×10⁻¹¹, nove partes em cem mil milhões, e a linha substitui precisamente esse valor em vez do γ arredondado. Vezes c² = 8.99×10¹⁶ dá 7.9 megajoules por quilograma. Confirma com Newton: a velocidade orbital da predefinição é 3987.2 m/s, e ½mv² = ½ × 1 × 3987.2² = 7.949×10⁶ J, o mesmo número. A velocidades orbitais a relatividade é imensurável nos comprimentos e incontornável nas energias, e toda a diferença está no tamanho de c².

Problema resolvido na íntegra

Uma régua de um metro a medir 60 cm a 0,8 c 5 passos
A 0,8c uma régua de um metro mede 60 cm. Deduza esse resultado e, em seguida, determine o quanto a energia cinética newtoniana subestima a do mesmo objeto.
1. Tudo resulta de um único fator. A 0,8c a raiz quadrada resulta em exatamente 0,6 — uma das poucas velocidades em que a aritmética é simples, razão pela qual os manuais a utilizam.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.6} = 1.6667$
2. O comprimento contrai pelo inverso desse fator, pelo que 60% não é uma aproximação; é exatamente 3/5.
  
  $\frac{L}{L _{0}} = \frac{1}{γ} = 0.60 = 60%$
3. Vale a pena tabular este fator, pois o seu comportamento resume todo o assunto. Mal se altera até metade da velocidade da luz, subindo depois bruscamente: 2,29 a 0,9c, 7,09 a 0,99c, 22,4 a 0,999c.
  
  $β = 0.9 : γ = 2.294; β = 0.99 : γ = 7.089; β = 0.999 : γ = 22.37$
4. A energia cinética é onde reside a consequência prática. A expressão relativística não é ½mv² com uma correção acrescentada; é o excesso da energia total relativamente à energia em repouso.
  
  $K = (γ - 1) m c^{2} = 0.6667 m c^{2}$
5. A 0,8c isso equivale a 0,667mc², contra os 0,32mc² newtonianos.
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.32 m c^{2} ⟹ Newton is short by a factor of 2.08$
Resposta

A ferramenta indica uma razão de contração do comprimento de 60%. O valor que o painel não mostra é o da energia: Newton fica aquém por um fator de 2,08 a esta velocidade, e essa diferença diverge à medida que o fator diverge. É por isso que os aceleradores de partículas são descritos pela energia e não pela velocidade — uma máquina pode duplicar a energia de um protão e alterar a sua velocidade de 0,99c para 0,997c, o que parece insignificante, mas constitui toda a melhoria. Desloque o controlo deslizante para 0,999c e observe a razão de comprimento cair para 4,471% enquanto a velocidade varia na terceira casa decimal.

$γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} : L / L_{0} = 60% at 0.8 c, K = 0.667 m c^{2}$

Referências (7)

Rapidity as the additive hyperbolic angle of a boost: J. A. Rhodes and M. D. Semon, "Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession." American Journal of Physics 72(7), 943–960, 2004.
On stating time dilation and contraction without the usual sleights: N. D. Mermin, "Lapses in relativistic pedagogy." American Journal of Physics 62(1), 11, 1994.
The contraction proposed to reconcile the aether with the Michelson–Morley null result: G. F. FitzGerald, "The Ether and the Earth's Atmosphere." Science ns-13(328), 390, 1889.
The same factor derived from two postulates, with no aether: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322(10), 891–921, 1905.
Why the relativistic-mass row is a historical convention rather than current usage: L. B. Okun, "The Concept of Mass." Physics Today 42(6), 31–36, 1989.
Time dilation measured directly on muons in a storage ring: J. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit." Nature 268, 301–305, 1977.
The satellite-clock corrections, both signs of them: N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-14

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Problemas de exemplo

Múon (0.9c) - Múon a 0.9c: γ=2.29, o tempo se dilata
Satélite GPS - Satélite GPS: dilatação minúscula, porém mensurável
Metade de c - Metade da velocidade da luz: γ=1.155
0.99c - 0.99c: γ=7.09, efeitos dramáticos