Explorador de Seções Cônicas

curva cônica implícita a partir de Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Exemplo resolvido — Explorador de Seções Cônicas

Equação	0
Regra de classificação	Δ<0⇒Elipse,Δ=0⇒Parábola,Δ>0⇒Hipérbole
Classificação	Elipse

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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o discriminante é uma fronteira de fase geométrica 🖖

O discriminante Δ = B² - 4AC é a fronteira de fase das cônicas: Δ < 0 dá curvas da família das elipses, Δ = 0 dá curvas da família das parábolas, e Δ > 0 dá curvas da família das hipérboles. Os termos lineares D e E deslocam a curva no plano, enquanto F define o valor do conjunto de nível.

Um cone, todas as curvas 🖖

Aponte uma lanterna diretamente para uma parede e o feixe desenha um círculo; incline-a e o círculo se estica numa elipse, se abre numa parábola e por fim se parte numa hipérbole. As quatro são cortes do mesmo cone de luz. Esta ferramenta faz o inverso: a partir dos seis coeficientes A–F, deduz qual corte você desenhou. Um círculo é apenas a elipse especial em que A = C e B = 0.

as órbitas escolhem sua cônica pela energia 🖖

Newton mostrou que qualquer corpo sob a gravidade do inverso do quadrado segue uma cônica com o Sol em um dos focos, e o sinal da energia total decide qual: energia negativa o prende numa elipse, exatamente zero dá um escape parabólico e energia positiva abre uma hipérbole. Foi assim que os astrônomos souberam que ʻOumuamua (2017) e o cometa 2I/Borisov (2019) vinham de fora do sistema solar — suas órbitas eram claramente hiperbólicas (e > 1), de modo que nada podia trazê-los de volta.

Teoria das Seções Cônicas — Curvas do Cone e do Plano

Classificação das Cônicas: Do Corte do Cone à Equação

Toda seção cônica é formada pelo corte de um cone duplo por um plano. A inclinação do plano define a família geométrica, enquanto a equação é classificada pelo discriminante Δ = B² - 4AC e pela excentricidade e.

Circunferência — Raio Constante e Excentricidade Zero x² + y² = r²

Elipse — Dois Focos e Órbita Fechada x²/a² + y²/b² = 1

Parábola — Igual Distância ao Foco e à Diretriz y = a(x − h)² + k

Hipérbole — Dois Ramos Abertos e Assíntotas x²/a² − y²/b² = 1

Cônicas Degeneradas — Corte pelo Ápice Ax² + Cy² = 0

Cônicas Rotacionadas — Alinhamento com Termo Misto tan(2θ) = B / (A − C)

Circunferência — Raio Constante e Excentricidade Zero

Condições dadas: Discriminante Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (ou e = 0)

Equação: x² + y² = r²

Exemplo resolvido: x² + y² = 9 ⟹ Circunferência centrada em (0,0) com raio r = 3

Abrir esta cônica: circunferência

Circunferência — Raio Constante e Excentricidade Zero. Circunferência: Plano de corte perpendicular ao eixo do cone. Discriminante Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (ou e = 0) — Circunferência: Plano de corte perpendicular ao eixo do cone.

Elipse — Dois Focos e Órbita Fechada

Condições dadas: Discriminante Δ < 0, A ≠ C ou B ≠ 0 (0 < e < 1)

Equação: x²/a² + y²/b² = 1

Exemplo resolvido: 4x² + 9y² = 36 ⟹ Semieixo maior a = 3, semieixo menor b = 2

Abrir esta cônica: elipse inclinada

Elipse — Dois Focos e Órbita Fechada. Elipse: Plano de corte inclinado atravessando uma folha do cone. Discriminante Δ < 0, A ≠ C ou B ≠ 0 (0 < e < 1) — Elipse: Plano de corte inclinado atravessando uma folha do cone.

Parábola — Igual Distância ao Foco e à Diretriz

Condições dadas: Discriminante Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1)

Equação: y = a(x − h)² + k

Exemplo resolvido: y - x² = 0 ⟹ Vértice em (0,0), foco em (0, 0.25)

Abrir esta cônica: parábola

Parábola — Igual Distância ao Foco e à Diretriz. Parábola: Plano de corte paralelo a uma geratriz do cone. Discriminante Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1) — Parábola: Plano de corte paralelo a uma geratriz do cone.

Hipérbole — Dois Ramos Abertos e Assíntotas

Condições dadas: Discriminante Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1)

Equação: x²/a² − y²/b² = 1

Exemplo resolvido: x² - y² = 4 ⟹ Dois ramos com assíntotas y = ±x

Abrir esta cônica: hipérbole

Hipérbole — Dois Ramos Abertos e Assíntotas. Hipérbole: Plano de corte íngreme atravessando ambas as folhas. Discriminante Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1) — Hipérbole: Plano de corte íngreme atravessando ambas as folhas.

Cônicas Degeneradas — Corte pelo Ápice

Condições dadas: O plano passa exatamente pelo vértice central do cone

Equação: Ax² + Cy² = 0

Exemplo resolvido: x² + y² = 0 (Um ponto) ou x² - y² = 0 (Duas retas y = ±x)

Abrir esta cônica: retas concorrentes

Cônicas Degeneradas — Corte pelo Ápice. Cônica degenerada: Cortar pelo ápice faz a curva colapsar. O plano passa exatamente pelo vértice central do cone — Cônica degenerada: Cortar pelo ápice faz a curva colapsar.

Cônicas Rotacionadas — Alinhamento com Termo Misto

Condições dadas: Termo misto B ≠ 0 em Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Equação: tan(2θ) = B / (A − C)

Exemplo resolvido: 4x² + xy + 2y² = 16 ⟹ Elipse rotacionada com eixos inclinados

Abrir esta cônica: quase uma parábola

Cônicas Rotacionadas — Alinhamento com Termo Misto. Cônica rotacionada: O termo Bxy inclina os eixos no plano. Termo misto B ≠ 0 em Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 — Cônica rotacionada: O termo Bxy inclina os eixos no plano.

Referências (1)

Insight block 3 — the hyperbolic orbit that proved an object came from outside: K. J. Meech et al., "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid." Nature 552, 378–381, 2017 — 1I/ʻOumuamua, whose positive orbital energy is what identified it.

Problema resolvido na íntegra

O ângulo de inclinação da elipse oblíqua, os seus dois eixos e excentricidade 5 passos
4x² + xy + 2y² = 16 é uma elipse, e o termo xy significa que está inclinada. Determine o ângulo segundo o qual está inclinada, os seus dois eixos e a sua excentricidade — nenhum dos quais é apresentado por este painel.
1. O discriminante define em primeiro lugar a família. Como é negativo, a curva é uma elipse, e nenhuma rotação ou translação pode alterar isso.
  
  $Δ = B^{2} - 4 A C = 1 - 4 (4) (2) = 1 - 32 = - 31 < 0$
2. Escreva a parte quadrática como uma matriz simétrica, com o coeficiente de xy dividido entre as duas entradas fora da diagonal principal. O seu determinante é 7,75 e o discriminante é exatamente −4 vezes esse valor — o mesmo teste sob uma notação diferente.
  
  $M = (A B /2 B /2 C) = (4 0.5 0.5 2), det M = 8 - 0.25 = 7.75 = - \frac{Δ}{4}$
3. Rodar os eixos segundo um ângulo θ altera B, e a rotação que o elimina completamente satisfaz tan 2θ = B/(A − C). A resolução fornece uma inclinação de cerca de 13,3°.
  
  $tan 2 θ = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 13.282 5^{\circ}$
4. No referencial rodado, a equação não tem termo misto e os dois novos coeficientes são os valores próprios dessa matriz. A elipse fica então sob a sua forma familiar.
  
  $λ = \frac{6 \pm 5}{2} = 4.118, 1.882 ⟹ 4.118 x^{'2} + 1.882 y^{'2} = 16$
5. Seguem-se os semieixos e, com eles, a excentricidade: 0,737. Trata-se de uma elipse claramente alongada — o eixo menor é 68% do eixo maior, e nenhum planeta no sistema solar tem uma órbita minimamente próxima dessa forma.
  
  $a = \frac{16}{1.882} = 2.916, b = \frac{16}{4.118} = 1.971, e = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 0.737$
Resposta

A ferramenta apresenta Δ = −31 e classifica-a como Elipse. O Passo 2 explica a razão pela qual essa classificação é de confiança. Rodar os eixos altera A, B e C individualmente, mas não pode alterar o determinante da matriz que eles formam, e o discriminante não é mais do que esse determinante multiplicado por −4. Assim, a fronteira elipse–parábola–hipérbole é uma propriedade da curva e não das coordenadas em que por acaso a desenhou — que é exatamente o que uma classificação tem de ser para ter valor.

$Δ = - 4 det M, and det M survives rotation$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

circunferência - x^2 + y^2 = 9 é uma circunferência, um caso particular de elipse.
elipse inclinada - Um termo xy não nulo produz uma elipse rotacionada.
parábola - y = x^2 é classificada como parábola (delta=0).
hipérbole - x^2 - y^2 = 4 é uma hipérbole de dois ramos.
retas concorrentes - Aqui temos Δ = 4, exatamente como na hipérbole predefinida. A classificação, contudo, lê-se como Degenerada. A única diferença entre as duas é F: 0 contra −4. Repare que F não entra de forma alguma no cálculo de B² − 4AC. A equação x² − y² = 0 fatora-se na forma (x − y)(x + y) = 0. Sobram apenas as duas assíntotas isoladas. É exatamente nisto que uma hipérbole se converte quando a deixamos colapsar sobre elas. O discriminante dá o nome à família. Não lhe consegue dizer se a curva sobreviveu.
quase uma parábola - O cálculo dá rigorosamente Δ = 2² − 4(1)(1) = 0. A classificação confirma-se portanto como Parábola, e não como uma mera aproximação. Agrupada, a equação assume a forma (x + y)² = 4y. O termo xy rodou a parábola em relação aos eixos sem alterar o que ela é. Reduza B num décimo e Δ passa a negativo, forçando a curva a fechar-se numa elipse. Aumente o valor em vez disso e ela abre-se numa hipérbole. Toda a família de curvas depende desse único número.