Leis de Kirchhoff e a Ponte de Wheatstone

Coloque uma fonte, quatro braços e um detetor. A página resolve a ponte da única forma possível, com duas equações de nós, e mostra o que o detetor regista, onde fica o ponto de equilíbrio e o motivo de nem a fonte nem o detetor constarem nele.

Exemplo resolvido — Leis de Kirchhoff e a Ponte de Wheatstone

Potencial em C, equação do nó	6,6667 V
Potencial em D, equação do nó	6,6667 V
Tensão no detetor	0,0000 mV
Corrente no detetor	0 A
Fuga ao equilíbrio: R₁R₄−R₂R₃	0,00
Valor que R₄ deveria ter	300,0000 Ω
Corrente saída da fonte	0,055556 A
Corrente não contabilizada	5,90 × 10⁻¹⁷ A

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Leis de Kirchhoff e a Ponte de Wheatstone

Duas leis de conservação ditam tudo o que se encontra nesta página. A Lei das Correntes de Kirchhoff estabelece que as correntes que chegam a uma junção somam igual às correntes que dela saem, pois a carga não se acumula em lado nenhum. A Lei das Tensões de Kirchhoff estabelece que as variações de tensão ao longo de qualquer malha fechada somam zero, porque uma carga devolvida ao ponto de partida não ganhou nada. Aplicadas a um circuito com n potenciais de nó desconhecidos, fornecem n equações, o que é suficiente seja qual for o seu formato. Uma Ponte de Wheatstone é o circuito mais elementar onde necessita delas: quatro braços entre uma fonte e um detetor atravessado a meio, em equilíbrio quando R₁/R₂ = R₃/R₄.

O que significa cada símbolo

E: a fonte, em volts. Define todas as correntes no circuito e não aparece de forma alguma na condição de equilíbrio
V_C: o potencial no ponto médio esquerdo, em volts. Uma das duas incógnitas, onde a equação do respetivo nó constitui uma das duas equações
V_D: o potencial no ponto médio direito. A outra incógnita
I_g: a corrente no detetor, em amperes. Positiva quando flui de C para D; zero, e apenas zero, em equilíbrio
R_g: a resistência interna do próprio detetor, em ohms. Altera a quantidade de corrente que flui quando a ponte está desequilibrada, e não o local onde fica o ponto de equilíbrio

Pressupõe: Fios ideais, resistências lineares, corrente contínua constante e uma fonte sem resistência interna própria. A página anterior dedicou a sua totalidade a provar que isto nunca é verdade. Tal pressuposto é inofensivo aqui devido ao próprio tema da página. Uma resistência interna fica em série com a fonte, altera todas as correntes no circuito e não desloca minimamente o ponto de equilíbrio. O detetor é tratado como uma simples resistência, algo que se verifica num galvanómetro de bobina móvel, mas que não se aplica a um eletrónico moderno.
Falha quando: Em corrente alternada, onde um braço tem reatância além de resistência, o equilíbrio exige duas condições (módulo e fase) em vez de apenas uma, e é para isso que serve uma ponte de impedâncias. Numa aplicação não linear falha: um díodo ou o filamento de uma lâmpada num braço não fornecem uma resistência única que se possa colocar na proporção. Quanto à precisão, falha de um modo que importa realçar. A medição de uma ponte é apenas tão boa quanto os três braços que julga conhecer, porque R₃ = R₁R₄/R₂ herda os erros de todos eles. O detetor não contribui em nada para a exatidão, dado que apenas tem de saber distinguir o zero do que não é, tratando-se de um instrumento bem mais simples de construir do que um que tenha de fazer uma medição real.

Cinco resistências, e não há duas em série 🖖

Tudo o que as três últimas páginas ensinaram esgota-se aqui. Observe o circuito: o nó C tem três fios ligados (R₁, R₂ e o detetor). Como um par em série exige uma junção na qual mais nada toque, R₁ e R₂ não estão em série. O nó D obedece à mesma regra. Também não há duas resistências, entre as cinco, que partilhem ambos os extremos, logo não há nada em paralelo. As regras de associação não têm onde pegar. Prima agora Detetor removido: sem o galvanómetro, o nó C tem apenas dois fios e a ferramenta indica imediatamente R₁+R₂ e R₃+R₄. A ponte é irredutível devido ao detetor, que é precisamente a razão pela qual é ali colocado. Em substituição, o que resolve o problema são duas leis de conservação (a da carga num nó e a da energia numa malha) e duas equações a duas incógnitas.

O zero continua a ser zero, faça a bateria o que fizer 🖖

Prima Equilibrada e leia a coluna do detetor na tabela abaixo. O valor é zero a 1 V e a 100 V; é zero com um detetor de 5 Ω e com um de 500 Ω. A corrente da fonte, na coluna ao lado, vai de 0,005556 A a 0,555556 A ao longo das mesmas seis linhas, perfazendo um fator de cem, e o ponto nulo não se altera. É isto que faz de uma ponte um instrumento de medida e não apenas um cálculo. As duas grandezas mais difíceis de apurar num circuito (a quantidade que a fonte fornece na realidade e a carga que o próprio medidor exerce no circuito) desaparecem face a uma leitura zero. Um ohmímetro tem de conhecer ambas e a sua precisão é apenas tão boa quanto esse conhecimento.

Só a razão importa, pelo que escolha os braços que puder suportar 🖖

O equilíbrio é R₁/R₂ = R₃/R₄, não entrando aqui mais nada sobre as quatro resistências. Prima Equilibrada e, de seguida, Braços dez vezes maiores. R₁ e R₂ passam de 100 e 200 Ω para 1.000 e 2.000, o detetor continua a registar 0 A, e a corrente da fonte desce de 0,055556 A para 0,025556 A. A mesma medição, com menos de metade da corrente. É para isto que serve um braço de proporção: permite escolher o par que se adapta à corrente que se pode dispensar ou ao aquecimento que se consegue tolerar, sabendo que a incógnita será calculada da mesma forma independentemente da escolha.

Problema resolvido na íntegra

Medir uma resistência de valor ilegível 6 passos
R₃ é desconhecida. R₁ = 100 Ω e R₂ = 200 Ω são padrões com 0,01% de exatidão, e R₄ é uma caixa de décadas que se ajusta até o detetor registar zero. A ponte anula-se aos R₄ = 300,0000 Ω. Determine R₃ e indique com que precisão a conhece.

Abrir este problema na ferramenta
1. No ponto nulo não há corrente a atravessar o detetor, pelo que C e D estão ao mesmo potencial. Este é o único facto de que todo o método necessita.
  
  $I_{g} = 0 ⟹ V_{C} = V_{D}$
2. Sem corrente a fluir por R_g, R₁ e R₂ formam um divisor de tensão normal com duas resistências, o mesmo acontecendo a R₃ e R₄. O potencial em cada ponto médio equivale ao produto da fonte com o braço inferior a dividir pelo total do par.
  
  $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
3. Igualando os dois pontos médios, a fonte cancela-se de imediato em ambos os lados.
  
  $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
4. Multiplicando em cruz, a expressão reduz-se a um produto de pares: R₁R₄ = R₂R₃.
  
  $R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} = R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} ⟹ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$
5. Logo R₃ = R₁R₄/R₂ = 100 × 300,0000 ÷ 200 = 150,0000 Ω. Releia os elementos presentes nessa linha. Há apenas três resistências e mais nada. Não há tensão da fonte, nem resistência do detetor, nem corrente.
  
  $R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = \frac{100 \cdot 300 . 0000}{200} = 150.0000 Ω$
6. Falta a precisão, que corresponde à parte habitualmente omitida nos manuais. Os erros fracionários somam-se em produtos e quocientes, pelo que R₃ carrega os erros dos três braços conhecidos e absolutamente nenhum proveniente do detetor.
  
  $\frac{Δ R _{3}}{R _{3}} \leq \frac{Δ R _{1}}{R _{1}} + \frac{Δ R _{4}}{R _{4}} + \frac{Δ R _{2}}{R _{2}} = 3 \times 0 . 01% = 0 . 03%$
Resposta

R₃ = 150,0000 Ω, com cerca de 0,03% de erro. Os três padrões têm 0,01% de exatidão cada e os seus erros fracionários somam-se no pior cenário. O detetor nada contribui porque nunca se lhe exigiu um valor concreto, apenas a distinção entre zero e não zero. Este é o compromisso sobre o qual todo o instrumento é construído, sendo por isso que uma ponte superou todos os métodos diretos ao longo de um século e meio: é muito mais fácil fabricar um aparelho capaz de atestar a ausência de uma corrente do que algo que saiba indicar com rigor qual a sua intensidade.

$R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = 150.0000 Ω \pm 0 . 03%$

Percurso de aprendizagem

O que a lei de Ohm deixa de fora

Referências (3)

The laws themselves, published while Kirchhoff was still a student. The paper is about current spreading through a plane conductor; the two rules this page uses are stated on the way: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The bridge, from the Bakerian Lecture that made it famous — and in which Wheatstone credits Christie rather than claiming it: C. Wheatstone, "XIII. The Bakerian lecture. — An account of several new instruments and processes for determining the constants of a voltaic circuit." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133, 1843, pp. 303-327. DOI 10.1098/rstl.1843.0014
Christie's paper of ten years earlier, where the diamond of four resistances and a null detector appears first. The bridge carries the wrong name and has done since 1843: S. H. Christie, "VIII. The Bakerian Lecture. — Experimental determination of the laws of magneto-electric induction in different masses of the same metal, and of its intensity in different metals." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123, 1833, pp. 95-142. DOI 10.1098/rstl.1833.0011

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.