Resistência e Resistividade de Condutores

Escolha um material, um comprimento, uma espessura e uma temperatura. A página calcula a resistência desse fio. Mostra também a perda de tensão e o calor dissipado para a corrente definida, bem como o peso necessário para realizar o mesmo trabalho em outros seis metais.

Exemplo resolvido — Resistência e Resistividade de Condutores

Área da secção transversal	1,5001 mm²
Resistividade a esta temperatura	1,68 × 10⁻⁸ Ω·m
Resistência total do comprimento	2,2399 Ω
Resistência por metro	1,12 × 10⁻² Ω/m
Queda de tensão ao longo do fio	19,478 V
Potência dissipada em calor	169,4 W
Resistência ÷ o seu valor a 20 °C	1,0000
Peso do condutor	2,688 kg

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Resistência e Resistividade de Condutores

A resistência de um fio é R = ρL/A. Representa a resistividade ρ do material multiplicada pelo seu comprimento, a dividir pela área da secção transversal. A resistividade mede-se em ohm-metros e pertence exclusivamente à substância. O cobre apresenta 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m quer seja um cabelo ou um barramento, ficando o formato do fio totalmente a cargo de L e A. A área relaciona-se com o diâmetro ao quadrado, A = πd²/4, pelo que a espessura conta a dobrar. A resistividade altera-se com a temperatura. Esta página utiliza a forma de primeira ordem ρ(T) = ρ₂₀(1 + α(T − 20)).

O que significa cada símbolo

ρ: resistividade, em ohm-metros. É uma propriedade do material e nada mais; a forma do fio não interfere
L: comprimento do condutor, em metros. Num cabo isto engloba a ida E a volta, detalhe abordado no problema resolvido
A: área da secção transversal, em m². Corresponde a πd²/4 para um fio redondo, logo duplicar o diâmetro divide a resistência por quatro
α: coeficiente de temperatura, por kelvin. Ronda 0,004 para um metal puro e revela-se dez vezes menor numa liga de resistência
R: resistência desse troço específico de fio, em ohms — a única grandeza apresentada que depende de todas as outras

Pressupõe: Assume-se corrente contínua, um condutor de material único com secção redonda constante e uma resistividade linear através do valor a 20 °C. Os números dizem respeito a metais puros recozidos. Um cabo comercial sofre adição de ligas e encruamento, registando valores percentuais ligeiramente superiores. O nicromo é antes uma família de composições, pelo que deve tratar 1,10 × 10⁻⁶ Ω·m como o centro do intervalo. A coluna da massa refere-se apenas ao condutor, excluindo isolamento, núcleo de aço e flecha de curvatura.
Falha quando: Afasta-se da realidade longe dos 20 °C, limite honesto para a reta descrita acima. Extrapolar o modelo para o filamento de uma lâmpada a 2.800 °C devolve 13,5 vezes a resistência à temperatura ambiente. O valor real para o tungsténio é superior. É precisamente por isso que Resistências em Série e Paralelo afirma que um filamento conduz melhor frio que quente e recusa dar-lhe um número preciso. O modelo falha ainda em quatro vertentes. A corrente alternada empurra a carga para a superfície, forçando o condutor grosso a ignorar o seu centro e reduzindo a área efetiva face a πd²/4. Os semicondutores e o carbono invertem o coeficiente e conduzem melhor à medida que aquecem. Um supercondutor anula totalmente ρ, instante em que R = ρL/A deixa de funcionar. Nas extremidades de qualquer fio real surge ainda a resistência de contacto. Esta variável pertence à união e não ao metal, sendo a verdadeira responsável pela queima das ligações soltas.

Apenas um metal aqui pesa menos que o cobre 🖖

O alumínio é pior condutor, com 1,577 vezes a resistividade do cobre. Para o igualar, precisamos de uma secção transversal 57,7% maior e de um fio 25,6% mais espesso. Mas comparemos o peso. O alumínio é 3,32 vezes menos denso, e 1,577 ÷ 3,32 é igual a 0,475: a mesma resistência, para o mesmo comprimento, com 47,5% do peso. Analise a última coluna da tabela abaixo e procure um valor inferior a 1. Há apenas um. A prata conduz melhor a eletricidade do que o cobre e acaba por ser mais pesada; o ouro, o tungsténio, o ferro e o nicromo sofrem do mesmo mal. Este único rácio explica por que todas as linhas aéreas de alta tensão são de alumínio, reservando-se o cobre para os espaços interiores, onde não é preciso sustentá-lo.

Dez vezes a tensão, um centésimo do calor 🖖

Pressione Linha aérea: 100 km de alumínio de 400 mm², 6,6248 Ω. Envie 100 MW pela linha. A corrente é a potência a dividir pela tensão e a perda é I²R. A perda diminui assim com o quadrado da tensão. A 400 kV a linha transporta 250 A e dissipa 0,414 MW, ou seja, 0,414% do que foi enviado. A 40 kV transporta 2.500 A e dissipa 41,4 MW. A 10 kV, a aritmética exige 662,5 MW de uma linha que entrega 100, sendo esta a forma de demonstrar que a linha não serve para o trabalho. O fio manteve-se idêntico em todas as situações. Apenas mudou o número na subestação.

O nicromo mal nota o calor, ao passo que o cobre sim 🖖

Pressione Extensão de 100 m e depois A mesma extensão quente. Apenas a temperatura sofre alterações. A resistência passa de 2,2399 Ω para 2,9639 Ω, logo os 169,4 W desperdiçados tornam-se 224,1 W. Entre 0 °C e 100 °C, a resistência do cobre sobe 44,0%. No mesmo intervalo de cem graus, o nicromo ganha 4,0%. É uma curva onze vezes mais plana e a razão central para a existência desta liga, uma vez que um elemento de aquecimento precisa de incandescer enquanto consome exatamente o valor para o qual foi desenhado. O segundo painel coloca os sete materiais lado a lado, relacionando-os com o seu valor a 20 °C, deixando apenas a inclinação para comparar.

Problema resolvido na íntegra

Aquecedor de 2 kW no final de 100 metros de cabo flexível 6 passos
Um aquecedor de 2 kW está ligado a uma extensão de 100 m em cabo flexível de cobre de 1,5 mm², alimentada a 230 V. Calcule quanto desses 2 kW atinge efetivamente o aquecedor, antes de prosseguir a leitura. Pressione Extensão de 100 m para ver a primeira metade na ferramenta.

Abrir este problema na ferramenta
1. O rótulo indica 1,5 mm², referindo-se à área de um condutor. O respetivo diâmetro é de 1,382 mm e a área apresentada na ferramenta equivale a 1,5001 mm².
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot 1 . 38 2 ^{2}}{4} = 1.5001 m m^{2} = 1.5001 \times 1 0^{- 6} m^{2}$
2. Chegamos ao passo que quase todos ignoram. Uma extensão de 100 m leva a corrente 100 m num sentido e 100 m no regresso, logo o condutor mede 200 m de comprimento.
  
  $L = 2 \times 100 = 200 m$
3. Calculando ρL/A com o cobre a 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m: 2,2399 Ω.
  
  $R = \frac{ρ L}{A} = \frac{1 . 68 \times 1 0 ^{- 8} \cdot 200}{1 . 5001 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.2399 Ω$
4. Considere a corrente implícita na potência do aquecedor, 8,696 A. Isso resultaria numa perda de 19,478 V ao longo do cabo, retendo aí 169,4 W. Estes são os dois valores apresentados pela ferramenta.
  
  $I = \frac{2000}{230} = 8.696 A \Rightarrow V = 19.478 V, P = I^{2} R = 169.4 W$
5. Contudo essa corrente está errada e o motivo reside na lição anterior. A extensão e o aquecedor encontram-se em série, logo a alimentação vê ambos. Um aquecedor de 2 kW a 230 V tem 26,45 Ω. O par totaliza 28,6899 Ω, e a corrente real desce para 8,0168 A.
  
  $R_{load} = \frac{23 0 ^{2}}{2000} R_{load} + R_{lead} I = \frac{230}{28 . 6899} 26.45 Ω 28.6899 Ω 8.0168 A$
6. Refaça os dois cálculos com a corrente que efetivamente circula. O aquecedor passa a dispor de uma tensão de 212,04 V e entrega 1.699,9 W. O cabo absorve 144,0 W.
  
  $V_{load} = I R_{load} P_{load} = I^{2} R_{load} P_{lead} = I^{2} R_{lead} 212.04 V 1, 699.9 W 144.0 W$
Resposta

O aquecedor debita 1.699,9 W dos seus 2.000, pelo que 300,1 W de aquecimento pura e simplesmente nunca acontecem. Apenas 144,0 W desta quebra aquecem o cabo. Os restantes 156,1 W nem sequer são extraídos da rede. O aquecedor é uma resistência, e uma resistência a 212 V consome menos corrente que a mesma resistência a 230 V. O cálculo ingénuo falha nessa vertente a favor da segurança, pois sobrestima a corrente e agrava o valor da perda no cabo em 18%. O perigo subestimado reside num cenário bem distinto. Surge nos 144 W estagnados no interior de uma bobina enrolada, sem via de fuga para o calor.

$\frac{1 , 699 . 9}{2 , 000} = 0.84992, 000 - 1, 699.9 = 300.1 W$

Percurso de aprendizagem

O que a lei de Ohm deixa de fora

Referências (3)

Where the resistivity of an element and its temperature dependence are tabulated. This is the source for the SHAPE of what this page computes; the figures it prints are the standard handbook set, and the note below says so: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723
The combination rules and the three forms of resistive power the last two steps of the worked problem use. Cited on Ohm's Law and on Resistors in Series and Parallel as well, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Insight block 1 as a live engineering decision rather than a physics exercise. Modern overhead lines trade the same two properties this page divides against each other, and the paper costs out the result on ultra-high-voltage spans: Y. Zhang, H. Sun, X. Zhang, Z. Chen, L. Zhou and X. Huang, "Economic analysis of aluminium conductor composite core and conventional aluminium conductor steel reinforced conductors in overhead ultra-high voltage transmission lines." IET Generation, Transmission & Distribution 17(5), 2023, pp. 1098-1110. DOI 10.1049/gtd2.12719

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.